2020版江苏高考数学一轮复习学案：第83课《合 情 推 理》(含解析)

第83课 合 情 推 理

1. 能利用归纳和类比进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.

2. 会运用所学知识对结论进行判断和证明.

1. 阅读：选修12第27～31页(理科阅读选修22相应内容).

2. 解悟：①合情推理，归纳推理和类比推理的过程分别是怎样的？各有哪些特点？②归纳推理和类比推理得到的结论一定是正确的吗？体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

3. 在教材空白处，完成选修12第33页练习第3、4题，第35页练习第2、3题(理科完成选修22相应任务).

基础诊断

1. 数列1，3，7，13，x ，31，…中的x ＝ 21 .

2. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列. 类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，

T 8T 4 ， T 12T 8

成等比数列. 解析：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 28，T 12＝b 121q 66

，所

以T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38，即⎝⎛⎭⎫T 8T 4

2＝T 4·T 12T 8，故T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列. 3. 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋

x 3＋27x 3≥4，…，类比得：x ＋a

x

n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝ n n . 解析：当n ＝1时，a ＝1；当n ＝2时，a ＝22＝4；当n ＝3时，a ＝33＝27，…，所以当x ＋a

x

n ≥n ＋1(n ∈N *)时，a ＝n n . 4. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1

4，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝ 1

27

.

解析：如图，正四面体PABC ，D 为底面三角形ABC 的中心，设正四面体的棱长为a ，

则AD ＝33a ，PD ＝63a.设OA ＝R ，OD ＝r ，则R 2

＝⎝⎛⎭⎫63a －R 2＋⎝⎛⎭

⎫33a 2，所以R ＝64a ，r ＝

6

12

a ，所以正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1，故正四面体PABC 的内切球体积与外接球体积之比V 1V 2＝1

27

.

范例导航

考向❶ 归纳推理问题

例1 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为 n 2－n ＋62

.

解析：该数阵前n －1行共用了1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）

2个数，因此，第

n 行(n ≥3)从左向右的第3个数，是全体正整数中的第n （n －1）2＋3个，即为n 2－n ＋6

2

.

如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：

原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，…，以此类推，则标签2 0162的格点的坐标为 (－1 008，－1 008) .

解析：观察图中的点，点(0，0)处标0，即02，点(－1，－1)处标4，即22，点(－2，－2)处标16，即42，…，由此推断点(－n ，－n)处标(2n)2，当(2n)2＝2 0162时，n ＝1 008，故标2 0162的格点的坐标为(－1 008，－1 008).

【备用题】 已知函数f(x)＝

bx ＋1（ax ＋1）2

(x ≠－1

a ，a>0)，满足f(1)＝log 162，f(－2)＝1.

(1) 求函数f(x)的表达式；

(2) 已知数列{x n }的项满足x n ＝[1－f(1)]·[1－f(2)]·[1－f(3)]·…·[1－f(n)]，试求x 1，x 2，x 3，x 4；

(3) 猜想数列{x n }的通项公式.

解析：(1) 因为f(1)＝log 162，f(－2)＝1，代入

f(x)＝bx ＋1

（ax ＋1）2

，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1（a ＋1）2

＝1

4，－2b ＋1（1－2a ）2

＝1，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，

所以f(x)＝

1

（x ＋1）2

(x ≠－1).

(2) x 1＝1－f(1)＝1－14＝3

4，

x 2＝3

4×⎝⎛⎭⎫1－19＝23， x 3＝23×⎝⎛⎭⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎫1－125＝35

. (3) 把x 1，x 2，x 3，x 4的值分别写成： x 1＝34，x 2＝46，x 3＝58，x 4＝6

10，

于是归纳猜想，得x n ＝n ＋22n ＋2.

考向❷ 类比推理问题

例2 已知结论“等边三角形的中心将它一边上的高所分两段之比是2∶1”. (1) 对于正四面体，有类似的结论吗？请表示出来； (2) 请用数学知识证明你的结论或说明其成立.

解析：(1) 正四面体的中心将它一个面上的高所分两段之比为3∶1. (2) 设正四面体ABCD 的中心为O ，分别连结OA ，OB ，OC ，OD.

由正四面体的性质可知，其中心到各个面的距离相等，设为r ，其四个面的面积均相等，设为S ，

设其高为h ，则该四面体的体积

V ＝V OABC ＋V OBCD ＋V OCDA ＋V ODAB ，

所以13Sh ＝13Sr ＋13Sr ＋13Sr ＋13Sr ＝4

3

Sr ，

所以h ＝4r ，

即正四面体的中心将它一个面上的高所分成两段长的比为3∶1.

已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2

n 2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e .试将该

命题类比到双曲线中，给出一个真命题是 在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2

n 2＝1(m>0，n>0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率

是e ，则|sin A －sin C|sin B ＝1

e

.