泥沙起动理论2

基于特定水深的临界起动流速图解
在Shields曲线出现之前，临界起动条件表达为临界流速，即泥沙颗 粒起动时的断面平均流速。Hjulstrom (1935)分析了水深在1m以上的河流 中均匀沙运动的资料，提出了以沿水深平均的流速表达的临界起动条件， 如图。
此图的横、纵 坐标都没有把水 深作为一个变量 包括在内。
任意水深的临界起动流速UC：基于对数流速分布公式的推导
下两式都是临界条件式：
⎛ R′χ ⎞ ⎟ 12 . 27 = 5.75 lg⎜ ⎜ ks ⎟ τc ρ ⎠ ⎝ Uc
(γ
τc ρ
c
γ
− γ)
= gD
⎛ U*c D ⎞ f⎜ ⎜ ν ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
将上两式的两边分别相乘，得到起动临界流速 Uc 的表达式： （消去τc，代之以临界Shields数Θc ）
U 2.3 ⎛ Rχ ⎞ ⎟ lg⎜ 12.27 = ⎜ κ ⎝ U* ks ⎟ ⎠
在试验水槽里观测得到的临界起动 剪切应力，表示起动时的“床面颗粒 受力临界值”，它应等于天然河道里 相同颗粒的临界起动剪切应力。
可以从此颗粒的临界起动剪切应力推算它在不 同水深下(不同规模的河道里)的临界起动流速。
河流动力学基础
[例] 对例4-2中三种粒径的泥沙颗粒， 分别采用对数型临界起动平均流速 解：设水力半径等于水深，即R=H=1.0m，Einstein修正系数χ=1.0，粗糙突
U c = 5.75 Θc 1 .0 ⎞ 12.27 γ s −γ ⎛ gD lg ⎜12.27 ⎟ = 23.1 D ⋅ Θc lg γ D⎠ D ⎝
河流动力学基础
15
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
[例4-4]
γs −γ ⎛ h ⎞ U c = 1 .14 gD ⎜ ⎟ γ ⎝D⎠
1/ 6
采用沙莫夫公式计算时，不必用到临界起动Shields数Θc，而是直接将 粒径和水深代入式(4-37)中，即可算得粒径为D=5mm, 0.5mm, 0.05mm时, 相应的临界流速分别为
Uc=0.78m/s, 0.36m/s, 0.17m/s。
河流动力学基础
16
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
采用相同的步骤，可以计算得到不同水深下的临界起动平均流速值， 见下表。注意，粒径相同、水深不同，则Uc不同.
⎛ Uc R′χ ⎞ ⎟ 此即教材中的式(4-36) = (1.28 ~ 1.79) lg⎜ 12.27 ⎜ ⎟ ks ⎠ gD ⎝ k 采用床沙中接近
1.65 × 0.03 ~ 0.06 × 5.75
河流动力学基础
最粗部分的泥沙粒 径 (如D90或D95)
s
11
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
任意水深的临界起动流速Uc：基于滚动起动条件的推导
将上述表达式带入滚动情况的临界起动条件中，整理后就得到
γs −γ ⎛ h ⎞ U c = (常数 ) gD ⎜ ⎟ γ ⎝D⎠
1/ 6
请自行写出本式的 具体推导过程。
上式称为“指数型起动流速公式”, 这类公式计算出的起动流速直接与 水深有关。在长江沙卵石河道中上应用较多的是沙莫夫公式：
以球形颗粒为例
球形颗粒的水下重量 W ' = 1 (γ s − γ ) π D 3 6 颗粒所受的上举力 颗粒所受的拖曳力 采用时均流速沿垂线 分布的指数型公式
FL = C L
颗粒的水下重量； 床面摩擦力的来源
U0：颗粒附近的流速
π D 2 ρ U 02
4 2
FD = C D
π D 2 ρ U 02
为什么水深越大， 起动流速也越大？
h=30m 0.30 0.64 1.38 2.98 粒径 (mm) 0.05 0.5 5.0 50.0 采用沙莫夫公式计算得到的临界起动平均流速 Uc (m/s) h=0.2m 0.13 0.28 0.60 1.29 h=1m 0.17 0.36 0.78 1.69 h=10m 0.25 0.53 1.15 2.48
用沙莫夫公式计算，计算过程较为简便。显然，Shields起动曲线方 法和临界起动平均流速方法中，都没有考虑细颗粒所受的粘性力对临界 起动条件的影响，因而相应临界值偏小。解毕。
河流动力学基础
17
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
河流动力学基础
3
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
不同水深下，临界起动流速缺乏通用性
应用于不同水深的情况时，不是很可靠: 1. 明渠流是剪切流动。用Uc 的大小间接描述底 H 面临界剪切应力τc的大小有时会有误差，因 河底附近剪切应力实际与该处du/dy成正比。 2. H不同，即使U相同，河底附近du/dy也完全不同: H相同
河流动力学基础
9
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
任意水深的临界起动流速UC：基于对数流速分布公式的推导
用Uc 代表在临界起动时的垂线平均流速，最后推导出的临界起动 平均流速表达式为：
Uc (γ c − γ )
= gD
指数型的临界起动流速UC：基于滚动起动条件的推导
FL 如图，滚动起动的临界条件为 W’¯L1= FL¯ L2 + FD¯ L3 L1 可以写出各项的详细表 达式，其中颗粒附近的流 速U0用指数型分布公式表 达出来。 L2 FD
L3
W’
河流动力学基础
12
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
河流动力学基础
10
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
Shields曲线上大部分颗粒的临界 剪应力所对应的纵坐标值Θc
Θc ＝0.03~0.059
Uc (γ c − γ )
= gD
γ
⎛ R′χ ⎞ ⎛ U *c D ⎞ ⎟ 12.27 f⎜ ⎟ 5.75 lg⎜ ⎟ ⎜ k ⎝ ν ⎠ s ⎠ ⎝
γ
⎛ R′χ ⎞ ⎛ U *c D ⎞ ⎟ 12.27 f⎜ Θc ⎟ 5.75 lg⎜ ⎜ ⎟ k ⎝ ν ⎠ s ⎠ ⎝
这是起动临界条件下，各水力 要素之间的关系。此时没有大规 两种选择：1)每次计算都查图或试算求Θc的数值； 模泥沙运动，R’=R。 2) 用有代表性的常数Θc值代入(计算时得 到一个较大的上限Uc值) 。
可见：即使τc不变，Uc 也会随水深而变
临界条件式：达到起动临界点时，各 水力要素之间的关系。 此时没有大规模泥沙运动，故 R’=R。 (这是隐式的Shields曲线)
将式(4-32)
⎛ U*c D ⎞ ⎟ Θc = = f⎜ ⎜ ⎟ 两边开平方，得 (γ c − γ )D ⎝ ν ⎠
τc
(γ
左边分母可化为
河 流 动 力 学 基 础
河流动力学基础
1
第四章
1. 泥沙起动随机性
泥沙的起动
起动现象的描述、起动过程的随机因素、泥沙起动的临界条件
2. 无粘性沙的起动
无粘性均匀沙的起动、无粘性非均匀沙的起动
3. 粘性颗粒和轻质沙的起动
2
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
所以：在试验水槽里观测得到的临界起动流速，可能没 什么普遍意义（天然河流的水深比水槽大得多）； 但是，在试验水槽里观测得到的临界起动剪切应力，有 没有普遍意义呢？
对于无粘性的颗粒来说，在试验水槽里观 测得到的临界起动剪切应力，有普遍意义。 因为它表示 “床面颗粒受力状态”。
基于有普遍意义的临界起动剪切应力，应该可以推导出 有普遍意义的临界起动流速表达式，它应把水深作为自变 量之一。
起ks=D，则对数型起动流速公式(4-35)[此为研究生教材上的编号]可写为：
当粒径分别为D=5mm, 0.5mm, 0.05mm时，图4-10中查出的临界起动 Shields数分别为Θc=0.057, 0.033, 0.18, 代入上式可求出临界平均流速分别 为Uc=1.32m/s, 0.41m/s, 0.37m/s 。
4 2
m
颗粒被水流拖曳，产 生向前运动的趋势 m=1/6 垂线平均流速
m
⎛ y⎞ u ( y ) = (1 + m)U ⎜ ⎟ ⎝h⎠
D⎞ 并取y=αD处的流速为U0 U = (1 + m )α mU ⎛ ⎜ ⎟ 0 ⎝h⎠
U0
αD
D
13
河流动力学基础
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
河流动力学基础
τc ρ
c
− γ )D ρ
=
⎛ U*c D ⎞ f⎜ ⎟ 这也是一个临界条件式。 ⎜ ν ⎟ ⎠ ⎝
(γ
c
− γ )D
ρ
=
(γ
c
− γ )D = γ g(γc源自− γ)γgD
8
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
U越大, du/dy也越大 相同的水深下， 这种临界起动流 速给出正确结果 U越小, du/dy也越小
河流动力学基础
Uc
τc
∝du/dy
U相同
H越大, du/dy越小 不同的水深下， 这种临界起动流 速可能不可靠 H越小, du/dy越大
4
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
6
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
利用对数型平均流速公式，得到起动流速Uc与水深关系
U 2.3 ⎛ Rχ ⎞ ⎟ lg⎜ 12.27 = ⎜ κ ⎝ U* ks ⎟ ⎠
公式(3-43)
(公式编号系研究生教 材中的编号，下同)
任意水深的 临界起动垂 线平均流速
Uc (γ c − γ )
= gD
γ
⎛ R′χ ⎞ ⎛ U *c D ⎞ ⎟ 12.27 f⎜ ⎟ 5.75 lg⎜ ⎜ ks ⎟ ⎝ ν ⎠ ⎝ ⎠
可见：计算 Uc时也需要查Shields图， Uc由临界Shields数Θc的数值所决定
Shields曲线上该颗粒对应 的临界点纵坐标值Θc
当颗粒达到临界起动条件时:
1) 床面剪切应力即是临界起动切应力τ0 ，且τ0= τc= γRJ，而U* =(τ0 /ρ)1/2; 2) 此时的垂线平均流速U就是待求的临界起动流速 Uc ，它的值通过对数型 垂线平均流速公式(3-43)式唯一地由 τc 确定 (因U*由τ0确定，而此时τ0=τc)。 (为什么选对数型垂线平均流速公式而不选别的流速公式来确定Uc和τc的关系？ 与历史原因或研究者偏好有关。东欧学者就选了别的流速公式。)
河流动力学基础
5
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
随水深而变化的临界起动流速Uc：概念的建立 如何推导随水深而变的临界起动流速
1) 由时均流速沿垂线的分布推到得到水深平均流速； 2) “垂线平均的纵向流速U ”与“床面剪切应力τ0”存在一个显式关系； 3) 已知临界床面剪切应力τc，就可从上面的显式关系得到泥沙的临界起动 平均流速Uc的表达式，这就是“临界起动流速Uc”的表达式。
γs −γ ⎛ h ⎞ U c = 1 . 14 gD ⎜ ⎟ γ ⎝D⎠
1/6
该式结构简单，经河流实测资料和室内试验资料验证，有良好精度。
河流动力学基础
14
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
公式和沙莫夫公式计算水深为1m, 10m, 30m时的临界起动平均流速值。
河流动力学基础
7
基于特定水深的临界起动流速 - 任意水深的临界起动流速Uc – 用对数流速公式推导Uc – 用指数流速公式推导Uc
任意水深的临界起动流速UC：基于对数流速分布公式的推导
颗粒起动时，对数型垂线平均流速公式(3-43)成为一个临界条件式：
⎛ R′χ ⎞ ⎟ = 5.75 lg⎜ 12.27 ⎜ ⎟ k τc ρ s ⎠ ⎝ Uc