如何获得最大利润

二次函数的应用题

如何获得最大利润

1、我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠 ；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20－10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．

(1) 求一次至少买多少只，才能以最低价购买？

(2) 写出该专卖店当一次销售x(时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？

解：(1)设一次购买x 只，才能以最低价购买，则有：

0.1(x －10)=20－16，解这个方程得x=50；

答：一次至少买50只，才能以最低价购买．

(2) ．

（说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）

(3)将配方得，

所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元．

2.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C)。

(1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w 最大？最大利润是多少？

【答案】

解：(1)当0 < x ≤ 20时，y = 8000．

当20 < x ≤ 40时，设BC 满足的函数关系式为y = kx + b ，则⎩⎨⎧20k + b = 8 00040k + b = 4 000

． 解得k = −200，b = 12 000，∴y = −200x + 12 000．

(2)当0 < x ≤ 20时，老王获得的利润为w = (8000 − 2800)x

220137(0501[(2013)0.1(10)]8(1050)101613=3(50)x x x x y x x x x x x x x -=⎧⎪⎪=---=-+⎨⎪⎪-⎩＜≤）

＜＜≥21810y x x =-+21(40)16010y x =--+

4

8

=5 200x ≤ 104 000，此时老王获得的最大利润为104 000元．

当20 < x ≤ 40时，老王获得的利润为w = (−200x + 12 000 − 2800)x

= −200(x2 − 46x) = −200(x − 23)2 + 105 800．

∴当x = 23时，利润w 取得最大值，最大值为105 800元．………………………(9分) ∵105 800 > 104 000，∴当张经理的采购量为23吨时，老王获得的利润最大，最大利润为105 800元．

3. 某商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

【答案】（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元．

根据题意，得⎩⎨⎧x+y=53(x+1)+2(2y-1)=19 解得⎩⎨⎧x=2y=3

答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．

（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则

s=(1-m)(500+100×m 0.1)+(5-3-m)(300+100×m 0.1

) 即 s=-2000m2+2200m+1100 =-2000(m-0.55)2+1705.

∴当m=0.55时，s 有最大值，最大值为1705.

答：当m 定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.

4.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资

收益为：每投入x 万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润（万元）

()216041100P x =-

-+()()299294101001601005Q x x =--+-+

⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？

【答案】解：⑴当x=60时，P 最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．

⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P 随x 增大而增大，所以x=50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．

后三年：设每年获利为y ，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x ，所以y=P ＋Q

=+==

，表明x=30时，y 最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495

万元，

故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．

⑶有极大的实施价值．

5.某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件。

（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？

（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）获利：（30-20）=800（元）

（2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元

由题意，得：y=(x-20)=-5x2+330x-4600=-5(x-33)2+845

当x=33时，y 的最大值是845

故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。

15. （2011四川南充，20，8分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：

（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？

（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？

【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数解析式为：y=kx+b

该函数图象过点（0，300），（500，200） ()216041100x ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦2992941601005x x ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦260165x x -++()2

301065x --

+