模糊粗糙集模型

R( R( Aj )) R( Aj ).
jI jI
定理 设 (U , R) 是模糊近似空间， R 是 U 上自反、 传递模糊关系，则 TR {R( A); A F (U )} 是 U 上的 模糊拓扑。
定理 设 TR 为如上的模糊拓扑，则对于任意 A F (U ) ， （1） R( A) i( A) {R( B); R( B) A} ； （2） R( A) c( A) {~ R( B);~ R( B) A} 。 其中 i, c 分别为 TR 的内部和闭包算子。
R( A) ( x ) m i nA { y ( ) y ; s R
x ( )}, x ( )}.
{ y ( ) y ; s R R( A) ( x ) m a xA
定理 (1) R(
设 (U , R) 是广义近似空间，对于任意 A, B F (U ) ,
A) R( A) , R( A) R( A) ；
模糊集合之间的运算：设 A, B F (U ) ，则
( A B)( x) max{A( x), B( x)} A( x) B( x) ， x U ( A B)( x) min{A( x), B( x)} A( x) B( x) ， x U
Ac ( x) 1 A( x) ， x U
第七讲: 模糊粗糙集模型
1 模糊集合
定义 设 U 是一个集合。称映射 A : U [0,1] 为 U 的一个 模糊子集，或 U 上的模糊集(fuzzy set)。对于任意 u U ，称
A(u ) 为 u 相对于模糊集合 A 的隶属程度。
直观上， A(u ) 的值越大，表明 u 属于 A 的程度越大。若 A(u ) 1 ， 则认为 u 完全属于 A ；若 A(u ) 0 ，则认为 u 完全不属于 A 。 若模糊集合 A 的隶属函数只取 0,1 两个值，则它为分明集合。 因此，模糊集合的概念是分明集合概念的推广。
例 4.1.1 设论域 U [0, 200] 是年龄的集合。Zadeh 给出 表示“年轻”的模糊集 A 如下：
1, 0 x 25 。 A( x) x 25 2 1 (1 ( ) ) , 25 x 200 5
按此定义，30 岁的人的年轻程度为 A(30) 0.5 ，35 岁的 人的年轻程度为 A(35) 0.2 ，50 岁的人的年轻程度 约为 A(50) 0.04. 这种程度化的思想是合理的。
3 模糊粗糙集
定义 设 U 是一非空有限集合， R 是 U 上的一个模糊 关系，即 R F (U U ) ，称 (U , R) 为一个模糊近似空间。 对于任意 A F (U ) ， A 关于 (U , R) 的上近似 R( A) 与 下近似 R ( A) 是如下定义的 U 上的模糊集：对于任意 x U ，
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定理 设 (U , R) 是模糊近似空间，下列诸条等价： （1） R 是自反模糊关系； （2）对于任意 A F (U ) ， R( A) A ； （3）对于任意 A F (U ) ， A R( A) 。
定理 设 (U , R) 是模糊近似空间，则下列诸条等价： （1） R 是传递模糊关系； （2）对于任意 A F (U ) ， R( A) R( R( A)) ； （3）对于任意 A F (U ) ， R(R( A)) R( A) 。
设 U 是论域，称 T F (U ) 为 U 上的一个模糊拓扑，如果： （1） U , T ； （2）若 A, B T ，则 A B T ； （3）若 Aj T , j I ，则 A j T ；
j I
（4）对于任意常值模糊集 F (U ) ，
T . 这里，
x R[ ] } ,
R( A)( x) max{A( y); y [ x]R }.
定义
设 (U , R) 为广义近似空间，即 R 为论域
U 上的一个二元关系， Rs ( x) 为 x 的右邻域。对于
任意 A F (U ) ， A 关于 (U , R) 的下近似 R ( A) 及 上近似 R( A) 分别定义为：对于任意 x U ，
定义为：对于任意 x U ， ( x) ,0 1.
若 T F (U ) 为 U 上的一个模糊拓扑，则称 (U , T ) 为一个模糊拓扑空间。
引理 设 (U , R) 是模糊近似空间， R 是自反，传递模糊 关系，则对于任意 Aj F (U ) （ I 为一指标集） ，有
R( A)( x) ( R( x, u ) A(u )) ，
uU
R( A)( x) ((1 R( x, u )) A(u )).
uU
定理 设 (U , R) 是一个模糊近似空间，对于任意 A, B F (U ) （1） R(
A)
R( A) , R(
A)
R( A) ；即 R 与 R 是对偶的；
定理 设 (U , R) 是模糊近似空间，下列诸条等价： （1） R 是对称模糊关系； （2）对于任意 x, y U ， R(1x ))( y) R(1y )( x) ； （3）对于任意 x, y U ， R(1U { y} ))( x) R(1U {x} )( y) 。
4 近似算子生成的拓扑空间
2 粗糙模糊集
定义 设 (U , R) 为 Pawlak 近似空间， [ x]R 为包含
x 的 R 等价类，对于任意 A F (U ) ， A 关于 (U , R) 的
下近似 R ( A) 与上近似 R( A) 分别定义为如下形式的 模糊集：对于任意 x U ,
R( A) ( x ) m i nA { y ( )y ;
（2） R(U ) U , R() （3） R( A
B) R( A)
R( B) , R( A
B) R( A)
R( B)
（4） A B R( A) R( B) , A B R( A) R( B) ; （5） R( A B) R( A) R( B) , R( A B) R( A) R( B) . 这里， ~ A 是 A 的补集，即 x U , ~ A( x) 1 A( x) 。
(2) R(U ) U , R() ; (3) R( A
B) R( A)
R( B) , R( A
B) R( A)
R( B) ；
(4) A B R( A) R( B) , A B R( A) R( B) ; (5) R( A B) R( A) R( B) , R( A B) R( A) R(B) .