方差分量估计的新思考重点

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一◆测绘与信息工程
方差分量估计的新思考
刘长建张建军马高峰
摘要对平差模型的研究一直是数据处理的重点，而对不同类观测值随机模型的研究．常采用方差分量估计，目的在于通过验后估计的办法，确定出不同类观测值的合理权比。

目前方差分量估计的所有解法中，几乎都采用迭代形式，并认为迭代收敛结果即为合理结果。

本文在分析方差分量估计迭代收敛结果的方差一致性检验实质及其解的精度情况基础上，提出了关于方差分量估计的前提、是否有必要进行迭代解算等有待进一步深入探讨的问题。

关键词平差模型方差分量估计方差一致性检验精度估计
１引言
在数据处理中，不同类观测值或同类不同精度观测值（以下统称为不同类观测值）的方差协方差一般是验前得到的，但
这种验前方差协方差存在着一定的局限性，有时不能如实地
反跌观测量的精度，而由此确定的各类观测量的权比也不尽
合理。

为提高平差结果的可靠性，准确地给出各类观测量之
间的权比，人们提出了验后估计权的问题，称为随机模型的
验后估计，又称方差分量估计，其主要目的是检验不同类观
测值的权确定的是否恰当与合理。

如果通过验后估计判定平
差前给出的各类观测值的权不恰当，可根据验后估计的方差
和协方差重新定权以改善第一次平差所给出的权。

显然，根
据重新确定的权再次进行
平差，其平差结果将更为可靠。

近二十多年来，有关方差分量估计的文献大量涌现，极大地
丰富了这一研究领域。

这些理论和方法可根据函数模型、随
机模型、有偏或无偏以及严密公式或近似公式进行分类，而
应用领域则遍及生物育种、数量遗传、心理学研究、计量经
济以及测绘科技等领域。

但是，有关方差分量估计的理论与
应用也存在不少问题，主要有如何解释其迭代过程从有偏到
无偏、迭代计算工作量巨大以及迭代时可能出现负的方差因
子等。

此外，模型误差也不仅仅指随机模型，函数模型误差
也很有可能同时存在，且人们对后者的研究较前者更加深入。

综合这些因素，我们认为有必要对方差分量估计作更深一步
的探讨。

本文首先在相关文献的基础上，进一步简化推导了
方差分量估计迭代收敛结果的方差一致性检验实质，然后分
析了迭代收敛结果的精度估计公式及函数模型误差对其的影响，最后提出了我们认为方差分量估计中亟待解决的几个问题。

２方差分量估计迭代收敛结果的方差一致性检验实质
２．１方差一致性检验原理对平差模型的正确性检验，常用的方法是进行方差一致性检验，又称整体检验法。

理
论上，不论何种平差模型，只要观测值的权阵正定，都有如下统计量
ｚ２：―ｖｒｐｒｖ：萼一ｚ２（ｒ）ｏｉ
仃。

（１）
式中：簖――验前单位权方差。

祥――验后单位权方差；ｒ――平差问题的自由度。

检验时，若统计量Ｚ２落在了接受域内，一般可认为平差模型是合理的或基本合理的；
若落在了拒绝域内，则一定可以说平差模型不正确。

在合理使用平差结果时，方差一致性检验具有重要作用，因为它从整体上可以判别函
数模型、随机模型等误差是否在允许范围内。

故武大教材建议，只有通过上述检验后方可
使用平差成果，且应将此检验作为平差中的一个组成部分，不能省略。

２．２迭代收敛结果的方差一致性检验实质在方差分量估计中，主要有Ｈｅｌｍｅｒｔ法、ＭＩＮＱＵＥ
法、ＢＩＱＵＥ法和极大似然估计法，实用中则常用Ｈｅｌ
ｍｅｒｔ法。

相关文献说明了这些方法之间相互等价的条件，为不失一般性，下面将取Ｇａｕｓｓ．Ｍａｒｋｏｖ函数模
型和我国学者欧自强提出的随机模型并结合Ｈｅｌｍｅｒｔ
型方
差分量估计进行讨论。

设有ｋ类观测值，函数模型和随机模型分别如下
Ｅ（Ｌ、＝ＡＸ
（２）（３）
∑Ａ＝ｔｙ０２Ｑ＝ｔｙ０２ｌ，一；ｄｉａｇ［ｏ＇０２
１ＰＩ一１畦只＿１…《２ｔ气－１］
略去推导，Ｈｅｌｍｅｒｔ型方差分量估计的严密公式为
Ｓｔｙ２＝Ｅ（％）
（４）
式中，盯２＝［爵哪２：…醯］７，Ｅ（Ｗｖ）＝［Ｅ（印
只Ｖ）Ｅ（Ｖ：Ｐ２Ｖ２）…Ｅ（嵋最Ｋ）］７，系
数矩阵Ｓ的性质为
ｔｒ（Ｓ）＝ｒ
（５）
即ｓ的轨迹等于平差问题的自由度。

实际求解中，则是将（４）式的数学期望去掉，从而按下式
Ｓｄ２＝ｗｖ
（６）
求得方差分量ｔ３ｒ２的估值ｄ２。

由于去掉了数学期望，因此，从统计学角度讲，每类观测值必须足够多（进一步的分析是相应每类观测值的自由度）才能使估值毋２具有良好的统计
性质和可靠性，而且可以部分解释负方差因子出现的原因。

但不幸的是，目前许多讨论方
差分量估计应用的文章并没有注意到这一点，所列举的例子中观测值的数目是极其有限
２
的。

此外．还是因为去掉了数学期望，即使平差模型均正确，第一次方差分量估计也不会
得出各类方差因子完全相等的结论。

理想的情况是，若各类
观测值的自由度均较大，则各
类方差因子估值应近似相等，但近似相等的概念需要统计学
上的严格定义，方差分量估计并没有注意到这一点。

从Ｈ
ｅｌｍｅｒ【１９２４年提出方差分量估计，到后来的Ｗｅ
ｌｓｃｈ等人都认为（６）式应采用迭
代解法，而直至今天，所有的方差分量估计法也都在采用迭
代解法，其中原因就是随机模
型的定义中，方差因子要唯一。

毫无疑问，迭代收敛结果的确能满足（３）式，但这种带有
一定强制性的迭代收敛条件也必然有一定的代价。

假如通过
第Ｊ一１次迭代，６２中各类方差因子已近似相等，设为ｄ：““’，顾及（５）式，应有
ｒ繇‘７―１）≈ｙ（７―１）７Ｐ（７―２’ｙ（７―１’相应第Ｊ次迭代结果有
（７）
ｒ祥‘７’ｚｙ（７）７∥’１’ｙ（７’
此外，由迭代过程知，
．２
（８）
Ｐ”。

ｋ茄而一“２’
Ｖ０
（９）
式中：Ｃ２――ｊ，次迭代中定权所用的方差因子。

因为结果收敛，应有Ｖ‘７’。

Ｖ‘“”。

顾及这一点，将（９）式代入（８）式并与（７）式
比较可得
祥‘７）ｚＣ２
时，相应（１）式就有
（１０）
即迭代收敛结果的验前方差因子与验后方差因子近似相等。

当取第Ｊ次结果为合理结果
ｚ２：．Ｖｒｐ－ｖ；ｒ
（１１）
因此，方差分量估计迭代收敛结果，也即所谓合理的权比，
其实质就是使方差一致性检验统计量近似等于平差问题的自
由度，且不论各类观测值个数的多少，只要解的形式如（６）式，系数矩阵具有（５）式的性质，任何方差分量估计方法
的迭代收敛结果都具有此性质。

传统的Ｌｓ解中Ｚ２统计量
具有统计的性质，但方差分量估计迭代收敛结果的ｚ２统计
量却己失去统计意义，这不由让我们提出，ＬＳ估计中，若
方差一致性检验已经通过，还
有没有必要进行方差分量估计？
３方差分量估计迭代收敛结果的精度估计
在用迭代收敛结果估计（２）式中参数精度时，可以证明，
随机模型误差并不影响参数估值的无偏性，而定权不正确则
会影响参数估值的最优性，使其精度降低。

设正确的随机模
型为（３）式，则有参数估值的精度为
Ｄ（ｘ）＝《（Ａ。

ＰＡ）“
（１２）
当取（９）式中的Ｃ２为爵时，记方差分量估计迭代收敛结
果的权阵设为声，则收敛结果的
参数估值精度为
Ｄ（Ｘ）＝“２（∥ＰＡ）“
（１３）
一般情况下户≠Ｐ，特别是各类观测值个数较少时，两者可能相差甚远，因此，方差分量
估计所得参数估值并不是最优无偏估计量，而所谓的方差分量估计能提高精度的说法也是不可靠的。

当只有某一类观测值验前随机模型正确时，由于其他类观测值的随机模型误差也会影
响到这一类观测值的改正数，可以想像，方差分量估计也会得出与其不尽相同的验后随机
模型，而此时以验后随机模型所得的解也是不尽合理的。

为此，我们认为应该考虑这种情
况下的方差分量估计。

４函数模型误差对方差分量估计的影响
平差模型误差中，函数模型误差，如粗差和系统误差也是普遍存在的，方差分量估计
也没有考虑这一点，它们总是假设函数模型是正确的。

如在ＭＩＮＱＵＥ法的最小范数条件推导中¨２｝，各类方差分
量的所谓理论估值实际上就是去掉了数学期望的中误差公式，并以
它们为标准得到的，显然这里要求各类观测值个数要尽量多，且不能含有粗差和系统误差。

由于讨论粗差的平均漂移模型
ＥｌＬ）＝ＡＸ＋ｊｇ十ＡＸｏ＋Ｄ
（１４）
与附加系统参数的函数模型
刚＝ＡＸ＋ＢＳ＋ＡＸｏ＋Ｄ
形式相同，略去推导，有
ｋ
（１５）
Ｆ’只霹＝［ｍｆ－２ｔｒ（Ⅳ。

１Ⅳｊ）】《２。

＋∑ｔ
ｒ（Ｎ“ＭⅣ’１ⅣＪ）吒
Ｊ＝ｌ
（１６）
其中
Ｆ７只《＝（Ｖ＋△Ｋ）７只（Ｖ＋△Ｖ）＝Ｖ７只Ｖ＋Ｖ
７Ｐ，ＡＶ，＋△Ｖ７只Ｖ＋△Ｖ７￡△Ｖ
（１７）
上式右端后三项即为粗差或系统误差对Ｈｅｈｎｅｒｔ方差
分量估计公式的影响量，此时，若不顾及粗差或系统误差的话，则由粗差或系统误差所产生的影响值就会转移到随机模
型中去，从而造成方差分量估计迭代收敛结果的失真。

５结束语
综合以上分析，我们认为方差分量估计理论并不是十分完善，主要有函数模型误差将
导致其结果失真、迭代收敛结果失去了一定的统计意义和并
不能得到最优无偏估计量。

为进一步解决这些问题，特提出
以下建议供讨论：（１）关于方差分量估计前提。

可以确定
的是，在方差分量估计前必须要确保函数模型的正确性，否则，二者将相互影响。

尤其是，当Ｌｓ估计方差一致性检验
失败时，必须准确地查找具体原因。

若确是随机模型误差引起，应研究能够鉴别究竟是哪类观测值的随机模型不准的方法，然后，类似网的基准概念，有必要进行随机模型基准的
研究，以使方差
分量估计结果更合理。

４
（２）方差分量估计是否需要迭代。

就像我国著名大地测量
学家周江文先生１９７８年所
指出的那样，估值可以有好坏，但不以收敛为标志。

第一次
方差分量估计值不等的程度达
到多大才是失调，应由统计的方法给出。

总之，我们认为在完善模型误差理论的同时，也应该考虑避
免模型误差的相互影响问
题。

验前和验后精度都是统计意义上的概念，若能通过验前
精度检验机制，确保了随机模型的正确性，则对我们研究随
机模型将大为有利。

作者简介刘长建，男，１９７３年１０月出生。

２００２年，解放军信息工程大学，硕士。

信息工程大学测绘学院，大地
测量学与测量工程，讲师。

获军队科技进步二等奖２项．三
等奖一项。

地址：信息工程
大学测绘学院一系，邮编４５００５２：电话０３７１?３５
３５２２０（３５３５２１９，３５３５２１０）：Ｅ－ｍ
ａｉｌｌｃｊ一１９７３＠ｔｏｍ．ｃｏｍ
断面测量内外业一体化系统研究
张培存吕存宣王志军
摘要本文介绍了断面测量内外业一体化系统的主要功能、操
作方法及其在生产中的
应用。

关键词断面测量一体化数据采集数据处理成果输出Ａｕｔｏ
ＣＡＤ
１概述
断面测量是工程测量中的～个主要内容，其主要为水利、交通、电力等设计部门提供河道、堤防、公路及电力线路上的
断面资料，为河道治理、公路、电力线路的选取提供测
量数据。

目前，在断面测量自动化方面，比较成熟的软件极为匮乏，
且通用性差、功能单一。

为此，我们结合生产实际，成功研制出“断面测量内外业一
体化系统――断面之星２００３”，
实现了断面测量工作全程数字化。

该系统用ＶＢ６．０语言
编写，界面友好、操作简便、通用性强，可以实现：①测量
数据采集自动化；②断面数据处理及断面图绘制自动化：③
测量成果实行数据库管理。

把断面测量的各项限差内置在系
统中，在测量过程中实时监控，自动检查，保证了原始观测
数据的质量，实现“测、编、绘’’一体化，提高工作效率，降低了测量人员的劳动强度，能够快速、准确地为有关部门
提供测量成果。

２系统界面简介及主要功能
该系统界面直观、友好，由菜单栏和工具栏组成，并设置多
个形象逼真的快捷按钮。

对应的功能分别为：新建、打开、保存、剪切、复制、粘贴、全站仪通讯、ＨＰ掌上电脑数据通讯、数据录入、数据预处理、图形检查、高程转换、断面叠加、生成ＣＡＤ图形、生
成成果表、打印成果表、生成公里桩文件、五等水准平差。

本系统主要由以下几个模块组成：工程放样、数据采集、数
据处理、成果输出、工
５
方差分量估计的新思考
作者：作者单位：刘长建，张建军，马高峰解放军信息工程大学测绘学院
相似文献(10条) 1.学位论文赵建国 GIS中地籍宗地面积处理及其方差分量估计 2001
论文对房地信息系统基础数据库建库过程中数字化地籍宗地面积处理问题进行了较为全面的论述,系统地研究了宗地面积处理的原理和方法.通过对房地信息系统基础数据库建库过程的总结和分析,指出了数据质量检查与控制对保证数据入库的重要作用,阐述了在房地信息系统基础数据库建库过程中宗地面积处理的重要性.详细地推导了各种情况下宗地面积处理的平差模型和方法,进一步地讨论了把存在误差的已知面积数据作为观测值参与平差,并导出了考虑带有尺度参数的面积处理模型.给出了采用不同方案进行面积处理的实例计算结果,通过对这些结果的分析和讨论,阐述了地籍宗地面积处理及其方差分量估计的不同特点,得出了一些有益的结论.说明了采用方差分量估计来处理地籍宗地面积是更合理的和可行性,同时也指出了宗地面积方差分量估计应注意的问题.
2.期刊论文刘长建.马高峰 Helmert方差分量估计的粗差检验与抗差解 -测绘信息与工程2002,27(6)
当观测值中含有粗差时,检验表明Helmert方差分量估计结果同样含有粗差,且粗差还可能会发生转移.为有效地抵制粗差和随机模型误差的互相影响,指出了发生这一转移的原因,介绍了基于双因子等价权的抗差估计,并针对相关Helmert方差分量估计抗差解求解过程中容易出现的法矩阵0值溢出问题,提出了改进方法.
3.期刊论文童小华.刘大杰.龚健雅 GIS中宗地面积的平差模型与方案探讨 -武汉大学学报(信息科学版)2003,28(2) 首先给出了面积平差的基本原理和数学模型,并提出了面积平差处理的3种方案,并对这3种方案进行了实际计算和分析.
4.期刊论文杨元喜.张丽萍中国大地测量数据处理60年重要进展第一部分:函数模型和随机模型进展 -地理空间信息2009,7(6)
大地测量函数模型与随机模型是大地测量数据处理必须要涉及的模型.经过60年不懈努力,中国学者根据大地测量应用实际,构建和改进了许多函数模型,如广义测量平差模型、等价观测方程、非线性平差模型等;在方差分量估计和误差检验方面做了大量创新性工作,如基于Bayes估计的方差分量估计、拟准误差检验等,丰富了测量平差理论与方法.这一部分重点介绍建国60年来中国学者在大地测量数据处理函数模型、随机模型和误差检验方面所取得的成就.
5.期刊论文黑志坚.周秋生.冯守良.HEI Shou-liang 基于全站仪三维观测数据的短边控制网平差模型 -黑龙江工程学院学报（自然科学版）2005,19(4)
在全站仪短边三角高程测量可以代替水准测量的前提下,建立基于全站仪三维观测数据和站心坐标系的短边控制网平差函数模型和随机模型,并给出利用方差分量估计近似公式进行方差分量估计,从而确定各类观测值的权的计算方法.
6.学位论文乐科军基于Helmert方差分量估计的半参数回
归模型若干算法研究 2009
本文主要针对现代测绘技术下的系统误差处理问题，首先研
究了基于Helmert方差分量估计的半参数回归模型，同时，
结合大地测量实际问题，构造了多种求解该模型的有效算法，最后通过若干数值模拟和实例应用分析了其可行性和有效性，完善和发展了半参数回归模型在测绘领域中的应用。

其中，
本文主要研究了以下几方面工作： 1.系统分析了测绘新技
术下系统误差的研究背景，重点回顾了平差模型、半参数回
归模型及平差随机模型的验后估计的研究现状。

2.简要介绍
了半参数回归模型、Helmert方差分量估计及半参数回归模
型虚拟观测值解法的基本原理。

3.针对补偿最小二乘解法的
不足，利用区域化变量理论和Helmert方差分量估计，构造
了基于半变异函数的半参数虚拟解法，并在GPS高程拟合中
成功应用，效果显著。

4.借鉴拟合推估理论和方法的新发展，提出了基于Helmert方差分量估计的半参数回归模型两步极
小估计法，实现对系统误差的分步建模，提高了参数估计的
精度，并通过数值模拟分析了两步极小估计的原理，证明了
算法的可行性和合理性。

5.顾及到半参数回归模型的不适定性，结合大地测量中的实际情况，提出了具有先验信息约束
的半参数回归模型。

基于Helmert方差分量估计，分别研究
了附等式和不等式约束下的具体算法，并构造了其自由网平
差算法；最后，通过模拟分析，说明了算法的必要性和有效性。

7.会议论文黑志坚.周秋生.冯守良基于全站仪三维观测数
据的短边控制网平差模型 2005
本文在全站仪短边三角高程测量可以代替水准测量的前提下,
建立了基于全站仪三维观测数据和站心坐标系的短边控制网
平差函数模型和随机模型,并给出了利用方差分量估计近似公式进行方差分量估计,从而确定各类观测值的权的计算方法。

8.期刊论文刘大杰.童小华.赵建国附加尺度参数的地籍宗地面积处理 -同济大学学报(自然科学版)2002,30(4)
提出了在平差模型中附加面积尺度参数,并采用带参数的条件平差方差分量估计来确定不同观测值的权,以进行宗地面积处理.为了检验面积的尺度性系统误差的显著性,利用平差计算的结果进行了显著性假设检验.并采用四种面积处理方案对实例进行计算和比较.理论分析和实际计算表明,附加尺度参数,可以更好地减弱或探测宗地数字化中的面积尺度性系统误差的影响.同时,在面积系统性误差较大的情况下,附加面积尺度参数来处理是必要的,其效果也是明显的.
9.学位论文李明叁海洋测深网平差的理论与方法研究 2007
在国家自然科学基金项目“海洋测深网平差的理论与方法”资助下，本文回答和解决了一个海洋测深数据处理的科学问题：能否象陆地测量那样，利用测深网交叉点的不符值，通过平差方法来提高测深精度和准确评定测图质量。

本文的研究成果证实：引入测线系统误差结构后，采用秩亏网平差原理，能够利用交叉点不符值来有效探测数据系统误差和提高测深精度，并且还可改进测图质量的检核评估方法。

论文的主要研究内容和创新点有： 1.分析了海洋测深的线状布设结构特点和测深误差影响的空域特点，论证了海洋测深数据网平差是探测测深数据系统误差、检核评估测图质量和提高测深精度的必要手段。

分析了交叉点不符值的误差结构，探讨了测深数据组网平差的秩亏特性。

2.针对测线测深模式下海洋测深数据网平差的秩亏特性，提出了适用于海洋测深网平差的基础数学模型和约束基准的选取准则和方法。

研究表
明：在确信某(多)条测线不存在系统误差时，应采用强制性
约束基准，否则，应采用全部参数的最小范数约束并进行基
准优化。

3.约束基准的确定是海洋测线秩亏网平差的基本问题。

为了科学合理地选择约束基准，设计了一种全新的交叉
点差值的图形表示法，采用该方法能够直观地初步确定是否
采用强制性约束基准；采用该方法还可直观有效地进行测图
质量的评估，其评估能力优于传统的数值表示法。

4.针对平
差前无法直观选择的情况，提出了海洋测深网平差约束基准
的优化基准确定方法。

基准的优化确定是海洋测线秩亏网平
差理论的核心问题，深入研究发现：当采用约束基准不正确时，海洋测深网平差过程中存在转移效应和淹没效应。

本文
正是基于对转移效应和淹没效应的理论分析，借助于假设检
验理论，提出了海洋测深网平差在优化基准的逐步平差确定
方法。

5.系统地分析了测深数据观测权对海洋测深网平差结
果的影响，讨论了海洋测深网交叉点差值可能存在的三种方
差/协方差形式，尝试采用Helmert方差分量估计算法来确
定交叉点差值观测权，研究表明：Helmen方差分量估计可有
效用于海洋测深的网平差，提高测线系统误差探测的准确性
和测深数据质量评估的可靠性。

6.研究了海洋测线布设的网
结构对海洋测深数据网平差结果的影响，建立了系统误差分
辨率、网平差模型可靠性与网结构的关系，在此基础上，给
出了旨在提高系统误差分辨率和可靠性的海洋测深测线网结
构的优化建议。

7.针对海洋测线网结构的区域不规则性，提
出了海洋测深数据处理的网平差模型的分类处理模式，对测
线网的规则区域采用秩亏网平差模型处理、对其非规则区域
采用其他统计方法处理，试验结果表明了分类处理模式的合
理性和有效性。

8.研制了海洋测深网平差软件系统的理论分
析和工程实用化软件。

研制内容包括：测线网结构的可视化、交叉点不符值的求定与图形表示、分类处理模式下平差区域
的选择、自动组建误差方程、基准的自动确定、平差值解算
以及测线系统误差改正等功能，同时该软件还具有仿真分析
研究功能，该软件为海洋测深网平差的理论与方法走向实用
提供技术基础，经过有关单位试用，证实了本文方法的可靠性。

10.期刊论文蔡士毅.李博峰.石德斌.刘成.沈云中.Cai Yunzhong 无碴轨道高速铁路精密测量数据处理 -大地测量与
地球动力学2008,28(1)
提出一种适合无碴轨道高速铁路精密工程测量的数据处理方法:先采用拟稳平差选择兼容的起算点,然后应用间接平差模
型平差;在平差过程中,用Baarda粗差探测的方法逐个剔除粗差,再用Helmert方差分量估计方法合理地确定边、角的权比.计算结果表明:该方法能有效地提高控制网平差精度和可靠性.
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