相似矩阵的有关性质及其应用

相似矩阵的有关性质及其应用

作 者 王国强 数学系 数学与应用数学专业 指导教师 金银来 数学系 教授

摘要 若矩阵P 可逆,则矩阵P -1AP 与A 称为相似。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。

关键词：相似矩阵；对角化；Jordan 标准型；特征向量；特征值

Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. For example, we can

discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into. In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.

Keywords: similar matrices; diagonal matrix; Jordan ’s normal form; characteristic value; characteristic vector

1 相似矩阵有关定义

定义1.1设A,B 是n 阶方阵,如果存在可逆阵P 使得P -1AP=B,则称矩阵A 与B 相似.

定义 1.2矩阵A 相似于对角阵,则称A 可相似对角化,即存在可逆阵P 使

),,(2,11n diag AP P λλλ =-,n λλ,,1 为A 的n 个特征值.

2 相似矩阵有关性质

a. 已知P -1AP=B,即A 相似于B,则

ⅰ) |A|=|B|; ⅱ) t r (A)=t r (B); ⅲ) |A-λI |=|B-λI |.

b. 若A 与B 都可对角化,则A 与B 相似的充分条件是A 与B 由相同的特征多项式.

c. A 的属于同一特征值i λ的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应

i λ的特征向量.

d. A 的属于不同特征值的特征向量线形无关.

e. 实对称矩阵A 的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.

f. 若λ是实对称矩阵A 的r 重特征值,则A 对应特征值λ恰有r 个线性 无关的特征向量.

g. 任何一个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似. h. 对n 阶方阵A ，以下三条等价: ⑴A 可对角化;

⑵A 有n 个特征值（重根按重数计），且∀r （＞1）重特征值λ; ⑶A 有n 个线性无关的特征向量.

i. 对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.

3 相似矩阵在微分方程中的应用

许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.

3.1 将常系数线性微分方程组

⎝⎛+++=+++=+++=.;

;221122221212

12121111

n nn n n n n n n n u a u a u a dt

du

u a u a u a dt du u a u a u a dt du (3-1)

写成

矩

阵

形

式

为

Au dt

du

= (3-2)

其中u=(T n u u u ),,,21 ,n n ij a A *)(=为系数矩阵,令(3-2)式的解u=x e t λ, (3-3)

即 (T n u u u ),,,21 =T n t x x x e ),,,(21 λ. 将(3-3)式代入（3-2）得λx e t λ=A x e t λ=Ax e t λ,

化简得X AX λ=,即(3-3)式中λ为A 的特征值,X 为λ对应的特征向量;若A 可对

角化,则存在n 个线性无关的特征向量,,,,21n x x x 于是得到(3-2)式的n 个线性无关的特解.

u 1=111x e t λ, u 2=22x e t λ,, u n =n t x e n λ.

它们的线性组合 =u c 1

111x e t λ+c

2

22x e t λ+…+c

n

n t x e n λ,

(3-4)

(其中n c c c ,,,21 为任意常数)为(3-1)式的一般解,将(3-4)式改写成矩阵形式

u=),,,(21n x x x ⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡t

t

t n e e e λλλ 21⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21, 记 c=(n c c c ,,,21 )T ,Λt e =diag (t t t n e e e λλλ,,,21 ) p=),,,(21n x x x ,则(3-1)式或(3-2)式有一般解

c pe u t ∆=

(3-5) 对

于

初

值

问

题

⎪⎩⎪⎨

⎧==∆=00

,

u t u u dt du

(3-6) 解为

01u p pe u t -∆=

(3-7)

因为t=0代入(3-5)式得 c=01u p -. 例3.1 解线性常系数微分方程组

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+=.2;54;313

212

211

x x dt dx x x dt dx x x dt dx 已知初始值为: .2)0(,1)0(,1)0(321=-==x x x