02 第二节 两两间多重比较的检验方法

第二节 两两间多重比较的检验方法

通过单因素试验方差分析后,若拒绝0H ,即认为各水平指标间有显著性差异,这只能说明至少存在某两个水平指标间的差异是显著的,并不能断言任意两个水平指标间均存在显著差异.在实际问题中,往往需要判断任意两个水平指标间的差异是否显著,也就是在单因素方差分析作出拒绝零假设的前提下要进行多个总体均数之间的两两比较问题.

内容分布图示

★ 引言

★ Tukey 法 ★ 例1 ★ Scheffe 法 ★ 例2 ★ 内容小结

内容要点：

对于两个均数的比较问题,是建立在这两个总体的信息基础上进行的比较,不考虑之外的其它信息,它们之间的比较只是简单地以对方为参照,对于多个总体的两个均数之间的比较问题,除了以对方为参照外,还必须考虑其余总体所提供的信息.而以前学过的t 检验方法是针对两独立样本正态总体均数的检验,对于多个总体之间的两两比较,若仍用两独立样本t 检验可

能增加犯Ⅰ型错误的概率.以5=k 为例,5个总体均数之间的两两比较,需作102

5=C 次检验,

设每次检验犯Ⅰ型错误的概率为0.05,则经10次检验后犯Ⅰ型错误的概率为

4013.005.01110

=--）（;另外,多总体均数之间的两两比较实际上是对25C 个假设同时进行

检验,而通常的两独立样本t 检验只是单独地检验了其中的一个假设.因此,样本均数间的多重比较不能用两样本均数比较的t 检验.

若经单因素试验方差分析认为认为各水平指标有显著差异,要进一步同时比较两两水平指标间的差异,我们把这类问题称作多重比较问题. 一、 Tukey 法

设独立随机变量k X X X ,,,21 服从标准正态分布N(0,1),记它们的极差为 ||max ,1j i k

j i X X R -=≤≤

又设随机变量Z 服从自由度为f 的2

χ分布.称 f

Z R q =

为t 化极差.t 化极差是随机变量,当给定显著性检验水平α时,根据r 和Z 的自由度f,查多重比较中的q 表,可得临界值αq ,使

αα=>)(q q P .

设因素A 共有r 个水平,每个水平均作m 次试验,经过方差分析,判明各水平之间存在显著差异.由第一节的假设知,r 个总体是相互独立等方差的,且服从正态分布

k i N i ,,2,1,,2 =）（σμ,则样本总数为mr n =.因为

m j r i N X i ij ,,2,1;,,2,1)

,(~2 ==σμ.

则

)1,0(~N n

X i

i σμ-⋅

记

r j i n

X n

X R j

j i

i k

j i ,,2,1,,max

,1 =--

-=⋅⋅≤≤σμσμ

若r H μμμ=== 210:成立,则有

r j i n

X X R j i k

j i ,,2,1,,max

,1 =-=⋅

⋅≤≤σ

又由第一节知

)(~22

r n S E

-χσ

.

所以

r j i n

MS X X k n S R q E j i k

j i E ,,2,1,,max )(,12

=-=

-=

⋅

⋅≤≤σ

为t 化极差.

对给定的显著性水平α,由于

αα=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛>-⋅⋅≤≤q n MS X X P E j i k j i ,1max ,

查 多重比较中的q 表 可得临界值αq ,若αq q >,则拒绝0H ,即认为两总体有显著差异;否则,若αq q <,则接受0H ,即认为两总体没有显著差异.

注意到αq n

MS X X q E j i k

j i >-=

⋅

⋅≤≤,1max 等价于T n MS q X X E j i k

j i 记为

=>-⋅⋅≤≤α,1max ,因为对

任意的l k ,恒有⋅⋅⋅⋅≤≤-≥-l k j i k

j i X X X X ,1m ax ,所以事件

{}

{}

T X X T X X

j i k

j i l k >-⊆>-⋅⋅≤≤⋅⋅

,1m ax ,故

{}

{}

α=>-≤>-⋅⋅≤≤⋅⋅T X X P T X X P j i k

j i l k ,1m ax .

综上所述,两两多重比较计算步骤如下:

（1） 提出假设010:),

;,,2,1,(:H H j i r j i H j i ≠== μμ不成立;

（2） 对给定的检验水平α及r 和r n f -=,查多重比较中的q 表得临界值αq ,并计算

n MS q T E α=值;

（3） 比较样本均数差的绝对值j i ij x x d -=和T 的大小.若T d ij >,则拒绝原假设0H ,

即认为第i 个总体与第j 个总体均数间差异显著;否则,若T d ij ≤,则接受原假设0H ,即认为第i 个总体与第j 个总体均数间差异不显著.

上述方法是由J · W ·Tukey 于1953年提出来的,称为Tukey 法,简称为T 法.

二、Sch éffe 法

显然,T 法只适用于各水平试验次数相同的情况,当各水平下试验次数不尽相同时可用Sch éffe 法,简称为S 法.

设因素A 共有r 个水平r A A A ,,,21 ,第),,2,1(r j j =个水平作j n 次试验,记

r n n n n +++= 21.若经过单因素试验方差分析得各水平之间存在显著差异,为了比较第

i 个水平和第j 个水平均数间是否有显著性差异,可按下列公式计算

E j

i j i ij MS n n n n S T +=α

,

其中αS 可按给定的检验水平1,-r α和E MS 的自由度r n f -=查多重比较的S 表得到.

比较样本均数之差绝对值j i ij x x d -=和ij T 的大小.若ij ij T d >,则拒绝原假设ij

H 0,即认为第i 个总体与第j 个总体均数间差异显著;否则,若ij ij T d ≤,则接受原假设ij

H 0,即认为第i 个总体与第j 个总体均数间差异不显著.

注:S 法没有一个共同的T 值作为标准,ij T 值随着各水平样本容量的不同而变化.当样本容量相等时,T 法和S 法都可采用,但通常选用T 法.

例题选讲：

例1（E01） 用四种不同的分析方法测定同一药物的某种成分的含量,测得数据如下: