控制系统的数学模型

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7. 机械运动系统的三要素
质量 M
弹簧 K
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阻尼 B
Baidu Nhomakorabea
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
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8. 电气系统三元件
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电阻
电容
电感 电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
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2.1 控制系统微分方程的编写
2.1.1 线性元件的微分方程 分析法建立系统微分方程的一般步骤：
❖ 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定待研 究系统的输入量和输出量。
dml dt
ml )
❖ Tm CRe－CJm 电动机的机电时间常数，s；
Ce－电势系数，V.s/rad；Cm－转矩系数，N.m/A。
❖
Tl

L－电动机的电磁时间常数，s；
R
❖
K
e

－1 电枢电压作用系数，rad/(V.s)
Ce
❖ Km C－eRCm负载转矩作用系数，rad/(N.m.s)。
L di Ri e u dt
d 2
J dt 2 m ml
m Cmi
d 2
J dt 2 Cmi m1
e

Ce
d
dt
J d 2 1
i Cm
dt 2
Cm ml
di dt

J Cm
d 3
dt 3
1 Cm
dml dt
LJ Cm
d 3
dt3
L Cm
dml dt
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机械平移系统示意图
❖ 由弹簧－质量－阻尼器组成的
机械平移系统，外力f（t）为 输入信号，位移y（t）为输出
信号，列写其运动方程式。
❖ k－弹簧的弹性系数； ❖ m－运动部件的质量； ❖ －阻尼器的粘性摩擦系数。
16
机械平移系统的基本关系
❖ 假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件
的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：
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恒定磁场他激直流电动机的数学模型（2）
❖ 若系统的输出量为转速n（r/min），d 2：n
dt 60
❖则
TmT1
d 2n dt 2
Tm
dn dt
n

Keu Km (T1
dml dt
ml )
式中
Ke

60 2
Ke , Km

60 2
Km
❖ 不同物理系统可以有相同形式的数学模型； ❖ 同一系统如果所选的输入量、输出量不同时，数学模
1 微小偏差法(增量法)
增量 （微小偏差法）
非线性方程 局部线性增量方程
假设： 在控制系统整个调节
过程中，所有变量与稳态 值之间只会产生足够微小 的偏差。
以微小偏差法为基础， 运动方程中各变量就不是 它们的绝对值，而是它们 对额定工作点的偏差。
30
2 增量方程 增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始 点，这时，系统所有的初始条件均为零。
❖ 电阻上的电压和电流的关系（欧姆定律） i(t) v(t) R
❖ 电感上的电压和电流的关系
vL
(t)

L
diL (t) dt
❖ 电容上的电压和电流的关系
ic
(t)

C
dvc (t) dt
❖ 基尔霍夫电压定律（回路电压定律） V 0
❖ 基尔霍夫电流定律（节点电流定律） i 0
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14
电工电子系统的特点
❖ 在电工电子系统中，通常研究电压与电流之间的因果 关系。
❖ 组成电工电子系统的基本元件有：电阻、电感、电容 和运算放大器等。
❖ 电阻将电能转化为热能消耗掉，电感通过磁场储能， 电容通过电场储能，运算放大器则通过与电阻、电容、 电感等组成不同的电路拓扑，实现对电压和电流的变 换。
❖ 将该方程式化为标准形式。 ▪ 即将与输入量有关的各项放在方程的右边，而与 输出量有关的各项放在方程的左边，并将各导数 项按降幂排列。
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R-L-C 串联电路示意图
由电阻R、电感L、电容C组成的R-L-C电路，输入量为ur（t）， 输出量为uc（t），求该电路的微分方程（数学模型）
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基本的电工学规律
注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原 理。
31
3 多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
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4 单变量函数泰勒级数法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则： 注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。 注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
e
Ce
d
dt
m Cmi
R，L－电枢回路总电阻和总电感，，H；
i－电枢电流，A；
e－电动机反电势，V；
u－电枢电压，V；
Ce－电势系数，V.s/rad；
J－电动机轴上总转动惯量，kg.m2；
m，ml－电磁转矩、负载转矩，N.m； Cm－转矩系数，N.m/A。
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恒定磁场他激直流电动机数学模型化简
假设电机轴上总转动惯量J是 常数，各种机械转矩全部归 并到负载转矩中，传输轴是 刚性轴，电动机电枢电路的 电阻、电感全部归并到电枢 总电阻R、电感L中。
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恒定磁场他激直流电动机的基本关系
❖ 根据基尔霍夫定律、牛顿定律、直流电机特性：
L di Ri e u dt
J
d 2
dt 2
m ml
3.建模方法
分析法 本课研究 实验法 系统辨识课研究
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4.常用数学模型
微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图） 频率特性 状态空间表达式（或状态模型）
5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径
求解
观察
线性微分方程
时间响应
性能指标
傅
氏 变
拉氏变换 传递函数
拉氏反变换 估算
估算
换
S=jω
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相似系统（1）
❖ 电工系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统，但它
们的微分方程却具有相同的形式，称为相似系统。
LC
d
2uC (t) dt 2

RC
duC (t) dt

uC
(t)

ur
(t)
m
d2y dt 2

dy dt
ky
f
20
相似系统（2）
❖ 相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路系 统的动态特性研究机械系统的动态特性。
f1

m
d2y dt 2
❖ 设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：
f2 ky
❖ 阻尼器的阻尼力为：
f3


dy dt
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机械平移系统的数学模型
❖ 根据牛顿定律： ma(t) f (t)
可得
d2y m dt2

f

dy dt
ky
m
d2y dt 2

dy dt
ky
f
❖ 此即机械平移系统以外力f（t）为输入信号，位移y（t）
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线性化问题的提出
➢线性系统优点：
✓可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行 分析和设计。
➢线性系统缺点：
✓有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性； ✓非线性系统的分析和综合是非常复杂的。
线性化定义
将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线 性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。
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频率特性 计算 频率响应
6
6. 建立数学模型的基础
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微分方程
（连续系统）
y(t),
dy dt
机械运动: 牛顿定理、能量守恒定理 电 学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热 学： 传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
数学模型的准 确性和简化
线性与非线性 分布性与集中性 参数时变性
❖ 将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量和输出
量。（所谓单向环节是指其后面的环节无负载效应，即后 面环节存在与否对当前环节的动态特性没有影响）
❖ 根据支配系统动态特性的规律，从系统的输入端开始，依 次列写组成系统各环节的运动方程式，组成联立方程组。
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❖ 对联立方程组进行简化、线性化和增量化，并消去 中间变量，得到只包含系统输入量和输出量的方程 式，即系统的输出模型。
••
•
例:系统动态模型：m x(t) c x(t) kx(t) F (t)
•
••
当系统运动很慢时，其 x 0, x 0，上式可简
化为x(t) F (t) / K，这是系统的静态模型 。
4
2.建立数学模型的目的
建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作 （或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液 压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同 的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种 不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
❖ 由于电工电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因 此常采用电工电子电路来模拟其它实际系统，这种方法 称为电子模拟技术。
❖ 在建立系统的数学模型后，通过数字计算机求解系统的 微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性， 称为计算机仿真技术。
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恒定磁场他激直流电动机示意图
u（t）－电枢电压，为控制输入； ml（t）－作用在电动机轴上的总负载转矩，为扰动输入； （t）－电动机的转角，为输出量。
系 统 框 图
3
1.定义：
数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的 表达式。数学模型又分为静态模型和动态模型。静态模型反映系 统在恒定载荷或缓变作用下或在系统平衡状态下的特性，现时输 出仅由其现时输入所决定，一般以代数公式描述。动态模型反映 系统在迅变载荷或在系统不平衡状态下的特性，现时输出还由受 其以前输入的历史的影响，一般以微分方程或差分方程描述。在 控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此， 往往需要采用动态数学模型。
dml dt
R CeCm
ml

1 Ce
u
TmT1
d 3
dt 3
Tm
d 2
dt 2

d
dt
T1Km
dml dt
Kmml

Keu
25
恒定磁场他激直流电动机的数学模型（1）
❖ 方程联立求解，消去中间变量i，e，m：
TmTl
d 3
dt3
Tm
d 2
dt 2

d
dt

Keu Km (T1
33
直流他激发电机示意图
Rf－激磁绕组的电阻，； Lf－激磁绕组的电感，H； Wf－激磁绕组的匝数； uf（t）－激磁电压，V； if（t）－激磁电流，A； eg（t）－发电机电枢电势，V； －气隙磁通，Wb； －发电机角速度，rad/s。
34
直流他激发电机的基本关系
❖ 假设发电机的转速为恒值，且磁滞、涡流、漏磁效应忽略 不计。

RJ Cm
d 2
dt 2
R Cm
ml
Ce
d
dt
u
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恒定磁场他激直流电动机数学模型化简
LJ Cm
d 3
dt3
L
Cm
dml dt

RJ Cm
d 2
dt 2
R
Cm
ml
Ce
d
dt
u
RJ CeCm
L R
d 3
dt3
RJ CeCm
d 2
dt 2
d
dt

L R
R CeCm
❖ 根据基尔霍夫定律及发电机特性，有：
Rf if
Wf
d
dt
uf
eg K1
f (i f )
R-L-C 串联电路的数学模型
❖
根据基尔霍夫定律：L
di(t) dt

Ri(t)

uC
(t)

ur
(t)
uC
(t)

1 C

i(t)dt
❖
消去中间变量：LC
d
2uC (t) dt 2

RC
duC (t) dt

uC
(t)

ur
(t)
❖ 此即R-L-C电路的数学模型（输入－输出模型），它描述了 输入ur（t）和输出uC（t）之间的动态关系。
为输出信号的运动方程式，即数学模型
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机械平移系统的特点
❖ 在机械系统中，通常研究力（或转矩）与位移（或角 位移）的因果关系。
❖ 组成机械系统的基本元件有：弹簧（或弹性轴）、阻 尼器和运动部件。
❖ 阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置，所产生的阻力 与运动速度成正比。阻尼器不储存能量，它将动能转 化为热能消耗掉。
型也会不同。
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2.1.2 非线性微分方程的线性化
❖ 工程实践中遇到的系统和元件的输入－输出特性或多 或少存在着非线性。例如：
▪ 放大器在大信号输入时输出出现饱和； ▪ 磁化曲线有饱和和磁滞回环； ▪ 齿轮传动中有间隙。
❖ 为了便于研究，对非线性程度不严重的系统，总是尽 可能地将非线性数学模型转换成近似的线性模型。
2
系统构成的要点
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➢ 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。
➢系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互 制约的关系。
t u2 u ua n v u t
物理量的变换， 物理量之间的相互关系
信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存） 由动态到最后的平衡状态--稳定运动
第二章 自动控制系统的数学模型
➢ 2.1 控制系统微分方程的编写 ➢ 2.2 传递函数 ➢ 2.3 控制系统的结构图及其等效变换 ➢ 2.4 自动控制系统的传递函数 ➢ 2.5 信号流图 ➢ 2.6 Matlab应用
1
数学模型基础
系 统 示 意 图
系 统 框 图
Remember 恒温箱自动控制系统?