常数项级数的概念和性质

变量的函数un = un(x), 则称级数 un (x) 为函数项 n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1
2n
n1
1 1 24
1 2n
；
n 1 2 n ;
n1
(1)n1 1 1 1 1 (1)n1 ;
n1
cos n cos1 cos 2 cos n .
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
2k
lim
k
1
k 2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
三、无穷级数的基本性质
1. 性质1
若c0为常数，则 un 与 cun 有相同的敛散性，
lim
n
S
n
lim na
n
当公比 r = 1时，Sn=
a, n为奇数
,
故
lim
n
Sn不存在.
0, n为偶数
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
例4. 讨论级数
1
n1 (2n 1)(2n 1)
的敛散性.
解：
(2n
1 1)( 2n
1)
1 2
1 2n 1
n1
n1
数 (un vn )也收敛, n1
且
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
证 (un vn ) 的部分和为： n 1
n
Sn (uk vk ) (u1 v1 ) (u2 v2 ) (un vn ) k 1
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) S1n S2 n
交错级数是各项正负相间的一种级数，它的 一般形式为
n 1
n 1
且 cun cun .
n1
n1
n
证
un 的部分和为 Sn
u
，
k
n 1
k 1
cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n
lim
n
cS
n
c
lim
n
Sn
从而 cun cun 同时收敛或同时发散.
n1
n1
2. 性质2
若 un与 vn收敛， 其和分别为S1和S2，则级
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
(u1 u2 um ) um1 um2 umk (u1 u2 um )
Smk Sm
由于Sm当m固定时为一常数，所以
lim
k
S
k
lim
k
Smk
Sm
故 级数 un 与级数 uk有相同的敛散性 .
§7-2、常数项级数的审敛法
1. 正项级数的定义
定义：若级数 un满足un 0 (n 1, 2, ), 则称 n1
之为正项级数.
2. 正项级数收敛的充要条件
定理：正项级数
u
收敛
n
它的部分和数列
n1
{Sn}有界.
1
例10.
级数
2n
n1
1
是否收敛？
解：该级数为正项级数，又有 1 1
2n 1 2n
n1
例2. 下列各式均为函数项级数
(1)n1 x n1 1 x x 2 (1)n1 x n1 , x R.
n1
an x n a0 a1x a2 x 2 an x n , | x | 1.
n0
sin nx sin x sin 2x sin nx , x R.
u n n
x n
2n
n (n 1)2
n2
即 =x2, 由达朗贝尔判别法.
当0<|x|<1时，<1, 级数收敛. 当|x|>1时，<1, 级数发散.
当
|
x
|=1
时，=1,
但原级数紧时为 x2n
n2
n1
1.
n2
n1
这是 n = 2 的 P 一级数，是收敛的.
综上所述，当 0 < | x | 1 时，原级数收敛，当 | x | > 1 时，原级数发散.
解：等比级数的部分和为：
S n
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) .
1 r
当公比
|
r
|<1时，
lim
n
S
n
lim
n
a (1 r n ) 1 r
a 1 r
,
即S a . 1 r
当公比
|
r
|>1时，lim n
S
n
lim
n
a (1 r n ) 1 r
.
当公比
r
=1时，
n1
2. 级数的敛散性定义
无穷级数 un 的前n项之和： n 1 n Sn uk u1 u2 un , k 1
称为级数的部分和.
若
lim
n
S
n
S 存在，则称级数 un
n 1
收敛，
S称为级数的和： un S. n 1
若
lim
n
S
n
不存在(包括为)，则称级数
un
n 1
发散.
例3. 讨论等比级数 ar n1 的敛散性. n1
1
np
n1
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 5p
1 7p
1 8 p
1 9p
1 15 p
而
1 2 p
1 3p
1 2 p
1 2 p
1 2 p1
1 4 p
1 5p
1 7p
1 4 p
1 4p
1 4p
1 4p
1 4 p1
1 2 2 p1
1 8 p
1
9p
1 15 p
1 8p
n 1
k m1
4. 性质4
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然 收敛，且其和不变.
例9. 考虑一下几个问题： (1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答：不一定.
(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？ 答：不一定发散.
(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也 发散？
答：原级数也发散.
故
lim
n
S
n
lnim(S1n
S2n )
lim
n
S1n
lim
n
S
2
n
S1
S2
即 级数 (un vn ) 收敛，且 n 1
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
例7.
因为等比级数
n1
1与 2 n n1
1 收敛，所以级数
3n
1
n1 2n
1 3n
也收敛.
称为收敛级数的余项，记为
rn S Sn um mn1
显然
lim
n
rn
0.
二、级数收敛的必要条件
定理：若级数 un n 1
收敛，则必有
lim
n
u
n
0.
证
设
un
n1
S,
则
lim
n
S
n
S
lim
n
un
lim (S
n
n
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
S
n1
SS 0
例5. 判别 (1)n1
n1
6. 柯西根值判别法
设 un 为正项级数，极限 lim n
n 1
n
un
存在，则
(1) <1时, 级数收敛；
(2) >1 (包括= )时，级数发散；
(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.
例17.
判别级数
n1
x n
n
的敛散性，其中,
x
>
0
为常数.
解：记
un
x n，则 n
lim n
n
un
n1
n1
或从某一项N开始). 若 lim un ，则
v n n
(1) 0<<+时， un与 vn具有相同的敛散性 .
n1
n1
(2) =0时， vn收敛 un收敛.
n1
n1
(3)
=+时，
v
发散
n
u
n
发散.
n1
n1
1
例13. 判别级数
的敛散性 (a>0为常数)
n1 n2 a 2
1
解：因为 lim n2 a 2 1 (即=1为常数)
a 当x>a时， x 1，级数发散.
a
当0<x<a时， x 1，级数收敛.
a
当
x=
a
时，=1,
但
lim
n
un
lim x n n a
xa
lim 1 1， n
故原级数发散.
综上所述，当 0<x<a 时，原级数收敛. 当 x a 时，原级数发散.
五、任意项级数的敛散性 1. 交错级数及其敛散性
1 2n 1
Sn
1 2
1
1 3
1 2
1 3
1 5
1 1 2 5
1 7
1 2
1 2n
1
1 2n 1
1 2
1
1 2n 1
而
lim
n
S
n
lim
n
1 2
1
1 2n 1
1 2
故
1
1 ，即该级数收敛.
n1 (2n 1)(2n 1) 2
3. 收敛级数的余项
收敛级数 un 的和S与其部分和Sn的差SSn n 1
例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的.
问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？
答：不一定.
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
若 un发散，则其部分和Sn无界，从而 vn的部
n1
n1
分和Gn也无界，故级数 vn1发敛. n1
例11.
判断级数
n1
2
n
sin
x 3n
的敛散性. (0<x<3)
解：由于 0 2n sin x
3n
2n
x 3n
2 n x, 3
又
2 n x
x
2
n
，由等比级数的敛散性，
n1 3
(n=1, 2, …),
故 当n1时，有
1
1
1
n
Sn
n1
n1
k1 2k 1
2k
k 1
2 2 1 1
1 1
2n
1
2
即其部分和数列{Sn}有界，从而，级数
n1
2
1 n
收敛. 1
3. 正项级数敛散性的比较判别法
设有正项级数 un和 vn , 且0 un vn (n=1, 2, …)
n1
n n 1
的敛散性.
解：由于
lim
n
|
u
n
| lim (1)n1 n n n 1
1,
故
lim
n
un
0,
该级数发散.
1
例6. 证明调和级数 n1 n 是发散的.
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S 21
1
1， 2
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1
2， 2
S8 S23
( 1 cos x )收敛.
n1
n
5. 达朗贝尔比值判别法
设 un
n 1
为正项级数，极限 lim un1 u n
n
存在，则
(1) < 1时，级数收敛；
(2) > 1 (包括= )时，级数发散；
(3) = 1 时，不能由此断定级数的敛散性.
例15. 判别级数 1 xn 的敛散性，其中，x>0为常数. n1 n!
1 8p
1 8p
1 8 p1
1 2 p1
3
……………………………………
于是，P一级数加括号后生成的级数的每一项均
小于以
r
1 2 p1
1 为公比的等比级数的相应项，
故此时P一级数收敛.
综上所述，当p>1, P一级数收敛；当p1时， P一级数发散.
4. 比较 vn 0(n 1, 2, ;
n1 3
故 原级数收敛.
1
例12. 讨论P一级数 n1 n p
(p>0)的敛散性.
解：当p＝1时，P一级数为调和级数
n 1
1， n
它是发散的.
当0<p<1时，有0 1 1 , 由比较判别法，P一级
n np
数此时是发散的.
当p>1, 按1, 2, 22, 23, …, 2n, …项对P一级数加 括号，不影响其敛散性：
常数项级数的概念和性质
一、无穷级数的概念
1. 无穷级数的定义
设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
un u1 u2 un
n1
为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项.
若级数 un 的每一个项un均为常数，则称该 n 1
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个
lim n n
x n n
lim x 0 n n
即 = 0 < 1 , 故该级数收敛.
例18. 判别级数 x n 的敛散性，其中，x>0,
n1 a a>0为常数.
解：记
un
x
n
，则
a
lim n
n
un
lim n n
x
n
a
lim x x n a a
即 x ，由柯西根值判别法
n
1
n
又
1
n1 n
是调和级数，它是发散的，故原级数
1
n1 n2 a2 发散.
例14.
判别级数 n1
(
1
cos
x n
)
的敛散性，其中,
x>0为常数.
1 cos x
解：由于lim