微分方程教案.docx

第七章微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4．会用降阶法解下列微分方程：y(n ) f ( x) ，y f (x, y ) 和 y f ( y, y )

5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性

微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。

教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

2、可降阶的高阶微分方程y( n ) f (x) ，y f (x, y ) 和 y f ( y, y )

3、二阶常系数齐次线性微分方程；

4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微

分方程；

教学难点：

1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微

分方程的特解。

§7 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规

律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程

例 1 一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M( x y)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程

解设所求曲线的方程为y y( x)根据导数的几何意义可知未知函数y y( x)应满足关

系式 ( 称为微分方程)

dy

2x(1)

dx

此外未知函数 y y( x)还应满足下列条件

x 1 时y 2简记为 y|x 12(2)

把 (1) 式两端积分得 ( 称为微分方程的通解)

y2xdx即 y x2C(3)

其中 C是任意常数

把条件“ x 1 时y2”代入 (3)式得

2

2

C 1

由此定出C1把 C1代入 (3)式得所求曲线方程 ( 称为微分方程满足条件y|x 12的解 )

y x21

例 2 列车在平直线路上以20m/s( 相当于 72km/h) 的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解设列车在开始制动后t 秒时行驶了 s 米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函

数 s s( t )应满足关系式

d 2s

0.4(4)

dt2

此外未知函数 s s( t )还应满足下列条件

t0 时s0v ds20简记为 s|t 0=0s |t 0=20(5)

dt

把 (4) 式两端积分一次得

v ds0.4t C(6)

dt1

再积分一次得

s02t 212

(7)

Ct C

这里 C1C2都是任意常数

把条件 v|t 020 代入 (6) 得

20C1

把条件 s|

t 00 代入 (7)得 0 C

2

把 C C 的值代入(6)及(7)式得

12

v0 4t20(8)

s02t 220t(9)

在 (8) 式中令v 0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

2050(s)

t

0.4

再把 t 50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程

s0250220 50500( m)

几个概念

微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程

偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程

微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3 y x2 y4xy3x2

y(4)4y10y12y5y sin2 x

y( n)10

一般 n 阶微分方程

F( x y y y( n))0

y( n) f ( x y y y( n 1) )

微分方程的解满足微分方程的函数( 把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式) 叫做该微分方程的解确切地说设函数 y( x) 在区间I上有n阶连续导数如果在区间 I 上

F[ x( x)( x)

( n)

( x)] 0

那么函数 y( x)就叫做微分方程F( x y y y ( n )

0 在区间I上的解

)

通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解

初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如

x x0时y y0y y0

一般写成

y x x0 y0y x x0 y0

特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

如求微分方程y f ( x y)满足初始条件y x x y 的解的问题记为

y f (x, y)

y x x0y 0

积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线

例3验证函数

x

1cos

kt

2 sin

kt

是微分方程 d

2x

2

x0

的解C C

dt 2

k

解求所给函数的导数

dx

kC1 sin kt kC2 coskt dt

d 2x2

C1cos2sin

kt k

2(C

1

cos sin

kt

)

dt2k kt k C2kt C2

将d2 x

及 x 的表达式代入所给方程得

dt2

k

2(1cos

kt

2sin

kt

)

k

2(1

cos

kt

2sin

kt

)0

C C C C

这表明函数x C1cos kt C2sin kt满足方程 d

2 x k2 x

0因此所给函数是所给方程的解

dt 2

例 4 已知函数x C cos kt C sin kt ( k0) 是微分方程 d

2 x

2x0 的通解求满足初始

k

12

dt2

条件

x|t 0 A x|t 00的特解