同济第五版高数习题答案

习题9−1

1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ=μ(x, y)的电荷,且μ(x, y)在D上连续,试用二重积分表达该板上全部电荷Q.

解板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分

.

2. 设,其中D

1

={(x, y)|−1≤x≤1, −2≤y≤2};

又,其中D

2

={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.

试利用二重积分的几何意义说明I

1与I

2

的关系.

解I

1表示由曲面z=(x

2

+y

2

)

3

与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积.

I 2表示由曲面z=(x

2

+y

2

)

3

与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V

1

的体积.

显然立体V关于yOz面、xOz面对称,因此V

1

是V位于第一卦限中的部分,故

V=4V

1, 即I

1

=4I

2

.

3. 利用二重积分的定义证明:

(1)∫∫ (其中σ为D的面积);

证明由二重积分的定义可知,

其中Δσ

i

表示第i个小闭区域的面积.

此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以

.

(2)∫∫ (其中k为常数);

证明

.

(3),

其中D =D 1

∪D 2

, D 1

、D 2

为两个无公共内点的闭区域.

证明 将D 1

和D 2

分别任意分为n 1

和n 2

个小闭区域

和,

n 1

+n 2

=n , 作和

.

令各

和

的直径中最大值分别为λ1

和λ2

, 又λ=ma x (λ1λ2

), 则有

,

即 .

4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:

(1)∫∫与, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线

x +y =1所围成;

解 区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3

≤(x +y )2

, 从而

≤.

(2)∫∫与其中积分区域D 是由圆周(x −2)2

+(y −1)2

=2 所围成;

解

区域D 如图所示, 由于D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2

, 因而

.

(3)∫∫与其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0);

解 区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有

[ln(x +y )]2

≤ ln(x +y ),

因而 .

(4)∫∫与其中D ={(x , y )|3≤x ≤5. 0≤y ≤1}.

解 区域D 如图所示, 显然D 位于直线x +y =e 的上方, 故当(x , y )∈D 时, x +y ≥e , 从而 ln(x +y )≥1, 因而 [ln(x +y )]2

≥ln(x +y ),

故 .

5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值:

(1), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};

解 因为在区域D 上0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 所以 0≤xy ≤1, 0≤x +y ≤2, 进一步可得

0≤xy (x +y )≤2,

于是 ,

即 .

(2), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤π, 0≤y ≤π};

解 因为0≤sin 2

x ≤1, 0≤sin 2

y ≤1, 所以0≤sin 2x sin 2

y ≤1. 于是可得

,

即 .

(3), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤2};

解 因为在区域D 上, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 所以1≤x +y +1≤4, 于是可得

,

即 .

(4), 其中D ={(x , y )| x

2

+y 2

≤4}.

解 在D 上, 因为0≤x 2

+y 2

≤4, 所以 9≤x 2

+4y 2

+9≤4(x 2

+y 2

)+9≤25.

于是 ,

,

即 .

习题9−2

1. 计算下列二重积分:

(1)∫∫, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : −1≤x ≤1, −1≤y ≤1. 于是

.

(2)∫∫, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:

解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2−x . 于是

.

(3)∫∫, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};

解

.