补形法在立体几何中的应用

补形法在立体几何中的应用

李远国

在立体几何中,有许多题如果采用原来的几何体去求解,有时显得十分繁难。但根据问题的已知条件及证题需要,合理地将原来的几何体适当地向外延伸、补加、移位,使之扩展为一个特殊、简单、完整且特征较为熟悉的几何体,再利用所得新的几何体求解,这种方法叫补形法。补形法是解立几题的一种重要的思想方法,它不仅能缩短从已知到未知的探求过程,起到化难为易、驭繁就简的作用,而且能培养学生丰富思维能力,促进创造性思维的发展。其基本策略归纳如下。

一、补成正方体或长方体

例1 正方形ABCD 及ADEF 所在平面互相垂直,求AC 和DF 所成的角。

解:如图,将图形补成正方形ABCD —FPQE, ∵PC ∥FD,

∴∠ACP 为AC 和DF 所成的角. 易知∠ACP=60°,

∴AC 和DF 所成角为60°。

例2 过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD,设AB=PA,求平面PAB 和平面PCD 所成的二面角的大小。 解:,将图形补成正方体ABCD —PQMN,

F

P

Q

E

A

B

C

D

∵QP ⊥AP QP ⊥PD,

∴∠APD 为面PAB 和面PCD 所成的二面角的平面角。 ∵∠APD=45°。 故所求的二面角为45°。

例3 正四面体S ―ABC 的棱长为2,求 (1)SA 和BC 的距离，

(2)正四面体S ―ABC 外接球半径R 。

解:,将正四面体补成正方体APCQ ——MBNS,则正方体棱长为1。 (1)SA 和BC 距离就是平面SA 与平面BC 间距离,显然是1。 (2)正四面体外接球,也就是正方体的外接球。球的直径2R 是正方体对角线长,

2R 3∴=,故

3

2R =

。

例4:在三棱锥P ―ABC 中，三组相对棱相等,且分别为13、14、15,求其体积。

解:因为长方体对面不平行的对角线恰好可组成对棱相等的三棱锥,故将三棱锥补成长方体,。 设长方体三棱分别为a 、b 、c

M

B

N

S

A

P

C

Q

则2

22

2

2

22

2

2

13

1415

a

b b

c c a +=+=+=

解得a b c ===4A BCD

V V V -∴=-三棱锥长方体

11

432

1

3abc abc

abc =-⨯⨯==

评注：对棱长全相等的正四面体通常把它补成正方体。若是相对棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体。

二、台体补锥体

例5:正三棱台ABC-A ′B ′C ′侧面与底面成45°,求侧棱与底面所成角的正切。

解:将图形补成正三棱锥S ABC, 设AB 中点E,△ABC 中心o,

∠SEO 为侧面与底面所成角的平面角=45°, 令SO=h,则OE=h

Rt △AEO 中, 2sin 30

o

OE OA h

=

=

Rt △sAO 中,

1

tgSAO =OA 2OE =

故侧棱与底面所成角正切为1

2。

三、锥体补成柱体

B

P A

C

例6 如图,三棱锥P-ABC 中,已知PA ⊥BC,PA=BC=1,PA 、BC 的公垂线ED=h.

求证:三棱锥P —ABC 的体积2

1V h

61=

解:以ΔABC 为底面,以PA 为侧棱补成 三棱柱ABC —PB ′C ′.

2

EBC

2

1=1=h 211==h

36V S

1V V 1∴三棱柱三棱锥三棱柱

例7在四棱锥A ′—ABCD 中,A ′A ⊥底面ABCD,A 〃=a,底面ABCD 是边长为a 的正方形，求过A 垂直于A ′C 的截面的面积. 解:,将四棱锥A ′―ABCD 补成正方体ABCD ―A ′B ′C ′D ′, 易证A ′C ⊥截面AB ′C,且A ′在截面上的射影R 是正△AB ′D ′的中心.

∴过A

垂直于A ′C 的原四棱锥的截面是四边形

APRQ. 而△APR ∽AB

′O ′,

22

AB D 2APR AB O 2

APRQ APR

13==.312

3==6S

S

S S 2S

a ''

''∴，所求截面面积

四、补相同的几何体

例8

长方体1111D C B A ABCD -中，AB=21

，AD=1，2

AA 1=，求异面

直线11C A 与1BD 所成的角。

解：如图5，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面1

BC 的长方体F B 1，连结BF ，则∠BF D 1为异面直线11C A 与1BD 所成的角，而

21

AB =

，AD=1，2AA 1=。

连结F D 1，在△BF D 1中，BF=

2

5，

221

BD 1=

，5F D 1=，由余弦定理得35

105BF D cos 1=

∠，故11C A 与1BD 所成角为35

105arccos

。 评注：补相同几何体之目的在于平移相关直线。

例9斜三棱柱的一个侧面的面积等于s,这个侧面与它所对的棱的距离等a 。

求证：这个棱柱的体积等于1sa

2.

A ACC s B

B A AC

C a ABC A B C ADBC A

D B C 18

1

=sa =sa

2V V ''''''''''''∴四棱柱三棱柱解：设侧面的面积为，侧棱到侧面的距离为。将三棱柱—拼成四棱柱—，如图则

五、对相应的平面图形补形

平面图形翻折成空间图形问题，有时不容易画好直观图，可以先对平面图形作必要的补形，如补成矩形、正方形等，使翻折图形理想化（成为直棱柱、正棱柱等）。