数学分析ch12-6无条件极值

0, 5y4
0.yຫໍສະໝຸດ 求得驻点 (0,0) 。再计算二阶偏导数，
2 f 2, 2 f 4y, 2 f 4x 12y2 20y3 ，
其次，偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方程 f (x, y) | x | ，整个 y 轴上的每一点 (0, y) 都是 f 的极小值点。但在 y 轴上 的任一点 (0, y) 处， f 关于 x 的偏导数都不存在（见图 12.6.2）。
z
O
y
x
图 12.6.2
那么，要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢？我们先对二元
2 f 2y, 2 f a 2x 2y, 2 f 2x ，
x 2
xy
y 2
得到计算结果
A
B
C
H
( 0,0)
0
a
0
a2
(a,0)
0
a
2a
a2
(0, a)
2a
a
0
a2
a , a
2a
a
2a
1 a2
3 3
3
3
3
3
从表中可以看出， (0,0), (a,0) 和 (0, a) 都不是 f 的极值点。而在
a , a 点处，当 a 0 时，f a , a a3 为极大值；当 a 0时，f a , a a3
3 3
3 3 27
3 3 27
为极小值。
例 12.6.2 讨论 f (x, y) x2 2xy 2 y 4 y5 的极值。 解 解方程组
f
x f
2x 2y2 4xy 4 y3
那么
A H
B AC B2 ，
BC
（1）若 H 0 ： A 0时 f (x0 , y0 ) 为极小值； A 0 时 f (x0 , y0 ) 为极大 值；
（2）若 H 0 ： f (x0 , y0 ) 不是极值。 （3）当 H 0 时，不难举例说明， f (x0 , y0 ) 可能是极值，也可能不
1 2 m o(1) 0,
2
即 f (x0 , y0 ) 为极小值。
若二次型 g(,) 是正定的，那么 g(,) 在 S 上的最小值一定满足
min {g(,)} m 0 。
( , )S
因此当 0 且 充分小时，
f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
1 2 2
§6 无条件极值
无条件极值
定义 12.6.1 设 DRn 为开区域， f (x) 为定义在 D 上的函数， x0 (x10 , x20 ,, xn0 ) D。若存在 x0 的邻域 O( x0 , r) ，使得
f ( x0 ) f ( x) ( 或 f ( x0 ) f ( x)), x O( x0 , r) ， 则称 x0 为 f 的极大值点（或极小值点）；相应地，称 f (x0 ) 为相应的极 大值（或极小值）；极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极 小值统称为极值。
在单位圆周
S {(,) R2 2 2 1}
上是否保号的问题。
若二次型 g(,) 是正定的，那么 g(,) 在 S 上的最小值一定满足
min {g(,)} m 0 。
( , )S
因此当 0 且 充分小时，
f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
1 2 2
fxx (x0 , y0 ) 2 2 fxy (x0 , y0 ) f yy (x0 , y0 )2 o(1)
函数进行讨论。
设 z f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 点附近具有二阶连续偏导数，且 (x0 , y0 ) 为 f 的驻点，即
f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0 ， 那么由 Taylor 公式得到
f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
f xx (x0 , y0 ) 2 2 f xy (x0 , y0 ) f yy (x0 , y0 ) 2 o(1)
( 0) ，
其中 x , y 。
由于 2 2 1，因此，判断 f (x0, y0 ) 是否为极值的问题就转化为
判断二次型
g(,) f xx (x0 , y0 ) 2 2 f xy (x0 , y0 ) f yy (x0 , y0 )2
fxx (x0 , y0 ) 2 2 fxy (x0 , y0 ) f yy (x0 , y0 )2 o(1)
1 2 m o(1) 0,
2
即 f (x0 , y0 ) 为极小值。
类 似 地 ， 若 二 次 型 g (,)为 负 定 的 ， 那 么 f(x 0 ,y 0 )为 极 大 值 。 若 二 次 型 g (,)是 不 定 的 ， 同 样 易 知 f(x 0 ,y 0 )既 不 是 极 大 值 ， 也
是极值。
例 12.6.1 求函数 f (x, y) xy(a x y) (a 0) 的极值。 解 先找驻点，即解方程组
f fx
y(a x(a
x x
y) y)
xy xy
0, 0.
y
易解出驻点为 (0,0), (a,0), (0, a) 和 a , a 。
3 3
再求二阶偏导数，
其中, , 为当 x2 y2 0 时的无穷小量。
于是
f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
1 2
f xx (x0 , y0 )x 2 2 f xy (x0 , y0 )xy f yy (x0 , y0 )y 2 x 2 2xy y 2
1 2 2
不 是 极 小 值 。
综合以上讨论，结合代数学的知识，就得到
定理 12.6.2 设 (x0 , y0 ) 为 f 的驻点， f 在 (x0 , y0 ) 附近具有二阶连 续偏导数。记
并记
A f xx (x0 , y0 ), B f xy (x0 , y0 ), C f yy (x0 , y0 ) ，
1 2
{
f
xx
(
P)x
2
2 fxy (P)xy
f yy (P)y2}，
其中 P~ (x0 x, y0 y), 0 1。由于 f 的二阶偏导数在 (x0 , y0 ) 点连
续，因此
f xx (P~) f xx (x0 , y0 ) , f xy (P~) f xy (x0 , y0 ) , f yy (P~) f yy (x0 , y0 ) ，