2020版江苏高考数学一轮复习学案:第83课《合 情 推 理》(含解析)
第83课 合 情 推 理
1. 能利用归纳和类比进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.
2. 会运用所学知识对结论进行判断和证明.
1. 阅读:选修12第27~31页(理科阅读选修22相应内容).
2. 解悟:①合情推理,归纳推理和类比推理的过程分别是怎样的?各有哪些特点?②归纳推理和类比推理得到的结论一定是正确的吗?体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
3. 在教材空白处,完成选修12第33页练习第3、4题,第35页练习第2、3题(理科完成选修22相应任务).
基础诊断
1. 数列1,3,7,13,x ,31,…中的x = 21 .
2. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等差数列. 类比以上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,
T 8T 4 , T 12T 8
成等比数列. 解析:设等比数列{b n }的公比为q ,首项为b 1,则T 4=b 41q 6,T 8=b 81q 28,T 12=b 121q 66
,所
以T 8T 4=b 41q 22,T 12T 8=b 41q 38,即????T 8T 4
2=T 4·T 12T 8,故T 4,T 8T 4,T 12T 8成等比数列. 3. 已知x ∈(0,+∞),观察下列各式:x +1x ≥2,x +4x 2=x 2+x 2+4x 2≥3,x +27x 3=x 3+x 3+
x 3+27x 3≥4,…,类比得:x +a
x
n ≥n +1(n ∈N *),则a = n n . 解析:当n =1时,a =1;当n =2时,a =22=4;当n =3时,a =33=27,…,所以当x +a
x
n ≥n +1(n ∈N *)时,a =n n . 4. 在平面几何中有如下结论:正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则S 1S 2=1
4,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体PABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2= 1
27
.
解析:如图,正四面体PABC ,D 为底面三角形ABC 的中心,设正四面体的棱长为a ,
则AD =33a ,PD =63a.设OA =R ,OD =r ,则R 2
=????63a -R 2+???
?33a 2,所以R =64a ,r =
6
12
a ,所以正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1,故正四面体PABC 的内切球体积与外接球体积之比V 1V 2=1
27
.
范例导航
考向? 归纳推理问题
例1 如图,将全体正整数排成一个三角形数阵,按照图中排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为 n 2-n +62
.
解析:该数阵前n -1行共用了1+2+3+…+(n -1)=n (n -1)
2个数,因此,第
n 行(n ≥3)从左向右的第3个数,是全体正整数中的第n (n -1)2+3个,即为n 2-n +6
2
.
如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:
原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,…,以此类推,则标签2 0162的格点的坐标为 (-1 008,-1 008) .
解析:观察图中的点,点(0,0)处标0,即02,点(-1,-1)处标4,即22,点(-2,-2)处标16,即42,…,由此推断点(-n ,-n)处标(2n)2,当(2n)2=2 0162时,n =1 008,故标2 0162的格点的坐标为(-1 008,-1 008).
【备用题】 已知函数f(x)=
bx +1(ax +1)2
(x ≠-1
a ,a>0),满足f(1)=log 162,f(-2)=1.
(1) 求函数f(x)的表达式;
(2) 已知数列{x n }的项满足x n =[1-f(1)]·[1-f(2)]·[1-f(3)]·…·[1-f(n)],试求x 1,x 2,x 3,x 4;
(3) 猜想数列{x n }的通项公式.
解析:(1) 因为f(1)=log 162,f(-2)=1,代入
f(x)=bx +1
(ax +1)2
,得?????b +1(a +1)2
=1
4,-2b +1(1-2a )2
=1,
解得?
????a =1,b =0,
所以f(x)=
1
(x +1)2
(x ≠-1).
(2) x 1=1-f(1)=1-14=3
4,
x 2=3
4×????1-19=23, x 3=23×????1-116=58, x 4=58×????1-125=35
. (3) 把x 1,x 2,x 3,x 4的值分别写成: x 1=34,x 2=46,x 3=58,x 4=6
10,
于是归纳猜想,得x n =n +22n +2.
考向? 类比推理问题
例2 已知结论“等边三角形的中心将它一边上的高所分两段之比是2∶1”. (1) 对于正四面体,有类似的结论吗?请表示出来; (2) 请用数学知识证明你的结论或说明其成立.
解析:(1) 正四面体的中心将它一个面上的高所分两段之比为3∶1. (2) 设正四面体ABCD 的中心为O ,分别连结OA ,OB ,OC ,OD.
由正四面体的性质可知,其中心到各个面的距离相等,设为r ,其四个面的面积均相等,设为S ,
设其高为h ,则该四面体的体积
V =V OABC +V OBCD +V OCDA +V ODAB ,
所以13Sh =13Sr +13Sr +13Sr +13Sr =4
3
Sr ,
所以h =4r ,
即正四面体的中心将它一个面上的高所分成两段长的比为3∶1.
已知命题:在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 的顶点A(-p ,0)和C(p ,0),顶点B 在椭圆x 2m 2+y 2
n 2=1(m>n>0,p =m 2-n 2)上,椭圆的离心率是e ,则sin A +sin C sin B =1e .试将该
命题类比到双曲线中,给出一个真命题是 在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 的顶点A(-p ,0)和C(p ,0),顶点B 在双曲线x 2m 2-y 2
n 2=1(m>0,n>0,p =m 2+n 2)上,双曲线的离心率
是e ,则|sin A -sin C|sin B =1
e
.
解析:根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点A(-p ,0)和C(p ,0),顶点B 在双曲线x 2m 2-y 2
n 2=1(m>0,n>0,p =m 2+n 2)
上,双曲线的离心率是e.因为1e =a c =2a 2c =|AB -BC|AC ,所以由正弦定理得1e =|sin A -sin C|
sin B
.
自测反馈
1. 多面体 面数(F) 顶点数(V)
棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体
6
8
12 归纳猜想一般凸多面体中,F ,V ,E 所满足的等式是 F +V -E =2 .
2. 在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则他们的面积之比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长之比为1∶2,则它们的体积之比为 1∶8 .
解析:在空间内,若两个正四面体的棱长之比为1∶2,则它们的底面积之比为1∶4,对应高之比为1∶2,所以它们的体积之比为1∶8.
3. 在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC 的两边AB ,AC 互相垂直,则AB 2+AC 2
=BC 2.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥ABCD 的三个侧面ABC ,ACD ,ADB 两两相互垂
直,则 S 2△ABC +S 2△ACD +S 2△ABD =S 2△BCD .”
解析:因为三个侧面ABC ,ACD ,ADB 两两垂直,所以AB ⊥AC ,AC ⊥AD ,AD ⊥AB ,则由勾股定理得AB 2+AC 2=BC 2,AC 2+AD 2=CD 2,AD 2+AB 2=BD 2.设AB =x ,AC =y ,AD =z ,所以BC =x 2+y 2,CD =y 2+z 2,BD =x 2+z 2.根据余弦定理可得
cos ∠BCD =BC 2+CD 2-BD 22BC·CD =y 2
x 2+y 2·y 2+z 2,则sin ∠BCD =1-cos 2∠BCD =1-y 4(x 2+y 2)(y 2+z 2)
=x 2y 2+x 2z 2+y 2z 2
(x 2+y 2)(y 2+z 2)
,所以由三角形面积公式得S △BCD
=12BC·CD·sin ∠BCD =12
x 2+y 2·y 2+z 2·x 2y 2+x 2z 2+y 2z 2(x 2+y 2)(y 2+z 2)=12
x 2y 2+y 2z 2+x 2z 2
,
即S 2BCD =14x 2y 2+14y 2z 2+14
x 2z 2
=S 2△ABC +S 2△ACD +S 2
△ADB . 4. 在平面直角坐标系xOy 中,设△ABC 的顶点坐标分别为A(0,a),B(b ,0),C(c ,0),点P(0,p)在线段OA 上(异于端点).设a ,b ,c ,p 均为非零实数,直线BP ,CP 分别交AC ,AB 于点E ,F. 一同学已正确算出直线OE 的方程为????1b -1c x +????
1p -1a y =0,则OF 的方程为 ????1b -1c x -????1p -1a y =0 .
解析:由截距式可得直线AB :x b +y a =1,直线CP :x c +y
p
=1,两式相减得????1b -1c x -????1p -1a
y =0,显然,直线AB 与CP 的交点F 满足此方程.又原点O 也满足此方程,故直线OF 的方程为????1b -1c x -????1p -1a y =0.
1. 归纳推理和类比推理是合情推理的两种常见形式,合情推理得到的结论是猜测的性质,不全正确.
2. 归纳推理是从个别事实中推演出一般性的结论,是从特殊现象到一般现象的推理.通常归纳的个体数目越多,那么推广的一般性命题也会越可靠.
3. 你还有哪些体悟,写下来: