[VIP专享]有理数与无理数

谈谈有理数与无理数

实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育

阶段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理

数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：

1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；

m

2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且

n

n≠0。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数

不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：

m

当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）n

m

时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小n

数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）

2无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，、e、π等

等都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四

2

则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。

2

根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处

理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：

1、任何有理数≠任何无理数；

2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）

都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311

有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”

这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数

m

和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的

n

等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍几种常见的初

等方法，主要适用于前三类无理数的判定。

一、利用整数的性质

整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。例1 求证：是无理数。

6证明：反证法。设是有理数，则= （为既约分数）。将两边平66n m n

m 方并整理，得

6n 2=m 2， （1）

由于6n 2是偶数，因此m 2是偶数，从而m 是偶数，设m=2k ，代入（1）式，得

6n 2=4k 2， （2）

化简得3n 2=2k 2。同理3n 2也是偶数，而3是奇数，所以n 是偶数。这与原假设为既约分数矛盾。故是无理数。n m 6请证明：+是无理数。

23二、利用算术基本定理

算术基本定理是数论中的重要定理，它不仅在数论而且在其它数学问题中都有着广泛的应用。有时它也被称作整数的唯一分解定理，内容如下：

对于任意的自然数N （N ≠0，1），它总可以唯一地分解成一些质数相乘的形式。即N=p 1p 2…p s ，其中p 1、p 2、…、p s 都是质数，并且p 1≤p 2≤…≤p s 。

例2 求证：是无理数。

2证明：反证法。设是有理数，则= （其中m 和n 都是自然数）。22n

m 将两边平方并整理，得

2n 2=m 2。 （1）

由于m 和n 都是自然数，则根据算术基本定理，它们都可以分解为质数的乘积，设m=p 1p 2…p s ，n=q 1q 2…q t

其中每一个p 和q 都是质数。代入（1）式，得

2（q 1q 2…q t ）2=（p 1p 2…p s ）2， （2）

由于2也是质数，故（2）式的左右两边均是一些质数的乘积，并且结果都是自然数，既然相等，那么左右两边质数个数应该相同。但这是不可能的，因为（2）式左边共有2t+1个质数，而右边却是2s 个质数，奇数不可能等偶数。说明我们假设是有理数是错误的。故是无理数。

22从以上的证明过程可以发现，2的作用就在于它是一个质数，这样可以推想：对于任意的质数p ，p 都是无理数。

与根式有关的无理数还有很多，基本上都有可以利用算术基本定理解决。下面的两个问题更具有一般性。

问题1 若n ，N 均是自然数（n ≠0，1），而且不是整数，则是无n N n N 理数。

问题2 幂函数y=（n ＞1的自然数），当x 取无理数时，y 值必为无理n x 数；而仅当x 表成既约正分数的分子和分母均是整数的n 次完全乘方数时，y 值才是有理数。

请证明：是无理数。

10例3 求证：log 221是无理数。证明：反证法。设log 221是有理数，即log 221=

（其中m 和n 都是自然n m 数）。由对数定义，得

=21，

n m

2两边n 次方，得

2m =21n ，由于21=3·7，则

2m =3n ·7n 。显然这个等式是不能成立的，因为2，3，7都是质数，这样等式左右两边出现的质因数不相同，这与算术基本定理矛盾。故log 221是无理数。

关于对数值的无理性有以下结果：设a ，b 均为正整数，并且其中之一包含的某个质因数不为另一个所包含，则log a b 是无理数。

三、利用整系数方程有理根的性质

在一元多项式方程的理论中，有一个关于整系数一元方程是否有有理根的重要定理，即

设一元k 次方程为

n 0x k +n 1x k-1+…+n k-1x+n k =0 （*）

其中n 0，n 1，…n k-1，n k 均是整数，这样的方程称为整系数方程。如果

n m （n ≠0）是方程（*）的一个有理数根，则

（1）m 一定是n k 的约数；

（2）n 一定是n 0的约数。

在利用这个定理判定实数α的无理性时，需有以下三个步骤：

（1）构造一个整系数多项式方程，使得α是它的根；

（2）求出n 0和n k 的所有因数，只有它们的组合才能是方程的有理根；

（3）检验这些组合是否为方程的根，于是或者方程没有有理数根，而α是方程的根，故α为无理数；或者方程有有理数根，但经比较这些有理根都与α不相等，从而α为无理数。

例4 求证：cos20°是无理数。

证明：讨论三角函数值的无理性时，三角函数公式起着非常重要的作用。首先注意到余弦函数的三倍角公式，即cos3θ=4cos 3θ-3cos θ，将

θ=20°代入公式，有