初中数学反证法

反证法

教学目标： ⑴ 了解间接证明的一种基本方法---------反证法

⑵ 了解反证法的思维过程，明确反证法的证题步骤

⑶ 培养学生用反证法进行推理的技能和应用意识

教学重难点：

⑴ 理解解反证法的思维过程

⑵ 明确反证法的证题步骤，能对反证法的假设进行正确的等价转化

新课教学：

回顾前面学习的综合法和分析法，引出问题继续研究数学命题的证明。

一、感知体验

1． 问题1已知：a 是整数，2能整除2

a 。试证：2能整除a

① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。已知中：说明2a 是偶数，则()22a m m N =∈

，此时)a m N =∈

② 反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可能结论自身有问题。

③ 若结论有问题，则“2不能整除a ”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理

引出反证法。

总结：在上题由“2不能整除a ”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而

说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。

2. 问题2 在同一平面内，两条直线,a b 都和直线c 垂直。求证：a 与b

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a 与b 相交”。

不妨设直线,a b 的交点为M ,,a b 与c 的交点分别为,P Q ,

如图所示，则00PMQ ∠>.

这样，MPQ ∆的内角和PMQ MPQ PQM =∠+∠+∠

000

9090180PMQ =∠++>

这与定理“三角形的内角和等于0180”相矛盾。说明假设不成立。

所以，直线a 与b 不相交，即a 与b 平行。

二、理论总结

1.反证法的思维过程及定义

2.反证法的证题步骤：

① 假设。假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化

② 归结矛盾。矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。

③ 否定假设，肯定结论。

三、实践巩固

1.

,0,q p p

=≠且,p q q =。 所以，222p q =。---------①

故2q 是偶数，q 也必然为偶数。

不妨设2q k =，代入①式，则有22

24p k =，

即 222p k =，

所以，p 也为偶数。 p 和q 都是偶数，它们有公约数2，这与,p q 互素相矛盾。

2. 已知：1234100a a a a +++>，求证：1234,,,a a a a 中，至少有一个数大于25.

四、课堂小结

1.反证法的思维过程。

2．反证法的证题步骤。

五、作业

课本67P ,习题3—4 ⑴ ⑵ ⑶