第五章 电子-声子相互作用1

第四章 等离激元 相互作用电子系统； 或称 金属中电子系统。

复习：

§6 介电函数

无规相近似介电函数（4.6.21）

),()(1),(ωωεq L q v q r -= （4.6.16）

})(1

)(1){1()(21η

ωωηωωi i n n q v kq k kq q

k k ++-+---

=∑+

称为介电函数的林哈德表示式。

介电函数的实部与虚部

Dirac 公式 )()1

(1lim 0

x i x P i x πδηη =±→（4.6.22）

),(),(Re 1ωεωεq q r =

∑-+=k kq kq k n q v 2

22)

(21ωωω （4.6.23）

),(),(Im 2ωεωεq q r =

)}()(){1()

(2kq k

kq q k k n n q v ωωδωωδπ+---=∑+ （4.6.24）

下一节由介电函数分析系统元激发谱。

§7 电子系统的元激发谱

（介电函数方法） ),(),(),(t q V t q V q e r =ωε

系统的元激发由0),(=ωεq r 决定。

),(Im ),(Re ),(ωεωεωεq i q q r r r += 系统的元激发频率满足

0),(Re =ωεq r （4.7.1）

由 ∑-+=k kq

kq k r n q v q 2

2

2)

(21),(Re ωωωωε （4.6.23）

得到 )(2)

(212

2ωωωωF n q v k

kq kq k ≡-=∑ （4.7.2） 图解法求解（图4.3）。

（i ）F 2k q <

0min =kq

ω

， )2(2F 22max q k q m

kq

+= ω

在max min kq kq ωωω<<区域不存在自发振荡

0)()1()

(2),(Im ≠--=

∑+k

kq q k k r n n q v q ωωδπωε 在max

kq ωω>区域存在自发振荡

0)()1()

(2),(Im =--=

∑+k

kq q k k r n n q v q ωωδπωε

下面讨论自发振荡的色散关系

由 ∑-=k kq

kq k n q v 2

2

4)

(1ωωω （4.7.2）

公式 +++++=-n

t t t t

2111 对于max

kq ωω>

+++--65

4322

22

2

211ωωωωωωω

ωω

ωωωωkq

kq kq kq kq

kq kq ＝＝ 只取第一项

∑∑==k

kq

k

s k kq k n

q

e n q v 2

2222444)

(1ωωπωω

])[(2442222

222

k q k m n q

e k

k s -+=∑ ωπ ]2[18222

2m k q m q n q

e k

k s ⋅+=∑ωπ k q n m q e n m e k

k s k

k s

⋅+=

∑∑2

222

211618ωπωπ

∑=

k

k s n m e 2

218ωπ

2

214ωπm N e s =

（4.7.6）

得到 2022

24p s

m

N e m N e ωεπω===

计及

3kq

ω项： ∑+=k

kq

kq

k n q v )44()

(1432ωωωω

即 ∑+

=k

kq

kq k n q v )22(

)

(212

32

ω

ωωω

（作业

13：计及3kq ω项，推导（4.7.7） 2

222

5

3F P

q

v q +=ωω ） 将

m

k q m q m k m q k kq

⋅+=-+=2)(2222ω 和 32

3)]2(2[m

k q m q kq

⋅+=ω ])2()2(32)(3)[(8322

22

32

3

m

k q m k q m q m k q m q m q ⋅+⋅+⋅+= 代入，去掉取和为0

的m k

q

⋅奇次项，保留

至2q 项，得到

0)(232

22

2224

=⋅-

-∑k

k P

P k q n N

m ωω

ωω

可证 0,=∑y

x

k

k y x y x k k k q q n ，所以 ∑∑++=⋅k

z z y y x x k k

k k q k q k q n k q n )()(2222222

∑++=k

x

k z y x k n q q q 2

222)(