安徽省安庆市怀宁县第二中学2019_2020学年高二数学下学期期中线上检测试题理含解析

某某省某某市怀宁县第二中学2019-2020学年高二数学下学期期中

线上检测试题 理（含解析）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设3

y e =，则'y 等于（ ） A. 23e B. 2e C. 0D. 3e 【答案】C 【解析】 ∵3

y e = ∴0y '= 故选C

2.复数(

)(

)

2

2

22z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） A. 2a ≠，或1a ≠ B. 2a ≠，且1a ≠ C. 2a =，或0a = D. 0a = 【答案】C 【解析】 【分析】

利用复数的运算性质和几何意义即可得出.

【详解】解：由于复数(

)(

)

2

2

22z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上, 因此, 220a a -=，解得2a =，或0a = 故选C

【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.

3. 下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A. 三角形B. 梯形C. 平行四边形D. 矩形 【答案】C 【解析】 【分析】

根据平行六面体的结构特征可得出合适的选项.

【详解】根据题意 ，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的为平行四边形的运用，故可知答案为C. 故选：C.

【点睛】本题主要是考查了类比推理的运用，属于基础题． 4.设0x 为()f x 的极值点，则下列说法正确的是（ ） A. 必有()'

00f x = B.

()'0f x 不存在

C. ()'

00f

x =或()'0f x 不存在D. ()'0f x 存在但可能不为0

【答案】C 【解析】 分析】

根据函数极值点的知识确定正确选项. 【详解】设()2

f x x =，则()'

2f

x x =，()'00f x =，且当(),0x ∈-∞时，()'0f x <，()f x 递减；当()0,x ∈+∞时，()'

0f

x >，()f x 递增.

所以00x =是()f x 的极小值点，且满足()'

00f x =.由此排除BD 选项.

设(),00,0,0x x f x x x x x >??===??-

，当(),0x ∈-∞时，()'

10f x =-<，()f x 递减；当()

0,x ∈+∞

时，()'

10f

x =>，()f x 递增.

所以00x =是()f x 的极小值点，但()'

0f x 不存在，由此排除A 选项.

综上所述，正确的选项为C. 故选：C

【点睛】本小题主要考查函数极值点的知识，属于基础题.

5.已知()1cos f x x =，()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，()()43f x f x '=，…，

()()1n n f x f x -'=，则()2020f x 等于（ ）

A. sin x

B. sin x -

C. cos x

D. cos x - 【答案】A 【解析】 【分析】

首先根据题意得到在逐次求导过程中，所得函数周期为4，再计算()2020f x 即可. 【详解】因为()1cos f x x =，()()21sin f x f x x '==-，()()32cos f x f x x '==-，

()()43sin f x f x x '==，()()54cos f x f x x '==，

所以在逐次求导过程中，所得函数周期为4， 故()()42020sin f x x f x ==. 故选：A

【点睛】本题主要考查导数的运算，熟记正弦，余弦的求导公式为解题的关键，属于简单题.

6.内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A. R B. 2R C. 43R D. 34

R 【答案】C 【解析】

设圆锥的高为h,底面半径为r,

则R2=(h-R)2+r2,所以r2=2Rh-h2,

所以V=1

3

πr2h=

π

3

h(2Rh-h2)

=2

3

πRh2-

π

3

h3,V′=

4

3

πRh-πh2,

令V′=0,得h=4

3 R.

当0

3

R时,V′>0;当

4R

3

因此当h=4

3

R时,圆锥体积最大.

7.观察如图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由前两行与前两列都是两个黑的和一个空心的图形，且图形各不一样，即可得解.

【详解】解:观察前两行与前两列都是两个黑的和一个空心的图形，且图形各不一样，

则第三行或第三列也应具备这个特性，

即可知空格内应填“”,

故选: C.

【点睛】本题考查了归纳推理能力，属基础题.

8.一物体在力F（x）＝4x﹣1（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1m处运动到x＝3m处，则力F（x）所作的功为（）

A. 16. 14JC. 12JD. 10J 【答案】B 【解析】 【分析】

由定积分的物理意义，变力F （x ）所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案． 【

详解】根据定积分的物理意义，力F （x ）所作的功为()3

1

41x dx -=?

（2x 2-x ）3

1|=14；

故选B

【点睛】本题主要考查了定积分在物理中的应用，同时考查了定积分的计算，属于基础题 9.函数sin cos y x x x =+，(),x ππ∈-的单调增区间是（ ）

A. ,2ππ??-- ??

?和0,2π?? ???B.

,02π??- ???和0,2π??

??? C. ,2ππ??

--

??

?

和,2ππ??

???

D. ,02π??- ???和,2ππ?? ???

【答案】A 【解析】 【分析】

先求出函数的导数，然后令导数大于零，利用导数求函数的单调增区间即可. 【详解】∵sin cos y x x x =+， ∴sin cos sin cos y x x x x x x '=+-=， 令0y '>且(),x ππ∈-，

当(],0x π∈-时，cos 0x <，解得2

x π

π-<<-

，

当()0,x π∈时，cos 0x >，解得或02

x π

<<

，

所以函数的单调增区间是,2ππ??-- ???和0,2π?? ???

.

故选：A .

【点睛】本题考查利用导数研究三角函数的单调性，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

10.已知函数()y xf x '=的图象如图所示(其中()f x '

是函数()f x 的导函数)，则下面四个图象

中，()y f x =的图象大致是（ ）

A

.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】

根据所给图像分段分析函数的单调性判断即可. 【详解】由()y xf x '

=的图象可得：

当1x >时,()0xf x '

>,∴()0f x '>,即函数()y f x =单调递增；

当01x <<时,()0xf x '<,∴()0f x '<,即函数()y f x =单调递减；

当10x -<<时,()0xf x '

>,∴()0f x '<,即函数()y f x =单调递减；

当1x <-时,()0xf x '<,∴()0f x '>,即函数()y f x =单调递增, 观察选项,可得C 选项图像符合题意. 故选：C.

【点睛】本题主要考查了根据导函数的图形判断原函数的图形方法,属于基础题. 11.已知函数3

2

()f x x bx cx d =+++在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +（ ）

A. 有最小值152

B. 有最大值152

C. 有最小值152-

D. 有最大值15

2

-

【答案】D 【解析】

试题分析：由f （x ）在[-1，2]上是减函数，知f ′（x ）=3x 2+2bx+c ≤0，x ∈[-1，2]， 则f ′(-1)=3-2b+c ≤0,且f ′(2)=12+4b+c ≤0，?15+2b+2c ≤0?b+c ≤-

15

2

，故选D. 考点：本题主要考查了函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

点评：解决该试题的关键是先对函数f （x ）求导，然后令导数在[-1，2]小于等于0即可求出b+c 的关系，得到答案．

12.设()()f x g x 、是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b <<时有（ ）

A. ()()()()f x g x f b g b >

B. ()()()()f x g b f b g x >

C. ()()()() >f x g a f a g x

D. ()()()()f x g x f x a g > 【答案】B

【解析】 【分析】 构造函数()()()f x F x g x =

，再根据()()()()0f x g x f x g x ''-<可得()0F x '<，()

()()

f x F x

g x =为减函数，再根据单调性列出不等式判断即可. 【

详

解

】

设

()

()()

f x F x

g x =

，则

2()()()()

()()

f x

g x f x g x F x g x -'''=

，由

()()()()0f x g x f x g x ''-<得()0F x '<，因为a x b <<所以

()()()

()()()

f b f x f a

g b g x g a <<， 又()()f x g x 、是定义域为R 的恒大于0的可导函数，故()()()()f x g b f b g x >.

故选：B

【点睛】本题为构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数单调性比较大小或解不等式典型考题，属于中档题.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.如果(

)(

)

2

2

120m m m i -+->，则实数m 的值为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】

首先根据题意得到()()2

2

12m m m i -+-为实数，再计算m 的值即可. 【详解】由题知：(

)(

)

22

12m m m i

-+-实数，

所以22

20

210

m m m m ?-=?=?->?. 故答案为：2

【点睛】本题主要考查复数的定义，属于简单题.

14.设点P 是曲线3

2

3

y x =-+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值X 围为____________. 【答案】20,,23πππ????

?????????

【解析】 【分析】

设点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得tan σ≥，即可得到答案.

【详解】设点00(,)P x y ，由函数3

2

3

y x =+

，可得23y x '=≥

可得

02

0|3x x y x ='=≥，即tan σ≥ 又由[

)0,σπ∈，所以20,

,23πππ????

?????????

. 故答案为：20,

,23πππ????

?????????

. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

15.

1

2

=?

____________.

【答案】

6

π

【解析】 【分析】

根据定积分的几何意义，画出几何图形，根据积分上限和下限即可求得其面积，即为积分值.

【详解】令y =2

2

1x y +=()0y ≥，

表示以()0,0为圆心，1为半径的圆与12

x =，1x =围城的阴影面积，

如图所示：

1

12cos 12

AOB ∠==，故3

AOB π

∠=.

所以

2212

11133

1116226x dx ππ-=??-??=?

故答案为：

36

π

-

【点睛】本题考查了定积分的几何意义，几何法在求定积分中的应用，属于简单题. 16.函数()()2

ln 23f x x x =++在区间31,44??

-????

上的最大值与最小值之和为____________.

【答案】5ln 716

+ 【解析】 【分析】

利用导数求得函数的单调性，进而求得极值和区间端点处的函数值值，找出函数的最大值和最小值即可.

【详解】解：由题得()f x 的定义域为3,2??

-

+∞ ???

， ()22(1)(21)

22323

x x f x x x x ++'=

+=++ 由()0f x '=得，1x =-或1

2x =-,因为31,44x ??∈-????

所以11,24??

- ???

时，()0f x '>，()f x 单调递增；

31,42x ??

∈--????

时，()0f x '<，()f x 单调递减；

所以1

2x =-为极小值点，且11ln 224f ??-=+ ???

，

又因为339ln 4216f ??

-

=+ ?

??，171ln 4216f ??

=+ ???

又13711ln ln 2044322f f ??

??--=->->

? ?????

，所以max 171()ln 4216f x f ??

==+ ???

所以()min 11ln 224f x f ??

=-

=+ ?

??

. 所以max min 7115()()ln ln 2ln 7216416

f x f x +=+++=+. 故答案为：5ln 716

+

. 【点睛】本题主要考查用导数求函数的最值，属于中档题. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分）

17.已知2

()(0)f x ax bx c a =++≠，且()12f -=，()00f '=，

1

()2f x dx =-?

，求a 、b 、

c 的值．

【答案】6a =，0b =，4c =-． 【解析】 【分析】

由题意对()f x 进行求导，可得()2f x ax b '=+，结合()12f -=，()00f '=，列出关于

a 、

b 、

c 的两个方程；再对

1

()f x dx ?

进行计算，得出关于a 、b 、c 的另一个方程，将三

个方程联立即可解答.

【详解】∵()12f -=，∴2a b c -+=．① 又∵()2f x ax b '=+，∴()00f b '==．②

而

()1

120

()f x dx ax bx c dx =++?

?，

取32

11()32

F x ax bx cx =

++， 则()2

F x ax bx c '=++， ∴

1

11

()(1)(0)232

f x dx F F a b c =-=++=-?

.③

解①②③得6a =，0b =，4c =-．

【点睛】本题是一道关于函数的题目，总体方法是掌握导数和积分的知识，属于基础题. 18.已知函数()3

2f x x x =-及()y f x =上一点()1,1P -，过点P 作直线l ，使直线l 和

()y f x =相切.求直线l 的方程.

【答案】20x y --=或5410x y +-=. 【解析】 【分析】

由于P 点函数()f x 上，所以分（1）当切点为P 点时，（2）当P 点不为切点时，可设切点坐标为()()000 ,1x y x ≠，两种情况分别求解切线的斜率，再由直线的点斜式方程可求得切线方程.

【详解】由题意知，P 点函数()f x 上. （1）当切点为P 点时，

()'232f x x =-，∴直线l 的斜率()'11k f ==，

∴此时直线l 的方程为11y x +=-，即20x y --=.

（2）当P 点不为切点时，可设切点坐标为()()000 ,1x y x ≠，则此时直线l 斜率

()0'2032k f x x ==-，

又0011y k x +=

-，2

00

01321

y x x +∴-=-，3

0002y x x =-，

∴解得01

2x =-，078y =，54

k ∴=-，

∴此时直线l 的方程为751842y x ??

-

=-+ ???

，即5410x y +-=. 所以直线l 的方程为：20x y --=或5410x y +-=.

【点睛】本题考查求过函数上的一点的切线方程，求解时注意分该点是切点和不是切点两种情况分别求解，属于中档题.

19.（1）已知数列{}n a 通项公式为()

12

n n n a +=，写出数列前5项. （2）记数列3

3

3

3

3

31,2,3,4,5,,,

n 的前n 项和为n S ，写出n S 的前5项并归纳出n S 的

计算公式.

（3）选择适当的方法对（2）中归纳出的公式进行证明.

【答案】（1）11a =，23a =，36a =，410a =，515a =；（2）11S =，29S =，336S =，

4100S =，5225S =，()2

2

14

n

n n S +=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据通项公式直接计算前5项即可. （2）首先计算n S 的前5项，再归纳n S 即可.

（3）首先验证1n =时等式成立，假设n k =时，等式成立，再证明1n k =+时等式也成立即可证明.

【详解】（1）11a =，23a =，36a =，410a =，515a =.

（2）11S =，3

2129S =+=，339336S =+=，34364100S =+=，

3

51005225S =+=，故()2

214

n

n n S += （3）当1n =时，1n S =，显然等式成立.

假设n k=时，等式成立，即有

()2

21

4

k

k k

S

+

=，

则当1

n k=+时有：()()()

2

2

33

1

1

11

4

k k

k k

S S k k

+

+

=++=++

()()

()()()()

2

22

2

2

2

111

12

11

444

k k

k k

k

k k

+++

++

??

=+++==

?

?

??

??

?

?

所以当1

n k=+时，等式也成立.

故原等式成立，归纳公式正确.

【点睛】本题主要考查数学归纳法的证明，同时考查了数列的通项公式，属于中档题.

20.如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

【答案】见解析

【解析】

【分析】

设箱子的底边长为xcm，则箱子高h＝60

2

x

-

cm.故其体积V(x)＝23

60

2

x x

-(0

(x)＝60x－3

2

x2＝0，据此结合函数的单调性确定箱子容积的最大值即可.

【详解】设箱子的底边长为xcm，则箱子高h＝60

2

x

-

cm.

箱子容积V＝V(x)＝x2h＝

23

60

2

x x

-(0

求V(x)的导数，得V′(x)＝60x－3

2

x2＝0，

解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝40.

当x 在(0,60)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：

因此在x ＝40处，函数V (x )取得极大值，并且这个极大值就是函数V (x )的最大值． 将x ＝40代入V (x )得最大容积V ＝402×

6040

2

-＝16 000(cm 3)． 所以箱子底边长取40 cm 时，容积最大，最大容积为16 000 cm 3.

【点睛】本题主要考查导函数研究函数的最值，实际问题抽象为数学模型的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21.已知函数()()2

11

x

x f x a a x -=+

>+. （1）判断()f x 在()1,-+∞上的单调性并证明； （2）用适当的方法证明方程()0f x =没有负根.

【答案】（1）函数()f x 在()1,-+∞上为增函数；证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）任取()12,1,x x ∈-+∞，通过计算得到()()210f x f x ->，由此证得()f x 在()1,-+∞上为增函数.

（2）利用反证法，假设存在()0001x x <≠-，满足()00f x =.对0x 分成010x 和01

x <-两种情况进行分类讨论，推出矛盾，由此证得方程()0f x =没有负根. 【详解】（1）函数在区间()1,-+∞上单调递增，证明如下：

任取()12,1,x x ∈-+∞， 不妨设12x x <，则210x x ->，

1a >，2

1

1x x a -∴>，且1

0x a >，

()2121110x x x x x a a a a -∴-=->.

又

1210,10x x +>+>，

()()()()()()21122121122121221111x x x x x x x x x x -+--+--∴

-=++++ ()

()()

21123011x x x x -=

>++

于是()()21

21212122

011

x

x

x x f x f x a a x x ---=-+

->++， 故函数()f x 在()1,-+∞上为增函数.

（2）假设存在()0001x x <≠-，满足()00f x =. ①若0000131

0,011,

1,

31

1

x x x x ，

则

000002133

12111x x x x x -+-==-<-+++，01x a <， ()00002

11

x x f x a x -∴=+

<-+与()00f x =矛盾. ②若01x <-，则

002

01

x x ->+，00x a >， ()00002

01

x x f x a x -∴=+

>+与()00f x =矛盾. 故方程()0f x =没有负数根.

【点睛】本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查函数零点问题，属于中档题.

22.已知函数f(x)＝

12

x 2

＋lnx. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当x>1时，

12 x 2

＋lnx<23

x 3. 【答案】 (1) f(x)的单调增区间为(0，＋∞) (2)略 【解析】 【分析】

（1）对函数求导，根据定义域，即可判断其单调性，从而知单调区间． （2）证明当x>1时，2312ln 23x x x +<，只需证当x>1时，3221

ln 032

x x x -->， 可设32

21()ln 32

g x x x x =

--，只需证明1x >时，()0>g x ，因此，利用导数研究()g x 的单调性，得出()(1)0g x g >>，结论得证． 【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，

∵f ′(x)＝x ＋，故f ′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g(x)＝x 3－x 2－lnx ，∴g ′(x)＝2x 2－x －， ∵当x>1时，g ′(x)＝

>0，

∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)>g(1)＝>0， ∴当x>1时， x 2＋lnx

【点睛】（1）求函数的单调区间，首先要考虑函数的定义域，然后求导，导函数大于0，可求单调递增区间，导函数小于0，可求单调递减区间．对于单调函数只需说明导函数大于0（小于0）即可．

（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个X 围内成立，解题时可转化为求函数最值（或值）的问题处理．