多期货交叉套期保值策略研究

多期货交叉套期保值策略
研究
Prepared on 22 November 2020
多期货交叉套期保值策略研究
朱时麟1，王东2
（1. 北京大学物理学院； 2. 北京大学光华管理学院，北京 100871）
Study on the Cross Hedging with Futures Contracts
Zhu Shilin1，Wang Dong2
(1. School of Physics; 2. Guanghua School of Management; Peking University, Beijing 100871)
Abstract Cross hedging is of great important to financial risk management. In this paper, a least second moment method
for cross hedge using multi-futures contracts was proposed. And the efficiency of cross hedging with multi-futures was
analyzed.
Keywords Futures, Cross hedging, Financial Engineering
摘要：运用期货套期保值技术来规避风险，对市场参与者有重要意义。

本文提出了多期货交叉套期保值的最小
二阶矩方法，分析了运用多种期货工具进行交叉套期保值技术，并实证研究了多期货交叉套期保值的有效性。

关键词：期货交叉套期保值金融工程
1.引言
期货作为重要的金融衍生工具，在风险管理中具有重要的作用。

在金融实践中，为了降低或消除现货的风险，交易者经常利用期货合约来进行对冲或套期保值。

如果利用方差作为衡量风险的尺度，那么通过适当地设计期货合约的种类与数量，可以使现货-期货组成的资产组合风险最小化，这就是利用期货进行套期保值的基本原理。

自80年代以来出现了很多关于期货套期保值的工作，Leland L. Johnson在1960年系统的讨论了期货市场套期保值者与投机者的操作策略[1]；1988年Stephen G. Cecchitti等人对最佳套期保值系数的估计法做了讨论，指出传统的套期保值法只对风险作了考虑，没有考虑最大化效用的问题，因此综合了效用的因素后重新论述了套期保值的策略问题[2]；文[3]，[4]也综合考虑了最大化效用的问题。

此外，针对不同市场的数据进行关于对冲的实证分析也是一个研究方向[5]-[9]。

在国内，最近也出现了有关套期保值方面的工作[10]—[14]。

在这些研究中，出现了有关组合套期保值的理论，就是用多种期货对单一品种现货进行对冲。

一般而言，代数推导或统计回归是这种问题的两种常用方法。

在本文中，我们首先简要回顾一下期货套期保值的基本方法，然后采用不同的方法推导和讨论一种套期保值的新方法。

我们的讨论不是在由市场上交易的期货合约组成的线性空间中展开，而是试图做一个类似于“坐标变换”的线性变换，在变换后套期保值比率和效率将有比较简单的表达形式。

最后，我们将对中国市场上交易的农产品期货进行实证研究。

2. 多期货交叉套期保值
单一期货套期保值方法
为了讨论的便利，我们假设已经签订了一份现货合约，价值为S ，到期日价值变化为S δ。

现在为了减少这一头寸暴露的风险，我们再签订一份期货合约。

假设签订的期货合约数量与现货合约的数量之比为h ，期货合约的单位价值为F ，在到期日价值变化为F δ。

那么，在现货合约的到期日，我们手中的资产组合价值总变动为
P h F S δδδ=- (1)
其方差为
222()2F F S S Var P h h δσρσσσ=-+ (2)
式中F σ和S σ分别代表期货合约与现货合约价格变动的标准差。

要使对冲后的风险极小化，就要使(2) 的值最小。

不难看出，通过简单的配方法就可以解出这一最小值。

当S
F
h σρσ=时，（2）的值达到最小。

最小值为2(1)S ρσ-。

S
F
h σρ
σ*=为最佳对冲比率，而2(1)S ρσ-表示经过对冲之后的剩余风险。

从这一表达式中可以看出，当期货与现货合约之间的相关系数越大时，所剩余的风险就越小。

如果期货合约与
现货合约的相关系数为1,那么在经过对冲之后所有的风险都被消除。

因此，期货合约与现货合约之间的相关系数ρ是衡量套期保值策略效果的指标。

多期货套期保值方法
在讨论了单一期货的套期保值方法之后，下面我们将对上述套期保值的方法进行扩展，即研究利用多种期货合约对一种现货合约进行对冲的方法。

此时，我们仍旧假设签订一份现货合约，价值为S ，到期日价格变化为S δ。

现在我们利用n 种期货合约进行套期保值，每种期货合约与现货合约的数量之比为12,,n h h h …，期货合约的单位价值为12,,n F F F …，到期日价值变动为12,,n F F F δδδ…。

类似地，我们手中的资产组合在到期日的价格变动为
1n
i i i P h F S δδδ==-∑ （3）
其方差为
2
22
1
1
()2n
n
i
i
i i i S i j ij i j S i i i j
Var P h h h h δσρσσρσσσ==≠=-++∑∑∑ （4）
其中ij ρ为第i 种与第j 种期货合约价值之间的相关系数，i ρ为第i 种期货合约与现货合约之间的相关系数，而i σ代表第i 种期货合约的标准差，S σ为现货合约价格变化的标准差。

{[()][()]}
i i j j ij i j
E F E F F E F δδδδρσσ--=
（5）
{[()][()]}
i i i i S
E F E F S E S δδδδρσσ--=
（6）
将上式写成矩阵形式，有
2
()2T T S S Var P H CH H b δσσ=-+ （7）
这里H 为一列阵，i i i H h σ=，而b 代表每种期货合约与现货合约之间的相关关系，即
12n b ρρρ⎛⎫ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
而C 为n 种期货合约价格之间的协方差矩阵
1111
n n nn C ρρρρ⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
由协方差矩阵的定义知矩阵C 为非负定对称矩阵，因此存在正交矩阵T ，使'T CT 为对角矩阵，即
1
'
00
n T CT λλ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
（8） 其中0i λ≥(1,2,)i n =为协方差矩阵的第i 个特征值。

令'x T H =，则H Tx =。

那么资产组合
的方差可以改写为
''''2
()()2S S Var P x T CT x xT b δσσ=-+ （9）
令'u T b =，由于'T CT 式对角矩阵，因此方差可以写成
2
2
1
1
()2n
n
i i i i S S i i Var P x x u δλσσ===-+∑∑
2
2
21
1
()(1)n
n
i
i i i S
S
i i i
i
u u x λσσλλ===-+-∑∑
（10）
从上式可以看出，此时我们又得到了类似于利用单一期货合约对冲现货合约时的情形。

由于
0i λ≥(1,2,)i n =，故方差最小时应该有i
i S
i
u x σλ=，剩余风险为2
21
(1)n
i S
i i
u σλ=-∑。

与单一种类期
货合约对冲时的情形进行类比可知，2
1
n
i i i
u λ=∑
相当于等效的期货-现货相关系数ρ的平方，这个值
越大，套期保值策略就越成功。

在以上的分析中，我们有必要深入讨论一下x 和u 的经济含义，因为它们所表示的意义并不像最初引入的量h ，H 和b 那样明显。

我们已经知道h 列阵中的第i 个元素表示第i 种期货合
约的相对数量，H表示由h的元素乘以对应的标准差得到的列阵，而列阵x是由H作线性变换'
所得到。

这一变换相当于一个“坐标变换”，也就是说我们不再以选定的n种期货合约x T H
作为基准，而是将基准换成n种新的“合约”，其中每一份合约都是原先的n种合约的某种组合。

换句话说，我们设计出n种不同的资产组合方案，将原先的n种期货合约分别组合成n种新合约，再在这n种新合约所张成的线性空间讨论方差最小的问题。

而u表示这n种新合约与现货合约之间的相关系数。

在下面的实证分析中，我们将通过比较单一品种期货合约与现货合约的相关系数与利用多种合约对冲的等效相关系数的大小来研究套期保值策略的情况。

3. 实证数据分析
为了进一步考察多期货套期保值方法，下面我们将结合实证研究来进一步阐明运用多期货进行交叉套期保值理论。

假设现在有一份小麦现货的现货合约需要进行套期保值，可能的选择有：（1）利用单一的小麦期货和约进行对冲；（2）同时利用多种农产品期货进行对冲。

考虑到数据的可获得性，我们选用硬质小麦、强筋小麦、玉米，黄大豆1号（以下简称为大豆）和棉花五种期货进行操作。

其中硬质小麦、强筋小麦和棉花的数据取自郑州商品交易所，玉米和大豆数据取自大连商品交易所，小麦现货价格为北京地区普通硬质白麦进厂价格，同样取自郑州商品交易所。

所有数据的时间跨度为2004年10月8日至2005年9月20日。

以下分别用1，2，3，4，5来对硬质小麦，强筋小麦，棉花，玉米和大豆五种期货进行编号。

下面假设我们分别希望选用1，2，3，4，5种期货合约进行套期保值，对每一种情况，我们都给出不同组合下的不同情况。

在以下的分析中，（123）就表示用编号为1，2，3的三种期货进行对冲。

下表总结了包括期货与现货在内的每种商品的标准差以及它们之间的相关系数。

现货价格和期货价格的走势图见图1。

图1 小麦现货和硬质小麦、强筋小麦、玉米、大豆和棉花五种期货的价格走势图
其中，由于棉花的价格远高出其余商品，故这一数据是在除以10以后作图的。

表1 各种期货与现货的标准差以及它们之间的相关系数
标准差与现货
相关系
数与期货1
相关系数
与期货2
相关系数
与期货3
相关系数
与期货4
相关系数
与期货5
相关系数
现货
期货
1
期货
2
期货
3
期货
4
期货
5
表1 给出了研究中使用的多种期货与现货的标准差以及它们之间的相关系数的数据分析结果。

为了便于表示，实证研究的结果采用表格的形式，对不同组合下的不同情况进行总结。

下表中 代表在某一种组合下协方差矩阵的特征值组成的数组，u与x的定义与上文相同，h表
示某个组合中每种期货与现货数量的比值（正值表示与现货合约操作相同，负值表示相反）。

定义η为组合的效率，η=2
max ρ。

其中max ρ是该组合通过适当设计每种期货合约的数量所能达到
的最大等效相关系数。

在组合中只有一种期货时，我们只给出按照第二部分所示的公式
S
F
h σρ
σ*=给出的h *值以及η值。

表2 不同期货合约的组合所对应的特征值、对冲策略及效率
从上面的实证分析可以看出，在利用多种期货合约进行套期保值并不像利用单一期货时那样，选择与现货相关系数最大的期货合约就能够得到最佳的套期保值结果，哪几种期货合约能
够达到最佳效果要视回归情况而定。

但是，在已有的组合里任意添加一种新的期货都可以增加相关系数的最大值，而且利用全部期货效果最好。

这一点在一般情形下也成立。

另外，我们还可以用其他的方法来得到最佳套期保值策略与效率。

根据[14]中的论述，可以等价的用最小二乘回归的方法来描述套期保值策略与效率。

下面我们用所有五种期货合约的价格来对现货价格进行回归。

回归结果及相关分析如下：
123451.21380.24140.03250.21120.1723y x x x x x =+++-
其中y 表示现货的价格，i x (1,2,3,4,5)i =分别表示硬质小麦、强筋小麦、棉花、玉米和大豆期货的价格。

从回归结果看，回归2R 为，恰为套期保值的效率；这也证明了在一般的情形下，增加期货的品种总能增加效率。

从统计显着性上看，123.29t =，2 5.78t =，37.66t =，
4 2.54t =，58.27t =-。

因此从解释能力上看，解释现货价格变化的能力从强到弱依次为硬质小
麦、大豆、棉花、强筋小麦和玉米。

但是，这五种期货在统计意义上都很显着，最大的p 值仅为%，这也是为什么能够得到较高效率的原因。

从表2可以看出，最佳策略为利用全部五种期货进项套期保值操作。

具体的策略为：买入硬质小麦、强筋小麦、棉花、玉米四种期货，其数量与现货数量之比分别为，，，；卖出大豆期货，其数量与现货数量之比为。

此时剩余风险为。

4. 结论
本文对运用期货合约进行套期保值策略进行了推广，发展了利用多种期货合约进行交叉对冲风险的方法。

通过实证分析，我们看到如果从剩余风险来衡量，利用多种期货进行套期保值会优于用单一期货合约的策略，而且通过增加期货合约的品种，所能够达到的最小风险一般是下降的。

另外，虽然在固定期货合约数量的前提下，选择与现货相关系数最高的几种期货并不能保证得到的相关系数最大，但是却可以保证此时的剩余风险要小于用与现货相关系数最大的
单一品种期货进行操作时的剩余风险。

因此在一般情况下，选择与现货相关系数最高的几种期货就能够得到很好的结果。

参考文献
[1] The Theory of Hedging and Speculation in Commodity Futures, Leland L. Johnson, The Review of
Economic Studies, Vol. 27, pp 139-151
[2] Estimation of the Optimal Futures Hedge, Stephen G. Cecchitti, Robert E. Cumby, Stephen
Figlewski, The Review of Economics and Statistics, , , pp 623-630
[3] Hedging Long-Term Exposures with Multiple Short-Term Futures Contracts, Anthony Neuberger,
The Review of Financial Studies, , , pp 429-459
[4] Mean-Variance Hedging in Continuous Time, Darrell Duffie, Henry R. Richardson, The Annals of
Applied Probability, , , pp 1-15
[5] The Hedging Performance of the New Futures Markets, Louis H. Ederington, The Journal of
Finance, , , pp 157-170
[6] Hedging With Futures Contracts in a Deregulated Electricity Industry, Eva Tanlapco, Jacques
Lawarree and Chen–Ching Liu, IEEE Transactions on Power Systems, , , pp577-581
[7] The Economics of Electricity Hedging and a Proposed Modification for the Futures Contracts for
Electricity, Robert A. Collins IEEE Transactions on Power Systems, , , pp100-107
[8] Bivariate Garch Estimation of the Optimal Commodity Futures Hedge, Richard T. Baillie, Robert
J. Myers, Journal of Applied Econometrics, , , pp109-124
[9] Optimal Hedging under Price and Quantity Uncertainty: The Case of a Cocoa Producer, Jacques
Rolfo, The Journal of Political Economy, , , pp110-116
[10] 期货套期保值理论与实证研究（1），吴冲锋，钱宏伟，吴文峰，系统工程理论方法应
用，第7卷第4期，21-28
[11] 组合套期保值策略及其理论研究，马永开，唐小我，预测，1999年第4期 48-51
[12] 组合套期保值的投影分析，林孝贵，预测，2001年第5期，58-60
[13] 套期保值的最小二阶矩方法，林孝贵，应用概率统计第18卷第3期，239-243
[14] 期货套期保值的效率分析，林孝贵，广西工学院学报，第14卷第3期，21-25
[15] 王东. 中国资本市场风险管理, 北京大学出版社, 2004年10月, 41-60.
[16] 马永开,唐小我.组合套期保值策略及其理论研究[J].预测,1999,(4):48-51.
[17] 张尧庭,方开泰.多元统计分析引论[M].北京:科学出版社,.。