函数极限性质及运算法则习题集

1 a x 0
lim f (x) lim x2 0
x0
x0
1a 0
lim f (x) lim(1 a) 1 a
x0
x0
a 1
4. . 求
解: x = 1 时
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
lim x2 5x 4 12 51 4 0
x1 2x 3
21 3
5.求
解:
时, 分母
x x0
六、复合函数极限
若 lim g(x) A,且g(x) A,lim f (x) B,则 lim f [g(x)] B
xx0
xA
xx0
七、性质理解举例
例1 利用函数极限的性质证明
sin x lim 1 x0 x
证明： 极限是在x 0情形下,因此是在x周围，假定在0 x 范围内
2
2
2
而OB 1, AC sin x, BD tan x sin x x tan x
cos x sin x 1, x (0, )
x
2
而 sin x 是偶函数 cos x sin x 1, x ( , 0)
x
x
2
而limcos x 1, lim sin x 1
x0
x0因为在极限的计算中经常被 使用，当然，在使用时要注意灵活性，如
二、局部保序性
1、定理： 若 lim f (x) A, lim g(x) B,且A B,则 0,
xx0
xx0
使得当x O (x0 ) \{x0}时,有f (x) g(x)
2、※证明： 取 A B 0(Q A B)
2
Q
lim
xx0
f
(x)
A,1
0,使当x O1 (x0 ) \{x0}时,
函数极限性质及运算法则
一、局部有界性 二、局部保序性 三、极限不等式 四、夹逼定理 五、四则运算法则 六、复合函数极限
一、局部有界性
1、局部有界： 对函数y f (x),若有O (x0 ) \ {x0}, M 0, 使得
对xO (x0) \{x0},均有 f (x) M,则称f (x)在点x0局部有界
x O (x) \{x}时,有f (x) g(x),与已知矛盾,故结论成立
四、夹逼定理
1、定理： 设有0 0, 使得当x O0 (x0 ) \ {x0}时有
g(x) f (x) h(x),且有 lim g(x) lim h(x) A,
xx0
xx0
则有 lim f (x) A xx0
2、※证明： 对 0
lim(u 1) 2
u 1
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
8. 计算下列复合函数的极限
x
1 x
1
当x
0时, 有1
x
x
1 x
1
因此有
lim
x0
x
1 x
1
所以有
lim
x0
x
1 x
1
例3 证明lim f (x) 0的充要条件是 lim f (x) 0
xX
xX
证明：必要性 Q lim f (x) 0,x X f (x) 0 xX
lim f (x) y f (x) lim y 0
lim x 1 x0 sin x
lim sin u(x) 1 u(x)0 u(x)
例2
求极限
lim
x0
x
1 x
,
其中
1 x
是
1 x
的取整函数
解：对于取整函数有结论 对x R,有x 1 [x] x
当x
0时, 有
1 x
1
1 x
1 x
当x
0时,
有1
x
x
1 x
1
因此有
lim
x0
分子
分子分母同除以
x2 , 则
原式
lim
4
3
1 x
9
1 x2
x
5
2
1 x
1 x2
“ 抓大头”
6. 求
解: 令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
7.求
解: 方法 1
令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 方法 2
xx0
xx0
2. lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B
xx0
xx0
xx0
3. lim f (x) • g(x) lim f (x) • lim g(x) AB
xx0
xx0
xx0
4.若B 0,则有 lim
f (x)
lim
x x0
f (x)
A
xx0 g(x) lim g(x) B
lim (1 1 )y1 • (1 1 )
y y 1
y 1
e
lim(1 1)x e
x
x
注：此极限结论也称为第二重要极限，在极限计算中也经常被使用，
它有如下的变形形式。
1
lim(1 x)x e
x0
函数极限运算习题
1.
3
7
对x 类型，两个多项式之比的极限只与最高次项有关， 一般规律如下：
2. 解.
x0
y 1 x
y 1 x
lim 2y
y
lim 2y
y
t y
1
lim
t
2t
0
1
lim 2x 不存在 x0
(2)
1
lim ex
y 1 x
lim e y e0 1
x
y0
lim e (3)
lim
e
1 x2
x0
y 1 x2
y y
lim
y
1 ey
0
例5 证明
lim(1 1)x e
x
x
证明： 当x 时, 对x 1, n N ,使得n x n 1
有 f (x) A A B ,即A f (x) A
2
f (x) A A A B A B
2
2
又Q
lim
xx0
g(x)
B,2
0,使当x O2
(x0 )
\ {x0}时,
有 g(x) B A B ,即B g(x) B
2
g(x) B B A B A B
A g(x) f (x) h(x) A,即 f (x) A
lim f (x) A xx0
注:上述四性质对x x0 , x0 , , , 均成立, 教材用x X 统一表示
五、四则运算法则
若 lim f (x) A, lim g(x) B,则
xx0
xx0
1. lim Cf (x) C lim f (x) CA
lim (1 1 )n1 • lim (1 1 )1 e
n1 n 1
n1 n 1
而n x lim (1 1)x e
x
x
又当x 时,令y x,
则有x y
lim (1 1 )x lim (1 1 ) y lim ( y )y
x
x
y
y
y y 1
lim (1 1 )y y y 1
Q
lim
xx0
g(x)
A,1
0,使当x O1
(x0 )
\ {x0}时,
有 g(x) A ,即A g(x) A
又Q
lim
xx0
h(x)
A,2
0,使当x O2
(x0 )
\ {x0}时,
有 h(x) A ,即A h(x) A
令 min{0,1,2},则当x O (x0 ) \ {x0}时有
由题设知，分子必须是 x 的零次多项式
3. 判断 lim f (x)是否存在，其中 x0
x 1 x 0
f
(x)
0
x0
x 1 x 0
y
o
•o x
o
lim(x 1) 1
x0
lim f (x)
x0
lim f (x)不存在
x0
4.
设函数
f (x)
x2
x 0 在 x 0 时的极限存在，求 a.
使得当x O (x0 ) \{x0}时, 有f (x) 0(或 0)
三、极限不等式
若 lim f (x) A, lim g(x) B,且 0,使当
xx0
xx0
x O (x0 ) \{x0}时,有f (x) g(x),则有A B
证明：（用反证法）
若有A B,则依局部保序性知, 0,使得当
1 1 1 1 1 1 , n1 x n
1
1 n n 1
1
1 x
x
1
1 n
n1
而lim(1 1)n1 lim(1 1)n (1 1)
n
n
n
n
n
lim(1 1)n • lim(1 1) e
n
n
n
n
lim(1 1 )n lim(1 1 )n1 • (1 1 )1
n n 1 n n 1
n 1
xX
y0
充分性
Q f (x) f (x) f (x) , lim f (x) 0 xX
lim f (x) 0 xX
例4 判别下列极限是否存在，如果存在求出其值
1
(1) lim 2x x0
1
(2) lim ex x
(3)
lim
e
1 x2
x0
1
解：（1） Q lim 2x x0
1
lim 2 x
2
2
令 min{1,2},则当x O (x0 ) \ {x0}时有
g(x) A B f (x) 2
3、推论1： 若 lim f (x) A B(或 B),则 0,使得 xx0
当x O (x0 ) \{x0}时, 有f (x) B(或 B)
4、推论2（局部保号性）： 若 lim f (x) A 0(或 0),则 0, xx0
2 将要证明的问题放在单位圆中，通过单位圆中有关图形的面积的大小 关系，直观地得到证明所需要的不等式
sin x x tan x,当0 x 时
2
如右图所示，在单位圆中
当0 x 时有
2
SOBC S扇形OBC SOBD
x
即 1 OB • AC 1 OB2 • x 1 OB • BD
2、局部有界性：
若 lim xx0
f
(x)
A, 则f
(x)在x0局部有界
※证明：
Q
lim
xx0
f
(x)
A
0,
0, x O (x0 ) \{x0},
有 f (x) A
取 1,则 0,使对xO (x0) \{x0},有 f (x) A 1,
即A 1 f (x) A 1,所以f (x)局部有界