一道课本例题引发的探究

一道课本例题引发的探究

【摘 要】高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。

【关键词】例习题 问题 探究 引申

高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生大胆的提出问题、解决问题。这样不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要是开发了学生的智力，培养学生的探究能力。现以人教版选修2—1第41页例3的教学为例，并谈谈自己的一些想法。

一、问题的提出

（选修2—1第41页例3）设点A 、B 的坐标（5,0）、（-5,0）。直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-9

4

，求点M 的轨迹方程。

解答：（略）

本题由学生用直译法做，没有太大的问题。 二、问题的引申

1、逆向思维，大胆猜想：

牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史。可见猜想与数学发现是形影不离的。我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推理，发展他们发现问题的能力。针对例3的答案为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这样的性质呢？

猜想1：椭圆0(122

22>>=+b a b

y a x 上长轴的两顶点A 、B 与任意一

点P （不同于A 、B ）连线PA PB 、的斜率之积为定值.

解答：（略）

有了例3的解答，这个问题让学生自主解决。 2、大胆假设，归纳引申：

先通过大胆假设，再从特殊问题入手，归纳出一般性的结论。这样有利于学生形成良好的认知结构。变式问题中弦AB 是长轴，能不能改成一般过原点的弦呢？

我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，归纳出方法，再引申出一般性的命题。

问题：椭圆22

132x y +=上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，求直线PA PB 、的斜率之积。

证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --2222

111,13232

x y x y ∴+

=+=,两式相减得:

22221132x x y y --∴=, 22122

12

3

y y x x -∴=-- 22111221112

3

PA PB

y y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅==-

-+- 让学生自主探究，再让学生归纳引申出一般的问题。

命题1: 椭圆0(122

22>>=+b a b y a x 上任意一点P 与过中心的弦AB 的两

端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，则直线PA PB 、的斜率之积

为定值.

证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --1,122122122

22=+=+∴b y a x b y a x ,两式相减

得: 22122212b y y a x x --=- 22

2

12212a

b x x y y -=--∴ 22

1111a

b x x y y x x y y K K PB

PA -=++∙--=∙∴为定值. 3、极限思想，知识串联；

G ∙波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”。我们这时引导学生，然后提问：椭圆的极限位置是圆，此性质可以类比圆中什么性质呢？让学生分组探讨，进行类比与归纳。探讨后部分学生提出了对性质的解释:是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广。

这个解释充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题。再引导类比圆中的性质，可以引申出以下命题.

命题2：若M 是椭圆的弦AB 之中点，则直线OM 与直线AB 的斜率之积为定值。

证明：（如图）连接AO 并延长交椭圆 于点C ，连结OM ,BP ,则//OM BP OM B P k k ∴= 由性质知22

a

b K K PB PA -=∙∴

22

a

b K K AB

OM -=∙∴为定值

对性质的解释:是圆中的垂径定理“圆心与弦中点连线垂直于弦”在椭圆中的推广。（学生思考、解释）

4、类比思想，知识拓展

通过以上的探究，椭圆与圆的知识建立完美的解释。学生欣喜之余，进入深深沉思中。学生提问双曲线中是否有类似的性质呢？ 猜想2: 将椭圆改为双曲线，命题是否成立？

让学生课后进行探讨。 三、性质的应用

上述结论的证明主要运用了点差法，在探究中运用类比、极限等思想。这些思想方法在学习高中数学中是必不可少的。而且椭圆中的许多经典结论，再近几年的高考中竞相登场，一年秀似一年。特别是上述结论以及相关的性质是多次在各省市高考中出现。我们要引导学生会应用，能主动利用课本的例习题探究其潜在的一般性质。接下来我们探讨它的应用，特别以对称问题举例。

例：已知两椭圆222

1122:x y C a b λ+= ，2222222:x y C a b

λ+=12(0;0)a b λλ>>>>

若不平行于坐标轴的直线l 与12,C C 分别相交于,,A B C D 和，求证：

AC DB =

证明:分别取线段AB,CD 的中点,M M ', 由推论知

22l OM b k k a

⋅=- 2

2l OM b k k a '⋅=-

∴ OM OM k k '= 故M M '与重合

由于A M B M C M D M

==

及 知AC BD = 四、总结与升华

我们要学会探究中发现问题与解决问题。那么怎么发现问题呢？我们要给自己多问几个“为什么”，对问题进行一般化、特殊化、逆向思维的处理，从命题角度与解法角度进行发散。可以提出“概括型”、“猜想型”、“引申型”、“探究开放型”等问题。

现在社会真正需求是具备创新意识、创新能的创造性人才。因此，教师在教学实践中，应尽量引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。

参考文献：

《普通高中课程标准实验教科书》数学2—1 人教版2007年2月第二版 《反思课本例习题，引导学生发现问题》张立兵中学数学教学参考2009.2

《简析椭圆中的22

b

a 》徐勇 高中数学教与学 2011.9