微分方程教案.docx

第七章微分方程
教学目的：
1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4．会用降阶法解下列微分方程：y(n ) f ( x) ，y f (x, y ) 和 y f ( y, y )
5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性
微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。

教学重点：
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
2、可降阶的高阶微分方程y( n ) f (x) ，y f (x, y ) 和 y f ( y, y )
3、二阶常系数齐次线性微分方程；
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微
分方程；
教学难点：
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微
分方程的特解。

§7 1 微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规
律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程
例 1 一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M( x y)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程
解设所求曲线的方程为y y( x)根据导数的几何意义可知未知函数y y( x)应满足关
系式 ( 称为微分方程)
dy
2x(1)
dx
此外未知函数 y y( x)还应满足下列条件
x 1 时y 2简记为 y|x 12(2)
把 (1) 式两端积分得 ( 称为微分方程的通解)
y2xdx即 y x2C(3)
其中 C是任意常数
把条件“ x 1 时y2”代入 (3)式得
2
2
C 1
由此定出C1把 C1代入 (3)式得所求曲线方程 ( 称为微分方程满足条件y|x 12的解 )
y x21
例 2 列车在平直线路上以20m/s( 相当于 72km/h) 的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解设列车在开始制动后t 秒时行驶了 s 米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函
数 s s( t )应满足关系式
d 2s
0.4(4)
dt2
此外未知函数 s s( t )还应满足下列条件
t0 时s0v ds20简记为 s|t 0=0s |t 0=20(5)
dt
把 (4) 式两端积分一次得
v ds0.4t C(6)
dt1
再积分一次得
s02t 212
(7)
Ct C
这里 C1C2都是任意常数
把条件 v|t 020 代入 (6) 得
20C1
把条件 s|
t 00 代入 (7)得 0 C
2
把 C C 的值代入(6)及(7)式得
12
v0 4t20(8)
s02t 220t(9)
在 (8) 式中令v 0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
2050(s)
t
0.4
再把 t 50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程
s0250220 50500( m)
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程
微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3 y x2 y4xy3x2
y(4)4y10y12y5y sin2 x
y( n)10
一般 n 阶微分方程
F( x y y y( n))0
y( n) f ( x y y y( n 1) )
微分方程的解满足微分方程的函数( 把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式) 叫做该微分方程的解确切地说设函数 y( x) 在区间I上有n阶连续导数如果在区间 I 上
F[ x( x)( x)
( n)
( x)] 0
那么函数 y( x)就叫做微分方程F( x y y y ( n )
0 在区间I上的解
)
通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解
初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如
x x0时y y0y y0
一般写成
y x x0 y0y x x0 y0
特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
如求微分方程y f ( x y)满足初始条件y x x y 的解的问题记为
y f (x, y)
y x x0y 0
积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线
例3验证函数
x
1cos
kt
2 sin
kt
是微分方程 d
2x
2
x0
的解C C
dt 2
k
解求所给函数的导数
dx
kC1 sin kt kC2 coskt dt
d 2x2
C1cos2sin
kt k
2(C
1
cos sin
kt
)
dt2k kt k C2kt C2
将d2 x
及 x 的表达式代入所给方程得
dt2
k
2(1cos
kt
2sin
kt
)
k
2(1
cos
kt
2sin
kt
)0
C C C C
这表明函数x C1cos kt C2sin kt满足方程 d
2 x k2 x
0因此所给函数是所给方程的解
dt 2
例 4 已知函数x C cos kt C sin kt ( k0) 是微分方程 d
2 x
2x0 的通解求满足初始
k
12
dt2
条件
x|t 0 A x|t 00的特解
解
由条件 x | t 0 A 及 x C 1 cos kt C 2 sin kt 得
C 1 A
再由条件 x | t
0 及 x ( t ) kC 1sin kt kC 2cos kt 得
C 2 0
把 C 1、 C 2 的值代入 x C 1cos kt
C 2sin kt 中
得
x A cos kt
作业： P298： 4
§7
2 可分离变量的微分方程
观察与分析
1
求微分方程
y
2 的通解 为此把方程两边积分
得
x
y x 2 C
一般地
方程 y
f ( x ) 的通解为 y
f x dx C ( 此处积分后不再加任意常数 )
( )
2
求微分方程 y
2xy 2 的通解
因为 y 是未知的
所以积分
2xy 2dx 无法进行
方程两边直
接积分不能求出通解
为求通解可将方程变为
1 dy 2
xdx
两边积分
得
y 2
1 x
2 C
或 y
1
C
y
x 2
可以验证函数y1是原方程的通解
x2C
一般地如果一阶微分方程 y( x, y) 能写成g( y) dy f ( x) dx
形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G( y)F( x)C
由方程 G( y)F( x)C所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程
一阶微分方程有时也写成如下对称形式
()
dx ()
dy
P x y Q x y
在这种方程中变量 x 与 y 是对称的
若把 x 看作自变量、 y 看作未知函数则当 Q( x, y)0 时有
dy P(x, y)
dx Q( x, y)
若把
y 看作自变量、
x
看作未知函数则当 (,
y
) 0 时有
P x
dx Q( x, y)
dy P(x, y)
可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
g( y) dy f ( x) dx (或写成y( x)( y))
的形式就是说能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy另一端只含x 的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y 1dy2xdx
(2)3
x 25
x y
0是
dy
(3
x
2 5 )
x dx
(3)(x 22
dx xydy=0不是y)
(4)y1x y 2
xy
2
是y(1x)(1
2
y )
(5)y
x y
是10
y x
dx 10dy10
(6)y x y
不是y x
可分离变量的微分方程的解法
第一步分离变量将方程写成 g( y) dy f ( x) dx 的形式
第二步两端积分g( y)dy f ( x)dx()()
C
设积分后得 G y F x
第三步求出由 G( y)F( x)C所确定的隐函数 y( x) 或x( y)
()()
C y (
x
) 或
x
(
y
) 都是方程的通解其中()()
C
称为隐式 ( 通)
G y F x G y F x 解
例 1 求微分方程dy
dx2xy的通解
解此方程为可分离变量方程分离变量后得1
d y 2xdx
y
两边积分得
1
dy 2xdx
即ln|y| x2 C1
从而y e x2 C1e C
1e
x2
因为e C
1仍是任意常数把它记作 C便得所给方程的通解y Ce x2
例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0 时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量M( t )随时间 t 变化的规律
解铀的衰变速度就是M( t )对时间 t 的导数
dM
dt
由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程dM
M dt
其中( >0) 是常数前的曲面号表示当 t 增加时 M单调减少即 dM0
dt
由题意初始条件为 M|t 0M0
将方程分离变量得
两边积分得即ln M
dM dt
M
dM
( )dt
M
t ln C也即M Ce t
由初始条件得 M0 Ce0C
所以铀含量 M( t )随时间 t
t 变化的规律 M M0e
例 3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
解设降落伞下落速度为v( t )降落伞所受外力为 F mg kv( k 为比例系数)根据牛顿第二运动定律 F ma得函数v(t)应满足的方程为
m dv
mg kv
dt
初始条件为
v|t00
方程分离变量得
dv dt
mg kv m
两边积分得
dv dt
mg kv m
1
ln(mg kv)t C1
k m
即
mg k t
e
kC
1
)
v
Ce m
( C
k
k
将初始条件 v | t 0
0 代入通解得
C
mg
k
v mg k t
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为
(1 e m )
k
例 4 求微分方程
dy
1 x
y 2 xy 2 的通解
dx
解 方程可化为
dy
(1 x)(1 y 2)
dx
分离变量得
1
dy (1 x)dx
1 y
2
两边积分得
1
即
y 1 x
2
x C
1 y 2
dy
(1 x)dx
arctan 2
于是原方程的通解为
y tan(1
x 2
x C)
2
作业： P304： 1（ 1）（2）（ 3）（ 7）（ 9）（ 10）， 2（ 2）（ 4）， 3
§7 3 齐次方程
齐次方程
如果一阶微分方程
dy
f (x, y) 中的函数 f ( x , y ) 可写成
dx
y
的函数
即 ( , ) ( y ) 则称这方程为齐次方程
f x y
x
x
下列方程哪些是齐次方程？
(1) xy
y y
2
x
2
0 是齐次方程
dy
y
y
2
x
2
dy y ( y
) 2 1
x
dx
dx x
x
(2)
1 x 2
y
1 y
2
不是齐次方程
dy 1 y 2
dx 1 x
2
dy x 2
2
dy x y
(3)(
2
2
) dx xydy
0 是齐次方程
y
x y
dx
xy
dx y x
(4)(2
x
y 4) dx ( x y
1) dy 0 不是齐次方程
dy 2x y 4
dx
x y 1
(2 sh y 3 ch y )
3 ch y dy 0 是齐次方程
(5)
x
x
y x dx
x
x
dy
2xsh
y
3ych
y
2 y y
x
x dy
dx
y
dx
3th
x
3xch
x
x
齐次方程的解法
在齐次方程
dy
( y
) 中 令 u
y 即 y
ux
有
dx
x x
u x du
(u)
dx 分离变量
得
du dx
(u) u x
两端积分
得
du dx
(u) u
x
求出积分后
再用 y
代替 u
便得所给齐次方程的通解
x
例 1
解方程 y
2
x 2 dy
xy
dy
dx
dx
解
原方程可写成
2
y )
2
dy
y
(
x 2
x
dx xy y 1
x
因此原方程是齐次方程令y
u则x
y ux dy u x du
dx dx 于是原方程变为
u x du u2
dx u 1
即x du u
1
dx u
分离变量得
(11
)du dx u x
两边积分得 u ln| u|C ln| x|或写成 ln| xu|u C
以y
代上式中的 u便得所给方程的通解
x
ln |y|y C
x
例 2有旋转曲面形状的凹镜假设由旋转轴上一点发出的一切光线经此凹镜反射后都与
O
旋转轴平行求这旋转曲面的方程
解设此凹镜是由 xOy面上曲线 L y y( x)( y>0)绕 x轴旋转而成光源在原点在L上任取
一点 M( x,y)作L的切线交 x轴于 A点 O发出的光线经点 M反射后是一条平行于 x轴射线由光学及几何原理可以证明 OA OM
因为OA AP OP PM cot OP y x
y
而OM x2y2
于是得微分方程y x x
2y2
y
整理得dx
x(
x
) 2 1这是齐次方程dy y y
问题归结为解齐次方程
dx dy
x y
( x )2 y
1
令
x
v
即 x
yv
得 v y
dv
v v 2
1
y
dy
即
y dv
v 2 1
dy
分离变量
得
dv
dy
y
v 2
1
两边积分
得 ln(v
v
2
1) ln y ln C ,
v v
2
1 y ,
( y
v)2 v 2 1 ,
C
C
y
2
2 yv
C
2
1
C
以 yv x 代入上式
得
y 2
2C(x C )
2
这是以 x 轴为轴、焦点在原点的抛物线
它绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为
y 2 z 2 2C( x C )
2
这就是所求的旋转曲面方程
例 3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为 a 有一鸭子从岸边点
A 游向正对岸点
O 设鸭子的游速为
b ( b >a )
且鸭子游动方向始终朝着点
O
已知 OA h
求鸭子游过的迹
线的方程
解 取 O 为坐标原点
河岸朝顺水方向为 x 轴 y 轴指向对岸 设在时刻 t 鸭子位于点
P ( x , y )
则鸭子运动速度
v (v x , v y ) ( dx
, dy
) 故有
dx v x
dt dt dy v y
另一方面
v a b
(a, 0)
b(
x
,
y
)
v (a
bx ,
by )
x 2 y 2 x 2 y 2 x 2
x 2
y 2
y 2
因此
dx v x a ( x ) 2
1
x 即
dx
a
( x
) 2 1
x
dy v y
b
y y
dy
b y
y
问题归结为解齐次方程
dx a x 2
x
dy
b ( y )
1 y
令
x
u 即 x
yu 得
y
y du
a u 2 1
dy
b
分离变量
得
du a
dy
u 2 1
by
两边积分 得
arsh
b (ln y ln C)
u
a
将 u
x
代入上式并整理
得 x
1
1 a
1 a
[( Cy) b
(Cy)
b ]
y
2C
以 x | y h 0代入上式
得
1
故鸭子游过的轨迹方程为
C h
x
h [( y
) 2 h
1 a ( y
1 a b
) b
] 0 y h
h
将 u x
代入 arshu
b
(ln y ln C) 后的整理过程
y
a
arsh x
b
(ln y ln C)
y
a
b
x
shln(Cy)
a
y
x
1
[(Cy) y 2
b
b
a
(Cy)a ]
x
y
[(Cy)
2
b b
x 1
[( Cy)1
b (Cy)
1
b
a (Cy) a
]
a
a ]
2C
作业： P309： 1（ 1）（3）（ 5）， 2
§ 线性微分方程
一、 线性方程
线性方程
方程
dy
P(x) y Q(x) 叫做一阶线性微分方程
dx
如果 Q ( x ) 0
则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程
方程
dy
P(x) y 0 叫做对应于非齐次线性方程
dy
P( x)y Q(x) 的齐次线性方程
dx
dx
下列方程各是什么类型方程？
(1)
( x 2)
dy
y
dy 1 y 0 是齐次线性方程
dx
dx
x 2
(2) 3 x 2 5x 5y 0
y
3x 2 5x 是非齐次线性方程
(3) y
y cos x
e
sin x
是非齐次线性方程
(4)
dy
10
x y
不是线性方程
dx
(5)( y 1)
2 dy
x 3
dy
x 3
0 或
dx ( y 1) 2
dx
dx ( y 1)
2
dy
x
3
不是线性方程
齐次线性方程的解法
齐次线性方程
dy P(x) y 0 是变量可分离方程 分离变量后得
dx
dy
y
P(x)dx
两边积分
得
ln |y|
P(x)dx C 1
或
P(x)dx
(
C 1 )
y Ce
e
C
这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）
例 1 求方程 ( x 2)
dy
y 的通解
dx
解 这是齐次线性方程
分离变量得
dy dx y x 2
两边积分得
ln|y|ln| x2| lnC
方程的通解为
y C( x 2)
非齐次线性方程的解法
将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u( x)把
P(x)dx
y u( x)e
设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得
u ()P( x)dx( )P(x)dx() ()()P( x) dx( ) x e u x e P x P x u x e Q x
化简得 u (x)Q( x)e P( x)dx
u (x
)
Q x e P(x)dx dx C
()
于是非齐次线性方程的通解为
y e P(x)dx[ Q(x)e P(x)dx dx C ]
或y Ce P(x)dx e P(x)dx Q( x)e P(x)dx dx
非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和
求方程dy
2y
5
例 2(x 1)2的通解
dx x 1
解这是一个非齐次线性方程
先求对应的齐次线性方程分离变量得dy2y
0 的通解dx x 1
dy 2dx
y x 1
两边积分得
ln y2ln (x1) ln C
齐次线性方程的通解为
2
y C ( x 1)
用常数变易法
把 C 换成 u
即令 y u ( x
2
代入所给非齐次线性方程
得
1)
2
5
u (x 1)2
2u (x 1)
1u (x 1) 2 (x 1)
2
x
1
u (x
1) 2
两边积分
得
u
2
(x 3
C
1)
2
3
再把上式代入 y
u ( x 1) 2中 即得所求方程的通解为
3
y (x 1)2
[ 2
( x 1) 2
C]
3
例 3 有一个电路如图所示
其中电源电动势为
m
m
电阻 R 和
E E sin
t ( E 、 都是常数 )
电感 L 都是常量
求电流 i ( t )
解
由电学知道
当电流变化时
L 上有感应电动势
L di
由回路电压定律得出
dt
E L di
iR 0
dt
即di R i E dt L L
把 E E m sin
t 代入上式 得
di R i E m
sin t
dt L
L
初始条件为
i | t 0
方程
di
R i E
m sin t 为非齐次线性方程 其中
dt
L L
P(t) R Q(t)
E m
sin t
L
L
由通解公式
得
i (t) e
P(t )dt [ Q(t)e P(t)dt
dt C ] e
R
dt
E m sin
R dt
L (
L te L
dt C )
E m e R t
sin R t
C )
L ( te L dt
L
2
E m
2 2 (Rsin
t
L cos t)
Ce R t
L
R
L
其中 C 为任意常数
将初始条件 i | t 0
0 代入通解
得 C
LE m
2L 2
R
2
因此
所求函数 i ( t ) 为
i(t) LE m R t
E m
2 2 (Rsin tL cos t)
2
2 L 2 e L
R 2
R
L
二、伯努利方程
伯努利方程
方程
dy
P(x) y Q( x) y n ( n 0
1)
dx
叫做伯努利方程
下列方程是什么类型方程？
(1)
dy 1 y 1 (1 2x) y 4
是伯努利方程
dx 3 3
(2)
dy y
xy 5 dy y
xy 5 是伯努利方程
dx
dx
(3)
y
x
y y 1 y
xy 1 是伯努利方程
y
x
x
(4)
dy 2 4
dx
xy
x
是线性方程 不是伯努利方程
伯努利方程的解法
以 y n 除方程的两边
得
y n dy
1 n
Q(x)
dx P( x) y
令 z
y
1 n
得线性方程
dz (1 n)P(x) z (1 n)Q(x)
dx
例 4 求方程
dy
y a(ln x) y 2
的通解
dx
x
解 以 y 2 除方程的两端
得
y 2 dy 1 y 1
a ln x
dx x
即
d( y 1
) 1
y 1
aln x
dx x
令 z
y 1
则上述方程成为
dz 1 z aln x
dx x
这是一个线性方程
它的通解为
z x[C
a
(ln x)2 ]
2
以 y 1 代 z
得所求方程的通解为
yx[C
a
(ln x)2 ] 1
2
经过变量代换
某些方程可以化为变量可分离的方程
或化为已知其求解方法的方程
例 5
解方程 dy
1 dx
x y
解 若把所给方程变形为
dx x
y
dy
即为一阶线性方程
则按一阶线性方程的解法可求得通解
但这里用变量代换来解所给方程
令 x y u
则原方程化为
du 1 1 即 du u 1
dx u
dx u
分离变量
得
u
du dx u 1
两端积分得
u ln| u 1| x ln| C |
以 u x y 代入上式得
y ln| x y 1|ln| C|或x Ce y y1
作业： P315： 1（ 1）（3）（ 5）（ 7）（ 9）， 2（1）（ 3）（ 5）， 7（ 1）（ 2）
§7 5 可降阶的高阶微分方程
一、 y( n) f ( x)型的微分方程
解法积分 n 次
y(n 1) f ( x)dx C
1
y(n 2)[ f ( x)dx C ]dx C
12
例 1求微分方程 y e2x cos x的通解
解对所给方程接连积分三次得
y 1 e2x sin x C
21
y 1 e2x cosx C1x C2
4
y1e2x sin x1 C x2C x C
82123
这就是所给方程的通解
或y 1 e2x sin x2C1
2
y 1 e2x cosx2C x C
2
41
y 1e 2x sin x C x 2 C x
C
8 1 2
3
这就是所给方程的通解
例 2 质量为 m 的质点受力
F 的作用沿 Ox 轴作直线运动
设力 F 仅是时间 t 的函数
( )
在开始时刻
t 0 时 (0)
随着时间
t 的增大 此力
F 均匀地减小 直到
F F t
F F
t
T 时
F ( T ) 0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律
解 设 x
x ( t ) 表示在时刻 t 时质点的位置
根据牛顿第二定律
质点运动的微分方程为
m d 2x
( )
dt 2 F t
由题设
力 F ( t ) 随 t 增大而均匀地减小
且 t 0 时
F (0) F 0
所以 F ( t ) F 0 kt
又当
t T 时
( )
从而
F T
F (t ) F 0(1 t )
T
于是质点运动的微分方程又写为
d 2
x F
(1 t )
dt 2
m
T
其初始条件为 x|t
0 0
dx
|t
0 0
dt
把微分方程两边积分
得
dx
F
(t
t 2 ) C
dt m
2T
1
再积分一次
得
x
F
0 ( 1t
2
t 3
) C 1t C 2
m 2
6T 由初始条件 x | t 0
dx
dt |
t 0
1
2
得 C
C
于是所求质点的运动规律为
x
F
0 ( 1 t
2
t 3
) 0 t T
m 2 6T
二、 y f ( x y) 型的微分方程
解法设 y p 则方程化为
p f ( x p)
设 p f ( x p)的通解为 p( x C1)则
dy
(x,C1)
dx
原方程的通解为
y( x, C1)dx C2
例 3 求微分方程
(1x2) y2xy
满足初始条件
y| x 01y| x 03
的特解
解所给方程是y f ( x y) 型的设y p代入方程并分离变量后有dp2x dx
p 1 x2
两边积分得
ln|p|ln(1x2)C
即p y C(12C
x ) ( Ce )
11
由条件 y|
x03得 C3
1
所以y3(1
2 x )
两边再积分得
y
33
x
2 x C
又由条件 y|x01得 C21于是所求的特解为
y x 3 3x 1
例 4 设有一均匀、柔软的绳索
两端固定
绳索仅受重力的作用而下垂
试问该绳索在
平衡状态时是怎样的曲线
?
三、 y
f ( y y ) 型的微分方程
解法
设 y p 有
y
dp dp dy p dp
dx dy dx
dy
原方程化为
p dp f ( y, p)
dy
设方程 p
dp
f ( y, p) 的通解为 y
p ( y
C 1)则原方程的通解为
dy
dy x C 2
( y,C 1)
例 5 求微分 yy
y 2
0 的通解
解 设 y
p
则 y
p dp
dy
代入方程
得
yp
dp
p
2
dy
在 y
0、 p 0 时 约去 p 并分离变量
得
dp dy
p y
两边积分得
ln| p | ln| y | ln c
即
p Cy 或 y Cy ( C c )
再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为
ln|
y |
Cx
ln
c 1
或
y C 1e Cx
( C 1
c 1)
作业： P323： 1（ 1）（3）（ 5）（ 7）（ 9）， 2（1）（ 3）（ 5）
§7
6
高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程举例
例 1 设有一个弹簧
上端固定
下端挂一个质量为
m 的物体
取 x
轴铅直向下
并取
物体的平衡位置为坐标原点
给物体一个初始速度
v 0
0 后
物体在平衡位置附近作上下振动
在振动过程中
物体
的位置
x 是
t
的函数
x x ( t )
设弹簧的弹性系数为
c
则恢复力 f
cx
又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比
比例系数为 则
dx R
dt
由牛顿第二定律得
m d
2
x cx
dx
dt 2
dt
移项
并记 2n
k
2
c
m m 则上式化为
d 2x 2 dx 2
k x
dt
2
n
dt
这就是在有阻尼的情况下
物体自由振动的微分方程
如果振动物体还受到铅直扰力
F H sin pt
的作用 则有
d 2x
2n dx k 2
x h pt
dt 2
dt
sin
其中 h
H
这就是强迫振动的微分方程
m
例 2 设有一个由电阻 R 、自感 L 、电容 C 和电源 E 串联组成的电路 其中 R 、 L 、及 C 为常
数 电源电动势是时间
t 的函数
E E m sin t 这里 E m 及
也是常数
设电路中的电流为
i ( t )
电容器极板上的电量为
( )两极板间的电压为
c
自感电动势为
q t
u
L
由电学知道
E
i dq u c q E L
L di
dt
C
dt
根据回路电压定律
得
E
L di
q Ri 0
dt C
即
d 2
u c du c
u c
E m sin t
LC dt
2 RC
dt
或写成
d 2
u c 2 du c
2u
E m
sin t
dt
2 dt
0 c
LC
其中
R
1
这就是串联电路的振荡方程
2L
LC
如果电容器经充电后撤去外电源 ( E
0) 则上述成为
d 2
u c 2 du c
02
u c 0
dt
2
dt
二阶线性微分方程
二阶线性微分方程的一般形式为
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
若方程右端 f ( x)0 时方程称为齐次的否则称为非齐次的
二、线性微分方程的解的结构
先讨论二阶齐次线性方程
y P( x) y Q( x) y 0即 d 2 y P(x)
dy
Q(x) y 0
dx2dx 定理 1如果函数 y1( x)与 y2( x)是方程
y P( x) y Q( x) y 0
的两个解那么
y
1 1(
x
)22() Cy Cy x
也是方程的解其中1、 2 是任意常数
C C
齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理
证明 [ Cy
1Cy ] C y
1
C y
2
12212
[Cy
1Cy ] C y
1
C y
2
12212
因为 y1与 y2是方程 y P( x) y Q( x) y0所以有y1P( x) y1Q( x) y10 及y2P( x) y2Q( x) y20
从而 [Cy
1Cy ]P( x)[ C y
1
Cy
2
]Q( x)[ C y
1
Cy]
12212122
C[ y
1P( x) y
1
Q( x) y ]C[ y
2
P( x) y
2
Q( x) y]000
1122
这就证明了
11(
x ) 2 2(
x
) 也是方程
y
()
y
( )
y
0 的解
y Cy Cy P x Q x
函数的线性相关与线性无关
设 y( x)y ( x)y ( x)为定义在区间 I 上的 n 个函数如果存在 n 个不全12n
为零的常数 k1k2k n使得当 x I 时有恒等式
k1y1( x)k2y2( x)k n y n( x)0
成立那么称这 n 个函数在区间I 上线性相关否则称为线性无关
判别两个函数线性相关性的方法
对于两个函数它们线性相关与否只要看它们的比是否为常数如果比为常数那么它们就线性相关否则就线性无关
例如1cos 2x sin 2x在整个数轴上是线性相关的函数1x x2在任何区间( a, b)内是线性无关的
定理 2 如果如果函数y1( x)与 y2( x)是方程
y P( x) y Q( x) y0
的两个线性无关的解那么
y
1 1(
x
)22(
x
) (1、 2 是任意常数) Cy Cy C C
是方程的通解
例 3 验证y1cos x与y2sin x 是方程 y y 0的线性无关解并写出其通解
解因为
y1y1cos x cos x0
y2y2sin x sin x0
所以 y1cos x与y2sin x 都是方程的解
因为对于任意两个常数k1、k2要使
k1cos x k2sin x0
只有 k1k20所以 cos x 与sin x 在(,) 内是线性无关的
因此 y1cos x 与 y2sin x 是方程 y y0 的线性无关解
方程的通解为y C1cos x C2sin x
例 4 验证y1x 与 y2e x是方程( x1) y xy y0 的线性无关解并写出其通解
解因为
(x1) y1xy1y10x x0
(x1) y2xy2y2( x1) e x xe x e x0
所以 y1 x 与 y2e x都是方程的解
因为比值 e x/x不恒为常数所以 y1x 与 y2e x在(,) 内是线性无关的因此 y1x 与y2e x是方程( x 1) y xy y 0的线性无关解
方程的通解为y C1x C2e x
推论如果 y1( x)y2( x)y n( x)是方程
y ( n)
a1( x) y
( n 1)
a
n
1(x)y
n
a ( x) y 0
的 n 个线性无关的解那么此方程的通解为
y C1y1( x)C2y2( x)C n y n( x)
其中 C1C2C n为任意常数
二阶非齐次线性方程解的结构
我们把方程
y P( x) y Q( x) y0
叫做与非齐次方程
y P( x) y Q( x) y f ( x)
对应的齐次方程
定理 3 设y*( x) 是二阶非齐次线性方程
y P( x) y Q( x) y f ( x)
的一个特解Y( x)是对应的齐次方程的通解那么
y Y( x) y*( x)
是二阶非齐次线性微分方程的通解
证明提示[ Y( x)y*( x)]P( x)[Y( x)y*( x)]Q( x)[Y ( x)y*( x)] [ Y P( x) Y Q( x) Y ][ y *P( x) y*Q( x) y*]
0 f( x)f( x)
例如Y C1cos x C2sin x是齐次方程y y 0的通解y* x22是y y x2的一个特解因此
y
1cos2sin
x x
22 C x C
是方程 y y x2的通解
定理 4设非齐次线性微分方程y P( x) y Q( x) y f ( x)的右端 f ( x)几个函数之和如
y
( )( )
y f
1(
x
)
f
2(
x
) P x y Q x
而 y1*( x)与 y2*( x)分别是方程
y P( x) y Q( x) y f 1( x)与 y P( x) y Q( x) y f 2( x)的特解那么 y1*( x)y2*( x)就是原方程的特解
证明提示
[y1y2*]P( x)[ y 1*y2*]Q( x)[ y 1*y2*]
[ y 1*()
y
1*()
y
1*][
y
2*()
y
2*()
y
2 *]
P x Q x P x Q x
f1(x) f 2( x)
作业： P331： 1（ 1）（3）（ 5）（ 7）， 4（ 1）（3）（ 5）
§ 7 7二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程方程 y py qy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中 p、 q 均为常数
如果
y 1、 y 2 是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解
那么
y
C 1y
1
C 2y 2 就是它
的通解
我们看看
能否适当选取
r
使 y
e rx
满足二阶常系数齐次线性微分方程
为此将
y e rx 代入方程
y
py
qy 0
得
(
r
2
pr
q ) e rx
由此可见
只要 r
满足代数方程
r 2
pr q
函数
y
e rx 就是微分方程的解
特征方程
方程 r 2
pr
q
0 叫做微分方程
y
py
qy
0 的特征方程
特征方程
的两个根 r 1、 r 2 可用公式
p
p 2 4q
r 1,2
2
求出
特征方程的根与通解的关系
(1)
特征方程有两个不相等的实根 r 1、 r 2 时
函数 y 1 e
r 1x
、 y 2 e r 2 x 是方程的两个线性无
关的解
这是因为
r 1x
、 y
r 2x
是方程的解
y 1
e r 1
x
(r r )x 不是常数
函数 y e
2 e
又
e 12
1
y 2
e
r 2
x
因此方程的通解为
y C 1e r 1x C 2 e r 2 x
(2) 特征方程有两个相等的实根
r 1 r 2 时
函数 y
e
r 1 x
、 y
xe r 1 x 是二阶常系数齐次线性
1
2
微分方程的两个线性无关的解
这是因为
y 1 e
r 1x
是方程的解
又
(xe r 1x
)
p( xe r 1x ) q( xe r 1x
) (2r 1 xr 12)e r 1
x
p(1 xr 1)e r 1x qxe r 1
x
r1x(2p)r1x(2pr) 0
e r xe r q
111
r1 x也是方程的解且y2xe r1x
x 不是常数
所以 y xe
2
y1e r1x
因此方程的通解为
y C1e r1x C2 xe r1x
(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i时函数 y e(i ) x、ye(i ) x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数 y e x cos x、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解
函数 y1e(i ) x和 y2e(i ) x都是方程的解而由欧拉公式得
y1e(i) x e x(cos x i sin x)
y2e(i) x e x(cos x i sin x)
12
2x cos e x cos x1( y1y2)
y y e x
y y ie x x e
x sin x
1( y1 y2 )
12
2sin
2i
故 e x cos x、 y2 e x sin x 也是方程解
可以验证y1 e x cos x、 y2 e x sin x 是方程的线性无关解因此方程的通解为
y e x1
x
2
x ) ( C cos C sin
求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程
r 2pr q 0
第二步求出特征方程的两个根r 、 r
2
1
第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解
例 1求微分方程 y2y3y0 的通解
解所给微分方程的特征方程为
r 22r 3 0即 ( r1)( r3) 0
其根 r 11r 2 3 是两个不相等的实根因此所求通解为
y C1e x C2e3x
例 2求方程 y2y y 0满足初始条件 y|x 04、 y |x 0 2 的特解解所给方程的特征方程为
r 2210
即 (
r
1) 20
r
其根 r 1r 2 1 是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y( C1C2x) e x
将条件 y|x 0 4 代入通解得C14从而
y(4 C2x) e x
将上式对 x 求导得
y( C2 4 C2x) e x
再把条件 y| x 0 2 代入上式得C22于是所求特解为x(4 2x) e x
例 3 求微分方程y2y5y0 的通解
解所给方程的特征方程为
r 22r50
特征方程的根为
r 112
i r
212是一对共轭复根
i
因此所求通解为
x12
x)
y e( C cos2 x C sin2
n阶常系数齐次线性微分方程方程
y( n)p1y( n 1)p2y( n 2)p n 1y p n y0
称为 n 阶常系数齐次线性微分方程其中 p1p2p n
1
p n都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到 n 阶常系数齐次线性微分方程上去
引入微分算子D及微分算子的n 次多项式
L(D)=D n p1D n1p2D n2p n1D p n
则 n 阶常系数齐次线性微分方程可记作
(D n
p
n
12
n
2n1D n)
y
0或 (D)0 1D D
p p p L y
注 D 叫做微分算子 D0y y D y y D2y y D3y y D n yy( n)分析令 y e rx则
L(D) y
rx n n1n 2n
1r
n rx rx L(D) e( r p1r p2 r p p ) e L( r ) e
因此如果
r 是多项式() 的根则
y
rx 是微分方程(D)0 的解L r e L y
n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程
L( r )r n p1r n 1p2 r n 2p n 1r p n0
称为微分方程L(D) y0 的特征方程
特征方程的根与通解中项的对应
单实根 r对应于一项Ce rx
一对单复根 r 1
2
i对应于两项 e x( C1cos x C2sin x) k 重实根 r 对应于 k 项e rx( C1 C2x C k x k 1)
一对
k
重复根
r
12
i
对应于 2项
k
e
x12k k 1
x( D
12k k 1
x] [( C Cx C x)cos Dx D x)sin
例 4求方程 y(4)2y5y0 的通解解这里的特征方程为
r 42r35r20即 r 2( r 22r5) 0
它的根是 r 1r 20 和r3
412
i
因此所给微分方程的通解为
y
12x (3cos2
x
4sin2
x
) C Cx e C C
例 5 求方程y(4)4y0 的通解其中0解这里的特征方程为
r 4
40
它的根为 r(1 i)r(1i)
1,223,42
因此所给微分方程的通解为
x
x)x
y e 2 (C1 cos x C2 sin e 2 (C3 cos x C4 sin x)
2222作业： P340： 1（ 1）（3）（ 2）（ 4）（ 5）（ 6）（ 8）， 2（ 2）（ 4）（ 6）
§7 8二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程方程
y py qy f ( x)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中 p、q 是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解 y Y( x)与非齐次方程本身的一个特解y y*( x)之和
y Y( x)y *(x)
当 f ( x)为两种特殊形式时方程的特解的求法
一、 f (x)P( x) e x
型
m
当
f (
x
)m()x 时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为P x e
y* Q( x) e x将其代入方程得等式
Q( x)(2p) Q ( x)(2p q) Q( x)P m( x)
(1)如果不是特征方程r 2 pr q0的根则2pq0 要使上式成立Q( x)
应设为m 次多项式
Q m(x)b0x m b1x m 1b m 1x b m
通过比较等式两边同次项系数可确定 b0b1b m并得所求特解y* Q m( x) e x
(2)如果是特征方程r 2pr q0 的单根则2p q0但2p0要使等式
Q( x) (2p) Q ( x) (2pq) Q( x)P m( x)
成立Q( x)应设为 m 1 次多项式
Q( x) xQ m( x)
Q m(x)b0x m b1x m 1b m 1x b m
通过比较等式两边同次项系数可确定 b0b1b m并得所求特解y*xQ m( x) e x
(3)如果是特征方程r 2pr q0 的二重根则2pq0 2p 0要使等
式
Q( x)(2p) Q( x)(2
p q) Q( x)
m
P ( x)
成立Q( x)应设为 m 2 次多项式
Q( x) x2Q m( x)
Q m(x)b0x m b1x m 1b m 1x b m
通过比较等式两边同次项系数可确定 b0b1b并得所求特解
m
y *2 m(
x
)x
x Q e
综上所述我们有如下结论如果 f ( x) P m( x) e x则二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f ( x)有形如
y*k x
x Q( x) e
m
的特解其中m(
x ) 是与m(
x
) 同次的多项式而
k
按不是特征方程的根、是特征方程的单
Q P
根或是特征方程的的重根依次取为0、1或 2
例 1 求微分方程y2y3y 3x 1 的一个特解
解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数 f( x) 是P( x) e x
型 ( 其中P ( x) 3x 1
m m 0)
与所给方程对应的齐次方程为
y2y3y0
它的特征方程为
r 2230
r
由于这里0 不是特征方程的根所以应设特解为y*b0x b1
把它代入所给方程得
3020313
x 1
b x b b
比较两端 x 同次幂的系数得
3b033b032b0 3b1 1
2b03b11
由此求得 b
1
1
b
1
3
y*
x
1
3
例 2 求微分方程
y
于是求得所给方程的一个特解为
5y
6y xe 2x 的通解
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程
且 f ( x ) 是 P m ( x ) e x
型( 其中 P m ( x ) x
2)
与所给方程对应的齐次方程为
y
5y
6 y
它的特征方程为
r
2
5 6
r
特征方程有两个实根 r 1 2 r 2 3 于是所给方程对应的齐次方程的通解为
Y
C 1e 2x C 2e 3x
由于
2 是特征方程的单根 所以应设方程的特解为
y
*
x (
1
)
e 2x
b x b
把它代入所给方程
得
2b 0x 2b 0 b 1 x
比较两端 x 同次幂的系数
得
2b 0
1
1 2 b 0 b 1 0
2b 0 2b 0
b 1 0
由此求得 b 0
1 b 1
1
于是求得所给方程的一个特解为
2
y* x( 1
x 1)e 2x
2
从而所给方程的通解为
2 x
3x
1
2
2x
y C 1e
C 2e
( x 2x)e
提示
y*x( b0x b1) e2x( b0x2b1x) e2x
[(b0x 2
b1x)e
2x
][(2 b0x b1)( b0x
2
b1x)2]
2x
e
[(021)
e 2x][202(201)2( 021)2
e
2x
2 ]
b x b x b b x b b x b x
y*5y*6y*[(
0212
x
5[(
0212
x
0212
x b x b x) e ] b x b x) e]6[( b x b x) e]
[2 b 02(201)2(021)2
2 ]
e
2
x5[(2
01)( 02 1 )2]2
x6(0 2
1)
e
b x b b x b x b x b b x b x e b x b x
2x
[2 b04(2 b0x b1)5(2 b0x b1)]e2x[2b0x2b0b1] e2 x
方程 y py qy e x l
x
n
( x)sin x]的特解形式[ P ( x)cos P
应用欧拉公式可得
e x l
x
n
( x)sin x]
[ P ( x)cos P
e x[P l (x)
e i
x
e i x P n (x)
e i
x
e i x ]
22i
1
[ P(x) iP (x)]e(i)x
1
[P (x)iP ( x)]e( i)x 2l n2l n
P( x)e(i )x P(x)e(i )x
其中P( x)1(P P i)P( x)1(P P i)而m max{l n 22} l n l n
设方程 y py qy P( x) e (i) x
的特解为
1
*
k m(i ) x
y x Q( x) e
则 y1*x k Q m(x)e(i)必是方程 y py qy P (x)e(i) 的特解其中 k 按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0 或 1
于是方程
y py qy e x[l (
x
)cos
x
n(
x
)sin
x
] 的特解为P P
y* x k Q m(x)e(i) x x k Q m(x)e(i) x。