材料力学课件第五章 弯曲应力
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=
矩形截面：
z h y b d
πd
圆形截面：
W
z
=
64 d 2
πd
32
3
e、公式适用条件（自己总结）
f、若在xz平面发生平面弯曲
y
σ
x
=
M I
y y
z
z
x
§5—3
横力弯曲时的正应力
M Q
一、横力弯曲梁横截面上的正应力 ※ 横力弯曲梁的特点 1、平面假设不成立 2、横向力使纵向纤维间有相互挤压作用 ※ 工程中
y b dx M
z
m z y （--） σ max z （+） σ max
二、物理关系
单向受力假设: 单向受力假设 纵向纤维之间的相互挤压作用略去 则由: 则由 单向胡克定律
σ x = Eε x
y
∴σ x = E
y
ρ
σ分布规律
(2)
三、 静力关系
m x
m z y Mz z dA
∫ σ x dA = 0
3×23 1.4×23 IZ 1.07 IZ = − =1.07cm4 W = = =1.07cm3 12 12 Z ym 1 ax
四、计算Pmax：由强度条件有 计算 于是有
Mm ≤W [σ] ax Z
6
Pa≤W [σ] Z
−2 3
W [σ] 1.07×(10 ) ×140×10 P≤ Z = = 3000N = 3kN −2 a 5×10
110 MII = RA 200− （ ）10−3 = × 2 =3.42kN⋅ m 110 MIII = RA 200+ （ ）10−3 − × 2 110 − P× ×10−3 = 4.64kN⋅ m 2
四、强度校核： 强度校核：
MI 4.72×103 σI = = = 56×106 Pa = 56M <[σ] Pa π W ZI (95×10−3)3 32 MII 3.42×103 σII = = = 56.7M <[σ] Pa π W ZII (85×10−3)3 32
发生在中性轴处
二、梁的剪应力强度计算
1、剪应力强度条件 、
τmax
Q ax S = m Izb
* zm ax
≤[τ]
剪应力强度校核 截面设计（选择） 截面设计（选择） 确定许可载荷 2、 强度计算时，梁的两个强度条件的应用原则： 、 强度计算时，梁的两个强度条件的应用原则： 原则：应保证梁的正应力、 原则：应保证梁的正应力、剪应力强度足够
h bh 2 4y2 h 1 S = A y = b − y y + − y 2 = 8 1 − h 2 2 2
∗ z ∗ ∗ c
QS z∗ 3 Q 4 y 2 1 − 2 ∴τ = = bI z 2 bh h
− σ max B
M B (140 − y1 ) × 10 −3 4 ×103 (140 − 52) ×10 −3 = == = 46.2 MPa −2 4 Iz 763 × (10 )
+ − ∴σ max = 28.8MPa < 30MPa, σ max = 46.2 MPa < 160 MPa 所以：梁强度足够
§5—4 弯曲剪应力 一、梁的剪应力 （一）矩形截面梁的剪应力
Q
（h＞b） 1、简化假定 ① τ平行于Q ②τ沿截面宽均布，
z b
h
(二)矩形截面τ计算式
ΣX = 0
N 2 − N 1 − τ ′dxb = 0
My M N1 = ∫ σ dA = ∫ dA = A1 A1 I Iz z
* z
Q+dQ M+dM
三、作心轴弯矩图： 作心轴弯矩图：
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
M zy 对L/h＜4的深梁，不能用 σ x = I z M z y σ x = 对L/h＞4的细长梁，近似使用 Iz
（误差在工程允许范围内）
M max y max M z ( x) y σ x ( x) = σ max = Iz Izwenku.baidu.com
二、正应力强度条件
σ max ≤ [σ ]
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
强度校核
σmax
Mm ax = ≤ [σ] W z
截面设计（选择） 截面设计（选择）W z
≥
Mm ax
[σ]
确定许可载荷
Mmax ≤Wz ⋅[σ]
σ max
注意：
据内力图
M max = ≤ [σ ] Wz
② 找准危险点 据应力分布图
① 找准危险截面
若中性轴不是截面的对称轴， ③ 若中性轴不是截面的对称轴，则： σ上m ≠σ下m ax ax
MIII 4.64×103 σIII = = = 69.4M <[σ] Pa π W ZIII (88×10−3)3 32
所以：卷筒心轴强度足够。 所以：卷筒心轴强度足够。
M ( x) y 例5.3:已知图示铸铁梁横截面Iz=763×10- 8m4 , σ x ( x) = z Iz y1=52mm， [σt]=30MPa, [σc]=60MPa。试校核梁 F2=4kN 的强度。 F1=9kN 80 解: 一、求支反力 A C B D y1 20 二、作梁弯矩图 1m 1m 1m z 三、强度校核 120 FA =2.5kN FB M B y1 × 10 −3 M + σ max B = = 2.5MPa Iz +
4 × 10 3 × 52 × 10 −3 6 = = 27 .2 × 10 Pa = 27 .2 MPa −2 4 4.0MPa 763 × (10 ) M C (140 − y1 ) ×10 −3 2.5 ×103 (140 − 52) ×10 −3 + σ max c = = = 28.8MPa −2 4 Iz 763 × (10 )
A
∫
A
Ey
ρ
dA =
E
∫ ydA = 0 ρ
A
Sz = 0
A
∴中性轴过形心
=0
∫ (σ x dA) ⋅ z = M y
E
σx
∫ yzdA = 0 ρ
A
I yz = 0
E
y
∫ (σ
A
x
dA) y = M z
∫ y dA = M ρ
2 A
z
Mz = ρ EI z
1
(3)
(3)代入(2)
∴σ x =
Mzy Iz
σ上max
M1 M M y = = = IZ W Iz 1 y1
z
y1 y2
σ下m ax
M2 y M = = Iz W 2
σ
σ
+ max
≤ [σ ]
+
④抗拉、压能力不同的材料： 抗拉、压能力不同的材料：
− max
≤ [σ ]
−
螺栓压板夹紧装置如图。 例5.1 螺栓压板夹紧装置如图。已 知板长3a 知板长 =150mm，压板材料的弯 ， 曲许用应力[σ] 曲许用应力 = 140MPa。试计算 。 压板传给工件的最大允许压紧力P。 压板传给工件的最大允许压紧力 。 画压板计算简图： 解： 一、画压板计算简图： 作压板弯矩图： 二、作压板弯矩图： 然 Mmax = MB = Pa 显 三、计算几何尺寸： 计算几何尺寸： 据截面B的尺寸 的尺寸： 据截面 的尺寸：
材 料 力 学
配套教材：《材料力学》范钦珊主编
第五章 弯曲应力
§5—1 纯弯曲
M
σ
Q M
τ
σ
F F a
a
纯弯曲：梁横截面上只有 ， 纯弯曲：梁横截面上只有M， 没有Q 没有 横力弯曲：梁横截面上既有 ， 横力弯曲：梁横截面上既有M， 又有Q 又有
+
F F +
_
Q M
Fa
§5—2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系 (一) 梁表面变形情况 一 1、横向线——保持直线，转动 、横向线 保持直线， 保持直线 一个角度。 一个角度。 2 、 纵向线 纵向线——弯曲了，上半部缩短 弯曲了， 弯曲了 上半部缩短, 下半部伸长 ；仍与横 向线垂直。 向线垂直。 （二）平面假设 梁弯曲变形后， 梁弯曲变形后，横截面还是平面且仍垂 直于变形后的梁轴线， 直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一 轴线旋转了一个角度
dx
QS z∗ τ = bI z
式中： Q— 所求截面剪力 b— 所求点处截面宽
y z b
Q
h
IZ — 整个横截面对中性轴的惯性矩
∗ Sz—所求点以外的面积对中性轴的静矩 所求点以外的面积对中性轴的静矩
S 对给定截面，Q、Iz为确定量， z 依所求点位置不同而不同。 对给定截面， 为确定量， ∗依所求点位置不同而不同。
3 Q h y = ± , τ = 0 y = 0, τ = τ max = 2 bh 2
（5—9）
（二）工字形截面梁τ: 工字形截面梁 特点： 特点： 1、认为 几乎都由腹板承受 、认为Q几乎都由腹板承受
Q
QS z∗ 2、腹板处： τ = 、腹板处： b Iz
沿腹板τ仍按抛物线分布， 沿腹板 仍按抛物线分布，中性 仍按抛物线分布 轴处有τ=τmax，但τmin、 τmax 轴处有 相差不多。 相差不多。
=148M >[τ] =100M Pa Pa
再选25b工字钢： 工字钢： 再选 工字钢
查No.25b： ：
τ max
QS z∗max = b Iz
Q = ∗ b ( I z / S z max )
(三）圆形截面τ: 三 圆形截面
τ max
4Q = 3A
（5—12）
发生在中性轴处 （四）内、外直径分别为d、D的圆环形截面 的圆环形截面τ: 外直径分别为 、 的圆环形截面
τ max
Q = 2 .0 π (D2 − d 2 ) / 4
N1
N2 A1
∫
A1
ydA
τ’
* MSz 令S = ∫ ydA 则：N1 = A1 I * (M + dM ) y (M + dM )S z N2 = ∫ dA = A1 Iz Iz
M Q dx
M+dM Q+dQ
* * (M + dM )S z MSz ∴ − − τ 'bdx = 0 Iz Iz * dMSz QS z∗ ' ∴τ = （5.7） = =τ dxIzb bI z
二、按最大正应力强度条件选择型号
Mm 45×103 W ≥ ax = = 281×10−6 = 281 3 cm z 6 [σ] 160×10 Iz 3 =18.9cm W 查No.22a： = 309cm ： * Sz
b = 0.75cm
三、校核最大剪应力强度
τmax
* Q ax Szm 210×103 ax = m = Izb 18.9×10−2 ×0.75×10−2
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
25.3×200+25.3(950+200) RB = 1256 = 27kN RA = 2P−RB = 2×25.3−27 = 23.6kN
讨论： a、 σ ∝ y
中性轴处σ= 0 b、σ和材料无关 c、关于符号
M z ymax M z d、 σ = max = Iz Wz
（--） σ max m x
m z
（+） σ max
I Wz = z y max
y
Mzy σx = Iz
W
z
：抗弯截面系数（模量）; 单位: m3、mm3
Wz = Iz ymax bh 3 2 12 = bh = h 6 2 4
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
矩形截面：
z h y b d
πd
圆形截面：
W
z
=
64 d 2
πd
32
3
e、公式适用条件（自己总结）
f、若在xz平面发生平面弯曲
y
σ
x
=
M I
y y
z
z
x
§5—3
横力弯曲时的正应力
M Q
一、横力弯曲梁横截面上的正应力 ※ 横力弯曲梁的特点 1、平面假设不成立 2、横向力使纵向纤维间有相互挤压作用 ※ 工程中
y b dx M
z
m z y （--） σ max z （+） σ max
二、物理关系
单向受力假设: 单向受力假设 纵向纤维之间的相互挤压作用略去 则由: 则由 单向胡克定律
σ x = Eε x
y
∴σ x = E
y
ρ
σ分布规律
(2)
三、 静力关系
m x
m z y Mz z dA
∫ σ x dA = 0
3×23 1.4×23 IZ 1.07 IZ = − =1.07cm4 W = = =1.07cm3 12 12 Z ym 1 ax
四、计算Pmax：由强度条件有 计算 于是有
Mm ≤W [σ] ax Z
6
Pa≤W [σ] Z
−2 3
W [σ] 1.07×(10 ) ×140×10 P≤ Z = = 3000N = 3kN −2 a 5×10
110 MII = RA 200− （ ）10−3 = × 2 =3.42kN⋅ m 110 MIII = RA 200+ （ ）10−3 − × 2 110 − P× ×10−3 = 4.64kN⋅ m 2
四、强度校核： 强度校核：
MI 4.72×103 σI = = = 56×106 Pa = 56M <[σ] Pa π W ZI (95×10−3)3 32 MII 3.42×103 σII = = = 56.7M <[σ] Pa π W ZII (85×10−3)3 32
发生在中性轴处
二、梁的剪应力强度计算
1、剪应力强度条件 、
τmax
Q ax S = m Izb
* zm ax
≤[τ]
剪应力强度校核 截面设计（选择） 截面设计（选择） 确定许可载荷 2、 强度计算时，梁的两个强度条件的应用原则： 、 强度计算时，梁的两个强度条件的应用原则： 原则：应保证梁的正应力、 原则：应保证梁的正应力、剪应力强度足够
h bh 2 4y2 h 1 S = A y = b − y y + − y 2 = 8 1 − h 2 2 2
∗ z ∗ ∗ c
QS z∗ 3 Q 4 y 2 1 − 2 ∴τ = = bI z 2 bh h
− σ max B
M B (140 − y1 ) × 10 −3 4 ×103 (140 − 52) ×10 −3 = == = 46.2 MPa −2 4 Iz 763 × (10 )
+ − ∴σ max = 28.8MPa < 30MPa, σ max = 46.2 MPa < 160 MPa 所以：梁强度足够
§5—4 弯曲剪应力 一、梁的剪应力 （一）矩形截面梁的剪应力
Q
（h＞b） 1、简化假定 ① τ平行于Q ②τ沿截面宽均布，
z b
h
(二)矩形截面τ计算式
ΣX = 0
N 2 − N 1 − τ ′dxb = 0
My M N1 = ∫ σ dA = ∫ dA = A1 A1 I Iz z
* z
Q+dQ M+dM
三、作心轴弯矩图： 作心轴弯矩图：
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
M zy 对L/h＜4的深梁，不能用 σ x = I z M z y σ x = 对L/h＞4的细长梁，近似使用 Iz
（误差在工程允许范围内）
M max y max M z ( x) y σ x ( x) = σ max = Iz Izwenku.baidu.com
二、正应力强度条件
σ max ≤ [σ ]
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
强度校核
σmax
Mm ax = ≤ [σ] W z
截面设计（选择） 截面设计（选择）W z
≥
Mm ax
[σ]
确定许可载荷
Mmax ≤Wz ⋅[σ]
σ max
注意：
据内力图
M max = ≤ [σ ] Wz
② 找准危险点 据应力分布图
① 找准危险截面
若中性轴不是截面的对称轴， ③ 若中性轴不是截面的对称轴，则： σ上m ≠σ下m ax ax
MIII 4.64×103 σIII = = = 69.4M <[σ] Pa π W ZIII (88×10−3)3 32
所以：卷筒心轴强度足够。 所以：卷筒心轴强度足够。
M ( x) y 例5.3:已知图示铸铁梁横截面Iz=763×10- 8m4 , σ x ( x) = z Iz y1=52mm， [σt]=30MPa, [σc]=60MPa。试校核梁 F2=4kN 的强度。 F1=9kN 80 解: 一、求支反力 A C B D y1 20 二、作梁弯矩图 1m 1m 1m z 三、强度校核 120 FA =2.5kN FB M B y1 × 10 −3 M + σ max B = = 2.5MPa Iz +
4 × 10 3 × 52 × 10 −3 6 = = 27 .2 × 10 Pa = 27 .2 MPa −2 4 4.0MPa 763 × (10 ) M C (140 − y1 ) ×10 −3 2.5 ×103 (140 − 52) ×10 −3 + σ max c = = = 28.8MPa −2 4 Iz 763 × (10 )
A
∫
A
Ey
ρ
dA =
E
∫ ydA = 0 ρ
A
Sz = 0
A
∴中性轴过形心
=0
∫ (σ x dA) ⋅ z = M y
E
σx
∫ yzdA = 0 ρ
A
I yz = 0
E
y
∫ (σ
A
x
dA) y = M z
∫ y dA = M ρ
2 A
z
Mz = ρ EI z
1
(3)
(3)代入(2)
∴σ x =
Mzy Iz
σ上max
M1 M M y = = = IZ W Iz 1 y1
z
y1 y2
σ下m ax
M2 y M = = Iz W 2
σ
σ
+ max
≤ [σ ]
+
④抗拉、压能力不同的材料： 抗拉、压能力不同的材料：
− max
≤ [σ ]
−
螺栓压板夹紧装置如图。 例5.1 螺栓压板夹紧装置如图。已 知板长3a 知板长 =150mm，压板材料的弯 ， 曲许用应力[σ] 曲许用应力 = 140MPa。试计算 。 压板传给工件的最大允许压紧力P。 压板传给工件的最大允许压紧力 。 画压板计算简图： 解： 一、画压板计算简图： 作压板弯矩图： 二、作压板弯矩图： 然 Mmax = MB = Pa 显 三、计算几何尺寸： 计算几何尺寸： 据截面B的尺寸 的尺寸： 据截面 的尺寸：
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第五章 弯曲应力
§5—1 纯弯曲
M
σ
Q M
τ
σ
F F a
a
纯弯曲：梁横截面上只有 ， 纯弯曲：梁横截面上只有M， 没有Q 没有 横力弯曲：梁横截面上既有 ， 横力弯曲：梁横截面上既有M， 又有Q 又有
+
F F +
_
Q M
Fa
§5—2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系 (一) 梁表面变形情况 一 1、横向线——保持直线，转动 、横向线 保持直线， 保持直线 一个角度。 一个角度。 2 、 纵向线 纵向线——弯曲了，上半部缩短 弯曲了， 弯曲了 上半部缩短, 下半部伸长 ；仍与横 向线垂直。 向线垂直。 （二）平面假设 梁弯曲变形后， 梁弯曲变形后，横截面还是平面且仍垂 直于变形后的梁轴线， 直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一 轴线旋转了一个角度
dx
QS z∗ τ = bI z
式中： Q— 所求截面剪力 b— 所求点处截面宽
y z b
Q
h
IZ — 整个横截面对中性轴的惯性矩
∗ Sz—所求点以外的面积对中性轴的静矩 所求点以外的面积对中性轴的静矩
S 对给定截面，Q、Iz为确定量， z 依所求点位置不同而不同。 对给定截面， 为确定量， ∗依所求点位置不同而不同。
3 Q h y = ± , τ = 0 y = 0, τ = τ max = 2 bh 2
（5—9）
（二）工字形截面梁τ: 工字形截面梁 特点： 特点： 1、认为 几乎都由腹板承受 、认为Q几乎都由腹板承受
Q
QS z∗ 2、腹板处： τ = 、腹板处： b Iz
沿腹板τ仍按抛物线分布， 沿腹板 仍按抛物线分布，中性 仍按抛物线分布 轴处有τ=τmax，但τmin、 τmax 轴处有 相差不多。 相差不多。
=148M >[τ] =100M Pa Pa
再选25b工字钢： 工字钢： 再选 工字钢
查No.25b： ：
τ max
QS z∗max = b Iz
Q = ∗ b ( I z / S z max )
(三）圆形截面τ: 三 圆形截面
τ max
4Q = 3A
（5—12）
发生在中性轴处 （四）内、外直径分别为d、D的圆环形截面 的圆环形截面τ: 外直径分别为 、 的圆环形截面
τ max
Q = 2 .0 π (D2 − d 2 ) / 4
N1
N2 A1
∫
A1
ydA
τ’
* MSz 令S = ∫ ydA 则：N1 = A1 I * (M + dM ) y (M + dM )S z N2 = ∫ dA = A1 Iz Iz
M Q dx
M+dM Q+dQ
* * (M + dM )S z MSz ∴ − − τ 'bdx = 0 Iz Iz * dMSz QS z∗ ' ∴τ = （5.7） = =τ dxIzb bI z
二、按最大正应力强度条件选择型号
Mm 45×103 W ≥ ax = = 281×10−6 = 281 3 cm z 6 [σ] 160×10 Iz 3 =18.9cm W 查No.22a： = 309cm ： * Sz
b = 0.75cm
三、校核最大剪应力强度
τmax
* Q ax Szm 210×103 ax = m = Izb 18.9×10−2 ×0.75×10−2
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
25.3×200+25.3(950+200) RB = 1256 = 27kN RA = 2P−RB = 2×25.3−27 = 23.6kN
讨论： a、 σ ∝ y
中性轴处σ= 0 b、σ和材料无关 c、关于符号
M z ymax M z d、 σ = max = Iz Wz
（--） σ max m x
m z
（+） σ max
I Wz = z y max
y
Mzy σx = Iz
W
z
：抗弯截面系数（模量）; 单位: m3、mm3
Wz = Iz ymax bh 3 2 12 = bh = h 6 2 4
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x