大转角弹性梁中性线方程的计算机模拟研究

大转角弹性梁中性线方程的计算机模拟研究

摘要：针对大转角情形提出计算机模拟算法，对大转角弹性梁形状变化进行模拟，避开了求解复杂二阶非线性微分方程的困难；通过给定梁的初始状态，把梁离散为较小的线段单元，并对每个单元进行受力分析，对其进行平动、转动的坐标修正，使得每次修正后的单元逐渐逼近真实位置，从而得到中性线方程。实践证明：在确定边界条件时，计算机模拟方法不仅收敛速度快、计算精度高，而且能适应各种复杂形状，易于在实际工程中推广。

关键词：弹性梁；中心线；计算机模拟；二分法

中图分类号：tp301文献标识码：a文章编号：1672-7800（2012）012-0028-03

0引言

研究背景：有一均匀的薄板状的弹性梁，不受力（包括重力）时状态为平板，左端水平地嵌入墙体内固定，设梁在墙外部分的中性线只会受力弯曲而其长度l不变。设中性线的左端点坐标为（0，0），纵坐标向下为正。梁有可能与地面（物理上光滑的水平面）接触。记中性线的右端点的纵坐标值y=h>0。图1为正视图，图中实线为梁的中性线，点划线满足y=h。设重力加速度为g>0，梁的线密度为d，梁在静态平衡时中性线满足公式：k=m/ei（k是梁的中性线的曲率，m是弯曲力矩，ei为梁的截面抗弯刚度）。

在工程实际中经常碰到的弹性梁问题，本文中对该弹性梁及环境

做了近似处理，把梁看成均匀的薄板，将地面看成物理上光滑的水平面，因此我们不用考虑梁与地面接触时，接触面的变化和接触力的应力场。在工程实际中，转角一般均很小，可以建立微分方程近似模型；大转角问题，情况比较复杂，一方面梁的重心寻找困难，另一方面二阶非线性方程求解困难，可考虑用计算机模拟的方法寻找梁的中性线方程。

1计算机模拟大转角情况

当a=24，h=1/4时，不能当作小转角问题处理。首先，建立弯矩平衡的方程不能再应用。当梁发生比较大的弯曲时，梁的重心也发生了比较大的移动。因此，弯矩的建立成了一个非常棘手的问题。同时，由于小角度假设在梁的抗弯强度较小的时候不再成立，于是必须考虑大角度情况，那么就需要求解微分方程，这是一个二阶的非线性微分方程，解析求解困难。

有限元法（fea）是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解。

2模型的建立

2.1梁和地面不发生接触时

（1）初始化。给弹性梁一个初始状态曲线，如：y=0（x∈[0，l]）（1）模拟以初始状态为起点，进行迭代循环，不断逼近真实的曲线。

（2）离散化。在梁上均匀选取n个节点ns（s=1，2，…，n），分成n-1段（单元），每段长度为l=ln-1。在模拟过程中，每个单元可以进行平动和转动来逼近真实曲线，但是每个单元的长度固定不变，且节点与节点之间连续。因为假设中，弹性梁只会受力弯曲而其长度不变。

（3）受力分析。在给定的状态下，可以求出任意一个节点ns的力矩m（s）为s以后的节点重力引起的力矩m1（s）。m（s）=m1（s）（2）

m1（s）= ∑nj=（s+1）gdln-1（xj-xs）（3）其中xj为第j个节点的横坐标。

（4）几何形状分析。已知节点ns的力矩m（s），就可以求出该点的曲率和半径：k=m（s）ei=gdlei ∑nj=（s+1）（xj-xs）n-1（4）r=1k（5）无量纲化后：k=kl=a∑nj=（s+1）（xj-xs）n-1（6）r=1kl=1k（7）（5）迭代过程（坐标修正）。以节点ns-1、ns为基准，修正节点ns+1的坐标，使得满足弹性梁在ns节点的曲率满足第（4）步的要求。修正如图2所示。

当节点取得足够密时，可以近似地认为ns的邻近节点ns-1，ns+1在过ns的曲线的曲率圆上，且过ns的切线可以近似用直线ns-1ns 代替，进而可以求得符合静态梁状态节点ns+1的新的点n’s+1。x’s+1=xs+l cos（θ+β）

y’s+1=ys+l sin（θ+β）（8）其中β=arctanys-ys-1xs-xs-1

（9）为切线和x轴的倾角。

（6）对每个节点做第（5）步所述的修正，循环多次，使得中性线的曲线不断地逼近真实曲线。

2.2梁和地面发生点接触情形

（1）初始化与（2）离散化过程与梁不与地面发生接触时相同。（2）受力分析。当梁和地面发生点接触时，梁不仅受到重力，还受到地面对梁的作用力为f，任意一个节点ns的力矩m（s）可以分为两部分，一部分为s以后的节点重力引起的力矩m1（s），另一部分由地面对梁的作用力f（梁和地面不接触时为0）引起的m2（s）。m（s）=m1（s）+m2（s）（10）

m1（s）= ∑nj=（s+1）gdln-1（xj-xs）（11）

m2（s）=-f（l-xs）（12）此时曲率和半径为：k=kl=a∑nj=（s+1）（xj-xs）n-1-a（1-p）（1-xs）（13）

r=1kl=1a∑nj=（s+1）xj-xsn-1-a（1-p）（1-xs）=1k（14）（3）地面对梁的作用力的确定。在模拟过程中，地面对梁的作用力f必须满足：梁和地面接触的端点处中性线的纵坐标为梁和地面的距离值。因此，必须在模拟中实现自动寻找作用力f的能力，采用二分法的思想，自动寻找作用力f的过程如下：

（1）无量纲化。用梁与地面接触时梁对地面的压力与墙外梁重力gdl之比值来衡量作用力的大小。1-p=fgdl（15）（2）给定初始值p1=0，p2=1，在这两种情况下进行有限元模拟得到梁自由端点的

纵坐标y1>h，y2h

p2=p3y3从图中可以看出，在小角度情况下，用有限元模拟得到中性线的曲线和微分近似模型几乎一致。

用微分近似模型得到的作用力比值为：1-p=38-3ha=0.225（17）用有限元模拟得到的作用力为：1-p=0.219（18）进一步说明微分近似曲线在小角度假设下的正确性，同时也说明有限元模拟的合理性。

大角度情况下，取a=0.1，h=a20=0.005，代入有限元模拟程序中，得到中性线的曲线如图3所示。

用微分近似模型得到的作用力比值为：1-p=38-3ha=0.225（19）用有限元模拟得到的作用力比值为：1-p=0.145（20）可以发现，由于有限元模型可以模拟任何转角下的情形，而此时微分近似模拟和有限元模拟结果相差较大，进一步验证了微分近似模型只能在小角度假设下成立。

4二分法求接触点

（1）把参数a=24，h=1/4输入到有限元模型中，模拟得到梁的纵坐标最大值为ymax=0.25=h，说明梁和地面已经发生接触。

①模拟得到的中性线曲线如图4所示。

②由中性线曲线可以求得每个节点ns（s=1，2，…，n）处的力矩m（s），再求出k（s），得到kmax=3.70 （x，y）=（0，0）kmin=-1.28（x，y）=（0.587 5，0.223 6）（21）③模拟中自动