有限元基础理论教程

自重作用下直杆的有限单元法解(续)
2）用单元结点位移表示单元内部位移
第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。
u(x)ui ui1L i ui (xxi) u i 第i结点的位移
x i 第i结点的坐标
自重作用下直杆的有限单元法解(续)
第i个单元的应变 应力 内力
i
duui1 ui dx Li
i
有限元分析
Finite Element Analysis
课程目标
1) 了解有限元法的概念和形成过程，掌握有限 元方法的基本思路。
2) 以弹性力学平面问题、稳态传热问题为主要 背景，讲授有限元方法的原理与核心算法， 包括建模方法、单元分析、整体分析、等参 单元、数值积分等。
3) 学习有限元软件ANSYS的使用方法，初步掌 握用有限元法分析工程问题的方法。
λT n
hTf
T
两类问题的对比
• 把第一类问题称为离散结构问题。离散 结构是可解的，但是求解复杂的离散系 统，要依靠计算机技术。
• 第二类问题的研究对象称为连续体问题。 可以建立描述连续体问题的基本方程和 边界条件，通常只能得到少数问题的解 析解。对于许多实际的工程问题，需要 用近似算法求解。
有限单元法的形成
– 陈伯屏（结构矩阵方法） – 钱令希（余能原理） – 钱伟长（广义变分原理） – 胡海昌（广义变分原理） – 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基 础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论 基础。--《数学辞海》第四卷
1.2 有限单元法的基本思路
• 将连续体分割成有限个分区或单元 • 用标准方法对每个单元提出一个近
• 在1963年前后，经过J. F. Besseling,
R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作， 认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近 似法的一种变形，发展了用各种不同变 分原理导出的有限元计算公式。
有限单元法的数学基础（2）
• 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张 佑启）发现只要能写成变分形式的所有 场问题，都可以用与固体力学有限单元 法的相同步骤求解。
• 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加 权余量法特别是Galerkin法，导出标准的 有限元过程来求解非结构问题。
我国学者的贡献
4. 曾攀. 有限元分析及应用. 北京: 清华大学 出版社, 2004
5. 朱伯芳著. 有限单元法原理与应用（第2 版）. 北京: 中国水利水电出版社, 1998
6. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 2000
4) 了解有限元法的工程应用与有限元软件的发 展水平。
课程评估 – 平时作业 – 课程大作业 –测验/考试
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联系方式
办公地点：焊接馆218 电 话：62797009 E-mail : shiw@tsinghua.edu.cn
参考书目
1. (美) Saeed Moaveni著, 欧阳宇, 王崧等译. 有限元分析ANSYS理论与应用. 北京: 电子工业出版社, 2003
在寻找近似解法的过程中，工程师和数 学家从两个不同的路线得到了相同的结 果，即有限单元法（Finite Element Method)。
有限单元法的形成可以回顾到二十世纪 50年代，它的形成直接得益于土木结构 分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析 中所获得的成果。
从固体力学的角度来看，桁架结构与分
割成有限个分区后的连续体在结构上存 在相似性。
平面桁架结构，由6个承
受轴向力的“杆单元”组 成。
大型编钟“中华和钟”的振动分析 及优化设计。
1889年建成的Effiel塔，高度约 300米，由18036个部件组成。
热传导问题的控制方程与换热边界条件如 下：
x T x y T y z T z Q c T t
• 1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论 文中首次提出了有限元（Finite Element） 这一术语
有限单元法的数学基础（1）
• 数学家们则发展了微分方程的近似解法， 包括有限差分方法，变分原理和加权余 量法。
Ei
E(ui1ui) Li
Ni Ai EA (uiL1i ui)
自重作用下直杆的有限单元法解(续)
3）把外载荷集中到结点上
把第i单元和第i+1单 元重量的一半，集中 到第i+1结点上
4）建立结点的力平衡方程
对于第i+1结点，由力的平衡方程可得： Ni Ni1q(Li 2Li1)
E(u A iL 1 i u i)E(u A iL 2 i 1 u i 1 )q 2(L i L i 1 )
q(Lx) A
在x处的微小直杆dx的变形量为，
x
dL (x)q(Lx) dx EA
dL(x) q (Lx)dx EA
将微小直杆的变形积分可以得到直杆的位移，
x
x
u (x )d L
q(L y )d y q(L x x 2)
0 0 EA EA2
自重作用下直杆的有限单元法解
1）离散化 如图所示，将直杆划分 成n个有限段，有限段之 间通过一个铰接点连接。 称两段之间的连接点为 结点，称每个有限段为 单元。 第 i 个 单 元 的 长 度 为 Li ， 包含第i，i+1个结点。
令
i
Li Li1
ui(1i)ui 1iui 22E q(1 A 1 i)L 2 i
根据约束条件， u1 0
对于第n+1个结点，第n个单元的内力与
第n+1个结点上的外载荷平衡，
Nn
qLn 2
un
un1
qL2n 2EA
建立所有结点的力平衡方程，再加上约束条件 可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出 n+1个结点的位移。
7. 杨桂通. 弹性力学. 北京: 高等教育出版社, 1998
1 有限单元法简介
1.1有限单元法的形成过程 1.2有限单元法的基本思路 1.3有限单元分析的基本步骤 1.4有限单元法的进展与应用
1.1有限单元法的形成过程
• 两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单 元体的组合。例如，材料力学中的连续 梁、建筑结构框架和桁架结构。 第二类问题，通常可以建立它们应遵循 的基本方程，即微分方程和相应的边界 条件。例如弹性力学问题，热传导问题， 电磁场问题等。
对于结点4，
u3
u4
qa2 2EA
qa 2
2
1
1 2 1
0 1
u u
2 3
1 u 4
பைடு நூலகம்
EA qa 2 EA qa 2
2 EA
5 qa 2
u 2
u
3
u
4
2 EA 4 qa 2 EA 9 qa 2 2 EA
5
4
u,q*a*a/E/A
3
2
1
理论值与计算值的对比
0
0
1
2
3
4
x,a
例1-1、将受自重作用的等截面直杆划分成3个 等长的单元，试求杆的位移。
定义单元的长度为 a L 3
得到3个单元，4个结点。
对于结点1， u1 0
对于结点2、3，
u i(1i)u i 1iu i 22 E q(1 A 1 i)L 2 i
u1
2u2
u3
qa2 EA
u2
2u3
u4
qa2 EA
似解
• 将所有单元按标准方法组合成一个 与原有系统近似的系统。
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆如图 所示，杆的长度为L，截面积 为A，弹性模量为E，单位长 度的重量为q，杆的内力为N。 试求：杆的位移分布，杆的应 变和横截面正应力。
自重作用下直杆的材料力学解
N(x)q(Lx)
x
Ex
2. Saeed Moaveni. Finite Element Method Theory and Application with ANSYS. New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1999
3. 王勖成,邵敏编著. 有限单元法基本原理 和数值方法 . 北京 : 清华大学出版社, 1997
• 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂 志上发表了一组能量原理和结构分析论 文。
• 1956年，M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学 会年会上介绍了一种新的计算方法，将 矩阵位移法推广到求解平面应力问题。