第2章 运算方法和运算器(1)

对于规格化浮点数，E 的范围变为1到254，真正的指数 值e 则为－126(1－127)到＋127（254－127）。因此32位浮点 数表示的绝对值的范围是10-38~1038（以10的幂表示）。
1-127 00000001-1111111
254-127 11111110-1111111
比较定点小数
浮点表示法 把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存储单元
中分别予以表示，这种把数的范围和精度分别表示的方法，数 的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自由浮动。
任意一个十进制数 Ｎ 可以写成
N = 10E·M
(2.3)
同样，在计算机中一个任意进制数 Ｎ 可以写成
比例因子的指数，称为 浮点数的指数，是一个
(2) (－4120)10＝(－1000000011000)2＝－1.000000011× 212 S=1 M=000000011… … 00 E=12+127=139=(10001011)2 －4120的IEEE754单精度浮点机器数表示形式为 1 100,0101,1 000,0000,1100,0000,0000,0000 写成十六进制数形式为C580C000H
浮点数的符号位(1 位)， 0表示正数，1表示负数
尾数(23位)，用小 数表示，小数点放 在尾数域的最前面
阶码(8 位),阶符采用隐含方 式，即采用移码方式来表示正 负指数（移码都是正数不需要
阶符）
32位的浮点数中，Ｓ：浮点数的符号位，1 位，0表示正
数，1表示负数。
Ｍ：尾数，23位，用小数表示，小数点放在尾数域的最
－11… … … 1≤ x≤ 11… … … 1
31个1
31个1
(111 … … … 1)
(01 … … … 11)
－（231－1） ≤ x≤ 231－1
－2147483648 ≤ x≤ 2147483648
+000,1111
-111 0011
表示为0000,1111 ;
-表示为1111, 0011
整数
尾数，是一个 纯小数
Ｎ＝Ｒe ×Ｍ
比例因子的基数，对于二进 计数值的机器是一个常数，
一般规定Ｒ 为2，8或16。
Ｍ ：尾数，是一个纯小数。
(2.4)
e ：比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数。
R ：比例因子的基数，对于二进计数值的机器是一个常数，
基数R是设计者约定的，用隐含方法表示。一般规定Ｒ 为2，8
（2）将十六进制的IEEE754单精度浮点数 42E48000转换成十进制数。
例 将5/32及－4120表示成IEEE754单精度浮点数格式，并用十 六进制书写。
解： （1）（5/32）10=(0.00101)2=1.01× 2－3，按照IEEE754标准单 精度浮点数的规定，因为5/32>0,所以符号为S=0。
或16。
一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成
尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数决定了 浮点数的表示精度；
阶码：用整数形式表示，指明小数点在数据中的位置 ，决定了浮点数的表示范围。
比例因子 ，不表示，默认值，一般为2。 各个部分分别占据多少位？
3. IEEE754标准浮点数的表示方法
为便于软件移植，按照 IEEE（电气和电子工程师协会）754 标准，32位浮点数和64位浮点数的标准格式为
浮点数的十进制数值。 [解:]
将十六进制数展开后，可得二进制数格式为
指数e＝阶码－127＝10000010－01111111＝00000011=(3)10 包括隐藏位1的尾数1.M＝1.011 0110 0000 0000 0000 0000＝
1.011011
于是有
ｘ＝(－1)s×1.M×2e
＝＋(1.011011)×23＝＋1011.011
=0.0111×22
=0.00111×23
为提高数据的表示精度，当尾数的值不为 0 时，尾数域 的最高有效位应为1,否则以修改阶码同时左右移小数点的办 法，使其变成这一表示形式，这称为浮点数的规格化表示。
因为尾数的最高位总为1，所以这一位不需要存储而默 认是存在。
当浮点数的尾数为 0，不论其阶码为何值，或者当阶码的 值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算 机都把该浮点数看成零值，称为机器零。
x0 x1 x2 x3 … … … x30 x31
32位二进制数定点小数可以表示的范围
－0.11… … … 1 ≤ x ≤ 0.11… … … 1
31个1
31个1
(111 … … … 1)
(01 … … … 11)
－（1－2－31） ≤ x ≤ （1－2－31）
－0.9999999995343387 ≤ x≤ 0.9999999995343387
S＝0， E＝4＋127＝131＝10000011，M＝010010011 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：
0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000＝(41A4C000)16
S
E
M
练习：
（1）将5/32及－4120表示成IEEE754单精 度浮点数格式，并用十六进制书写。
则：定点整数表示时，
最大正数值= 01……1=231－1
，
最小负数值= 11 …… 1= － (231－1)
。
定点小数表示时， 最大正数值= 最小负数值=
01……1=1 －2 － 31
，
11 …… 1= － (1 －2 － 31) 。
2.浮点数的表示方法
科学计数法 电子的质量(9×10－28克)和太阳的质量(2×1033克)相差甚
2.1.1 数据格式
int m,n;
folat x;
double y;
计算机中常用的数据表示格式有两种：一是定点格式， 二是浮点格式。
定点格式容许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较 简单。
而浮点格式容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比 较复杂。
数据范围是指一种类型的数据能表示的最大值和最小值。 数据精度通常指实数所能表示的有效数字的位数。 讨论数值数据时，数据精度和数据范围是经常用到的概 念。
0.000 0001 表示为0000，0001 ; 0.111 1111 表示为0111， 1111
－0.000 0001 表示为1000，0001 ; －0.001 1111 表示为1001， 1111
2.定点纯整数的表示
符号位
数值位
x0 x1 x2
………
xn-1 xn
小数点位置，
纯整数的表示范围为
远。 在定点计算机中无法直接来表示这个数值范围.要使它们送
入定点计算机进行某种运算，必须对它们分别取不同的比例因 子，使其数值部分绝对值小于1，即：
9 × 10－28＝0.9 × 10－27 2 × 1033＝0.2 × 1034 这里的比例因子10－27 和 1034要分别存放在机器的某个存 储单元中，以便以后对计算结果按这个比例增大。显然这要占 用一定的存储空间和运算时间。因此得到浮点表示法如下：
为
ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－127
e＝Ｅ－127 (2.5)
一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为
ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023
e＝Ｅ－1023 (2.6)
同一个浮点数的表示方法不是唯一的,如:
(1.75)10=1.11×20 =0.111×21
(IEEE规格化表示) (非规格化表示)
第二章 运算方法和运算器
2.1数据与文字的表示方法 2.2定点加、减法运算 2.3定点乘法运算 2.4定点除法运算 2.5定点运算器的组成 2.6浮点运算的方法和浮点运算器
2.1 数据与文字的表示方法 计算机内部信息
控制信息
指令 控制字
数据信息
数值型数据
非数值型数据
定点数
浮点数
数字串 字符与字符串 汉字与汉字串 图像 音频与视频
＝(11.375)10
[例2] 将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制 存储格式。 [解:]
首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：
20.59375＝10100.10011
然后移动小数点，使其在第1，2位之间
10100.10011＝1.010010011×24
e＝4
于是得到：
符号位
x0 x1 x2
………
数值位
xn-1 xn
小数点位置，
纯小数的表示范围为
默认，省略
(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn数值位各位均为0时绝对值最小；数值位各
位均为1时绝对值最大)
－（1－2－n） ≤ｘ≤ 1－2－n
0 ≤ |ｘ|≤ 1－2－n (2.1)
即
－0.11…… 1 ≤x ≤ +0.11 …… 1
n个 1
因为尾数值为1.M，现在1.M＝1.01，所以去掉隐含的1， 得到尾数部分机器数M=01000… 00
因为阶码值为指数值加上127，所以阶码值为 E=(－3)＋127=124=(01111100)2 所以，单精度浮点数机器数表示
0 011,1110,0 010,0000,0000,0000,0000,0000 十六进制为3E200000H
前面。
Ｅ：阶码(8 位),阶符采用隐含方式，即采用移码方式来
表示正负指数。 移码方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比较方
便，因为阶码域值大者其指数值也大。
采用这种方式时，将浮点数的指数真值e 变成阶码Ｅ
时，应将指数 e 加上一个固定的偏移值127(01111111)，即
Ｅ＝e＋127.
IEEE754 标准中，一个规格化的32位浮点数ｘ的真值可表示
1. 定点数的表示方法
定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。 由于约定在固定的位置，小数点就不再使用记号“.”来表示。
通常将放到数值位最后面或者最前面，这样数据表示成 纯小数或纯整数。
定点数ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn 在定点机中表示如下(
ｘ0:符号位，0代表正号，1代表负号Hale Waihona Puke Baidu:
1.定点纯小数的表示
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
小数点位置， 默认，省略
-1111111 ≤ x≤ 1111111 （1111，1111） （0111，1111）
－(27－1) ≤ x≤ 27－1
－127 ≤ x≤ 127
x0 x1 x2 x3 … … … x30 x31
32位二进制数定点整数可以表示的范围
-000，1111
最大数：+127
表示为1000，1111
表示为0111，1111
+111 0011
最小数：-127
表示为0111, 0011;
表示为1111，1111
目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定 点数表示的运算简称为整数运算。
例. 机器字长为32位，定点表示时，数符1位，尾数31位。
－4294967296 ≤ x≤ 4294967296
－210 ≤ x≤ 210
浮点数所表示的范围远比定点数大。 一台计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示,要根据 计算机的使用条件来确定。 一般在高档微机以上的计算机中同时采用定点、浮点 表示,由使用者进行选择,而单片机中多采用定点表示。
[例1] 若浮点数ｘ的754标准存储格式为(41360000)16，求其
例 将十六进制的IEEE754单精度浮点数42E48000转换成十进 制数。
解
(42E48000)16=(0100 0010 1110 0100 1000 0000 0000 0000)2 按照IEEE754标准可以写成
0 10000101 11001001000000000000000 可以得出S=0,
n个1
例如： 符号位 用八位二进制
数值位
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
小数点位置， 默认，省略
－0.1111111≤ x≤ 0.1111111 （1111，1111） （0111，1111） －（1－2－7） ≤ x≤ （1－2－7）
－0.9921875 ≤ x≤ 0.9921875
S
E
00… … … 0
当阶码E 为全0且尾数M 也为全0时，表示的真值x 为 零，结合符号位S 为0或1，有正零和负零之分。
S
00… … 0
00… … … 0
当阶码E 为全1且尾数M 为全0时，表示的真值x 为无 穷大，结合符号位S 为0或1，也有+∞和-∞之分。
S
11… … 1
00… … … 0
这样在32位浮点数表示中，要除去E 用全0和全1(255)10表 示零和无穷大的特殊情况，指数的偏移值127(01111111)。
默认，省略
(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn数值位各位均为0时绝对值最小；数值位各
位均为1时绝对值最大)
－（2n－1） ≤ ｘ ≤ 2n－1
0 ≤ |ｘ|≤ 2n－1
(2.2)
即
－11…… 1 ≤x ≤ +11 …… 1
n个 1
n个1
(111 …… 1 ) (01 …… 1 )
例如： 符号位 用八位二进制
数值位