4.1.3 模糊关系与模糊矩阵(1)

R {(( x, y), R ( x, y)) | ( x, y) X Y , R ( x, y) [0,1]}
若论域 X×Y是有限集，（普通）模糊关系 可以表示为（ 0-1）模糊矩阵，也可用图表 法来表示
R [rij ], rij R ( xi , yi )
4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(交，并，补运算)
【例】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算
0.8 R S 0.9 0.9 0.4 R S 0 0.3
1 0.8 1 0 0.4 0
0.7 0.2 0 0.9 0.3 0.5 0.7 , R 1 0.2 1 1 0.1 0 0.3 0.2 0.8 0.8 0.1 0.6 0.6 1 0.1 0.4 0 0 , S 0.1 0.6 0.5 0.3 0.7 1 0.2 0.5 0.7 0.5 0.9
1 0 1 0 0 R 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1
4.1.3.2 模糊关系

模糊关系 && 普通关系
学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各
项均以20分为满分，比赛结果如表所示。
若我们用20分除各分数，得到的数值作为“优”的 隶属函数，可求出甲、乙、丙与“成绩优”的模糊 关系为：
R (1 rij ) nm 分别称此三式为模糊矩阵R和S的并、交运算及模糊 矩阵R的求补运算。
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(交，并，补运算)
【例】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算
0.8 1 0.1 0.7 0.4 0 0.9 0.6 R 0 0.8 0 0 , S 0.9 0.4 0.5 0.7 0.9 1 0.7 0.8 0.3 0 0.8 0.5
学生 甲 乙 丙 唱歌 18 16 19 跳舞 14 18 10 乐器 19 12 15 小品 13 19 12 绘画 15 11 18
4.1.3.2 模糊关系

模糊关系 && 普通关系
学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各
项均以20分为满分，比赛结果如表所示。
若令18分以上为优，可写出A到B的普通关系为： （0-1矩阵形式给出）
4.1.3.2 模糊关系

模糊关系的定义
定义模糊集 A 和 B 的直积 AB 的一个模糊子集 R 称为 A 到B的二元模糊关系，其序偶(a,b)的隶属度为 R (a, b) 若论域为n个集合的直积，则称
R A1 A2 An
为n元模糊关系 模糊集的直积运算法则与普通集合的直积运算相同。
0, x y R ( x, y ) 当x-y=10时， 100 －1 （ 1 ( x y)2 ） , x y R(x,y)=0.5
4.1.3.2 模糊关系

模糊关系 && 普通关系
例 2 ：设 X 为横轴， Y 为纵轴，直积 X×Y 是整 个平面，其上的模糊关系 R=“x 远大于 y” ，怎 么表示？
4.1.3.1 普通关系
4.1.3.2 模糊关系 4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示
4.1.3.4 模糊关系的运算 4.1.3.5 模糊向量
4.1.3.1 普通关系

常见的普通关系
父子关系 弟兄关系 朋友关系 大小关系
4.1.3.1 普通关系

普通关系的定义
普通关系是用数学方法来描述普通集合中的元素 之间有无关联。 普通关系的定义：集合A和B的直积AB的一个 子集R，称作A到B有二元关系，简称关系 直积（笛卡尔积） 由两个集合U与V的各自元素uU及vV构成的序偶 （u，v）的集合，称为U与V的直积。(笛卡尔积)
4.1.3 模糊关系与模糊矩阵
4.1.3.1 普通关系 4.1.2.2 模糊关系
4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示
4.1.2.4 模糊关系的运算
4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示

模糊关系的表示
若论域X×Y是连续或无限的，则该论域上 的关系不能用矩阵来表示，通常用隶属函 数来表示
智能控制
4. 模糊数学与模糊控制
4.1.3 模糊关系与模糊矩阵
上海大学自动化系---杜鑫
1
4.1.3 模糊关系与模糊矩阵
4.1.3.1 普通关系
4.1.3.2 模糊关系 4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示
4.1.3.4 模糊关系的运算 4.1.3.5 模糊向量
4.1.3 模糊关系与模糊矩阵
若我们用20分除各分数，得到的数值作为“优”的 隶属函数，可求出甲、乙、丙与“成绩优”的模糊 关系为（以模糊矩阵形式给出）：
0.9 0.7 0.95 0.65 0.75 R 0 . 8 0 . 9 0 . 6 0 . 95 0 . 55 0.95 0.5 0.75 0.6 0.9
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(截阵)
定义为 R {( x, y) | R ( x, y ) R}
0 0.3 0.8 1 例：给定模糊矩阵 R 0.5 1 0.3 0.9 1 0.2 0.6 0.7
则：
R0.8 {( x, y) | R ( x, y ) 0.8} {( x1 , y2 ), ( x1 , y3 ), ( x2 , y2 ), ( x2 , y4 ), ( x3 , y1 )}
X=2
R2=
0.9 0.2 0.5 0.7
0.1 0.3 0.6 0.2
R3（2，a）= max(min(0.4,0.9),……min(0.9,0.7))
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(合成)
1 2 3
0.4 0.2 0.8 0.9
y1 y2 y3 y4
X>Y
X>>Y
4.1.3 模糊关系与模糊矩阵
4.1.3.1 普通关系 4.1.2.2 模糊关系
4.1.2.3 模糊关系的矩阵表示
4.1.2.4 模糊关系的运算
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(交，并，补运算)
对任意模糊矩阵R, S , R (rij ) nm , S ( sij ) nm，则 R R S (rij sij ) nm , S (rij sij ) nm ,
唱歌 甲 乙 丙 0． 9 0． 8 0．95 跳舞 0． 7 0． 9 0． 5 乐器 0．95 0． 6 0．75 小品 0．65 0．95 0． 6 绘画 0．75 0．55 0． 9
源自文库
4.1.3.2 模糊关系

模糊关系 && 普通关系
学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各
项均以20分为满分，比赛结果如表所示。
0 1 1 R 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0.1 0.3 R 0.5 0.7 1 0 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0 0 0 0.3 0.1 0 0 0.5 0.3 0.1 0 0 0 0
j 1 m
模糊矩阵Q与R的合成Q R又称Q对R的模糊乘积， 或称模糊矩阵的乘法。
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(合成)
运算规则：按矩阵运算规则

元素相乘时，隶属度“取小”；(MIN) 元素相加时，隶属度“取大”。(MAX)
S Q R
即：sik max min qij , rjk qik rkj q12 r11 r12 ，R q22 r r 21 22 q11 r11 q12 r21 则： Q R ~ q21 r11 q22 r21 q11 若Q q21
0, x y R ( x, y ) 100 －1 （ 1 ( x y)2 ） , x y
当x-y=1时，
R(x,y)=0.0099
4.1.3.2 模糊关系

模糊关系 && 普通关系
例 2 ：设 X 为横轴， Y 为纵轴，直积 X×Y 是整 个平面，其上的模糊关系 R=“x 远大于 y” ，怎 么表示？
R0.8
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(合成)
在日常生活中，两个单纯关系的组合， 可以构一种
新的合成关系。例如，有u,v,w 三个人，若u是v的妹 妹，而 v又是w 的丈夫，则 与 就是一种新的关系， 即姑嫂关系。用关系式表示的话,可写作姑嫂=兄妹* 夫妻,其中是*合成运算符
4.1.3.2 模糊关系

模糊关系 && 普通关系
例1： 设X为横轴，Y为纵轴，直积X×Y是什 么？其上的普通关系x>y是什么？
Y Y=X R:X>Y
0
X
4.1.3.2 模糊关系

模糊关系 && 普通关系
例 2 ：设 X 为横轴， Y 为纵轴，直积 X×Y 是整 个平面，其上的模糊关系 R=“x 远大于 y” ，怎 么表示？

模糊矩阵
模糊矩阵
当论域A, B均为有限集时，模糊关系 R 可用模糊矩阵R表示。
~
设A {x1 ,..., xn }, B { y1 ,..., ym }，模糊矩阵R 的元素rij 表示论域A中第i个元素xi 与论域Y中 的第j个元素y j 对于模糊关系 R 的隶属程度，
~
即 R ( xi , y j ) rij，rij [0,1]。
0, x y 当 x-y=100 时， R ( x, y ) 100 －1 （ R(x,y)=0.99 1 ( x y)2 ） , x y
4.1.3.2 模糊关系

模糊关系 && 普通关系
学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各
项均以20分为满分，比赛结果如表所示。
U V u , v u U , v V


4.1.3 模糊关系与模糊矩阵
4.1.3.1 普通关系 4.1.3.2 模糊关系
4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示
4.1.3.4 模糊关系的运算
4.1.3.2 模糊关系

常见的模糊关系
长的像 大的多 爱之深 恨之切
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(合成)
例： R1=“x与y相关”
R2=“y与z相关” X={1，2，3}，Y={y1,y2,y3,y4},Z={a,b}
Z=a
R1=
0.1 0.3 0.5 0.7 0.4 0.2 0.8 0.9 0 . 6 0 . 8 0 . 3 0 . 2
0.9 0.2 0.5 0.7 a b
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(合成)
设Q (qij ) nm , R (rjk ) ml 是两个模糊矩阵，它们的合成 Q R是一个n行l列的模糊矩阵S，S的第i行第k列的元素 sik 等于Q的第i行元素与R的第k 列对应元素两两先取较 小者，然后再在所得结果中取较大者，即 sik (qij rjk ),1 i n,1 k l
~
4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示

模糊矩阵
【例】子女和父母“相像”的关系可以有以下的模糊矩 阵表示：
父
母
4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示

一般关系矩阵 vs 模糊关系矩阵
[例] 设X=Y={1,2,3,4,5,6}, X×Y中的X>Y的一般关系以及
X>>Y的模糊关系可分别表示为：
4.1.2.4 模糊关系的运算

模糊矩阵的运算(合成)
模糊关系合成是指，有第一个集合和第二个集合之 间的模糊关系及第二个集合和第三个集合之间的模 糊关系得到第一个集合和第三个集合之间的模糊关 系的一种运算
模糊关系的合成，因使用的运算不同而有各种定义，
我们这里介绍最为常有的max-min合成法