机械制图之换面法

2.5.4 平面的换面法

教学内容：2.5.4 平面的换面法

教学目的：掌握平面换面的投影特征

教学重点：平面换面的投影特征

教学难点：有关点、直线、平面的定位和度量问题

复习：平面的投影

新课：

一、换面法的基本概念

一般位置的平面或直线，在任何投影面上都不反映平面或直线的实形、实长。而与投影面平行时，却能真实地反映它们原来的形状和长度。由此得到启示，只要设法将空间几何元素相对于投影面处于特殊位置，就可方便地求解一般位置几何元素度量或定位问题。这时我们假设空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

新投影面的设置必须遵循下例两条原则：

1、新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。

2、新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。

二、换面法的投影规律

点的换面法是其它几何元素换面法的基础。所以我们先对点进行换面。

根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。

例：变换V 面，即V ／H →V 1／H

如图，a 、a ′ 为点A 在V ／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V 1代替V ，必须使V 1⊥H ，从而组成了新的投影体系V 1／H 。 V 1与H 的 交线 X 1为新的投影轴。由A 向V 1作垂线得到新投影面上的投影a 1′ ，而水平投影仍为a

学生练习：变换H 面，即V ／H →V ／H 1 小结；点的换面投影规律如下：

1、新投影与不变投影连线垂直于新轴（如aa 1ˊ⊥X 1轴）。

2、新投影到新投影轴的距离等于被替代的旧投影到旧投影轴的距离。 （如a 1ˊa x 1= a ˊa x ）

新投影还可根据需要进行第二次换面，每一次换面后的新投影面、新投影轴、新投影的符号加注脚1，第二次换面后相应的符号加注脚2。 三、直线在换面法中的基本类型 1、一般位置直线变换为投影面平行线

如图，AB 为一般位置线，如要变换为正平线，则必须变换V 面，使新投影

V

1X H

H

V X a

a′

a X

a X1

a ′

1

面V 1面平行AB ，这样AB 在V 1面上的投影a 1′b 1′ 将反映AB 的实长， a 1′b 1′与X 1轴的夹角反映直线对H 面的倾角α。 作图过程如下：

（1） 在适当位置作X 1∥ab ，标出V 1/H 。 （2） 按点的换面法规律求出a 1′、 b 1′。

（3） 连接a 1′b 1′，则a 1′b 1′反映实长，a 1′b 1′与X 1轴的夹角反映 倾角α

在求一般位置直线的实长和倾角时，为作图方便可以将换面法简化为直角三角形。也就是用直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角。方法如下：

① 用直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的一条直角边。

②

③ 此直角三角形的斜边就是空间 线段的真实长度，而斜边与底边的夹角 就是空间线段对该投影面的倾角。

X

X 11W

2、投影面平行线变换为投影面垂直线

如图，将正平线AB 变换为垂直线。

根据投影面垂直线的投影特性，反映实长的投影必定为不变投影，只要变换水平投影面，即作新投影面H 1面垂直AB ，这样AB 在H 1面上的投影重影为一点 。

同理，可将水平线变换为V 1面垂直线。 3、一般位置直线变换为投影面垂直线

由于与一般位置直线垂直的平面是一般位置平面，与其它投影面都不垂直，所以一次换面无法达到这一要求。必须通过直线的二次换面，才可以将一般位置线变换为投影面垂直线。

一般位置线——投影面平行线——投影面垂直线。

如图，AB 为一般位置线，如先变换V 面，使V1面平行AB ，则AB 在V1／H 体系中为投影面平行线，再变换H 面，作H2面垂直AB ，则AB 在V1／H2体系中为投影面垂直线。

X b H

a

B A

V H 1

X 1

H 1a

b

V X

H V

X 1

（ ）a′

a′

b′b′b X

b X a X

a X

a 1

b 1

b 1

a 1（ ）

b X1

a X1a X1

b X1

同理，两次换面也可以将一般位置直线变换为V 2面垂直线。 四、平面在换面法中的基本类型 1、一般位置平面变换为投影面垂直面

当一般位置面变换为投影面垂直面时，就可以求出平面对投影面的倾角。

如图，△ABC 为一般位置面，如要变换为正垂面，则必须取新投影面V1代替V 面，V1面既垂直于△ABC ，又垂直于H 面，为此可在三角形上先作一水平线，然后作V1面与该水平线垂直，则它也一定垂直H 面。 α角即为△ABC 对H 面的倾角。

b

B X 2

a

H

X 1

V 1

A

V 1a

H

X 1V 1X

V H

b H 2V 1（ ）X 2

a 2

b 2

a 2（ ）

b 2

a X2

b X2

a X2

b X2b X1

b X1

a X1

a X1

b ′

b′

b′a′a ′b X

b X

a X 1

1a ′

1

b ′1

X

X 11

′

′

′