基于非均匀FFT的压缩感知雷达信号快速重构方法

Abstract：
Radar signal process is one of the most important applications of compressive sensing （ CS） theory． Compres-
sive sensing theory can reduce the sampling rate of echo signals and improve the processing performance in some radar applications． However，the huge computational complexity in signal reconstruction puts strict constraint on some practical radar applications，especially on large scale problems． This paper proposes a novel fast reconstruction algorithm for compressive sensing radar signal． The proposed algorithm realizes the direct implementation of the costly matrixvector multiplications in conventional reconstruction algorithms with fast Fourier transform （ FFT ） and nonuniform fast Fourier transform，i． e． ， NUFFT，which greatly reduces the computational complexity of the reconstruction algorithm and therefore significantly speeds up the recovery of compressive sensing radar signal． In addition，the algorithm eliminates the huge storage requirement of sensing matrix in most common compressive sensing recovery algorithms， since the matrixvector multiplication is realized with fast Fourier transform algorithm here． Numerical simulation results validate the feasibility and efficiency of the proposed algorithm． Key words： compression Compressive sensing； Nonuniform fast Fourier transform； Iterative shrinkage / thresholding algorithm； Pulse
=∑ ρ q rect
q =1
( ( t － 2r
q
c ) Tp
)
（ 5）
～（ t ） exp ( jp K r （ t － 2 r q c） 2 ) +n
s（ t） = ∑Q c） 为目标反射函数， Q 其中， q = 1 ρ q δ（ t － 2 r q 为目标场景中的散射点个数， ρ q 为散射点 q 的后向散 rq 为散射点 q 与天线相位中心之间的距离， c 射系数，
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1
引言
随着对高分辨率的不断追求， 传统的雷达系统面
由于 M ＜ N， 所以直接由观测数据 y 重构 x 的线性 方程是欠定的 。 CS 理论证明， 当矩阵 A = ΦY 具有限 制等距性质（ Restricted Isometry Property，RIP） 时， 信号 x 或 s 能够以高概率由长度为 M = O （ K log （ N / K ） ） 的 观测数据 y 精确重构 。RIP 的一个等价描述是矩阵 Φ 和 Y 不相关， 即矩阵 Y 中的列向量不能由矩阵 Φ 中的 行向量稀疏表示， 反之也成立 。 研究表明对常用的大 多数固定正交基 Y， 由满足独立同分布的伯努利或高 斯随机变量构成的测量矩阵 Φ， 所得到矩阵 A = ΦY 满足 RIP 条件 。 当 RIP 得到满足时， 信号 x 或 s 可以通过求解如 下 1 优化问题得到重构 。 min ‖ s ‖ 1 s．t． y = ΦY s （ 3） 该优化问题也称为基追踪问题， 可以利用线性规划方 法有效求解 。目前为止出现的压缩感知重构算法已有 很多， 其中包括迭代贪婪算法， 如正交匹配追踪 （ Orthogonal Matching Pursuit ，OMP ） 和正则化正交匹配 追 踪（ Regularized OMP，ROMP ） 等， 以及凸松弛算法， 包 括迭代阈值和梯度投影稀疏重构算法（ Gradient Projection Sparse Reconstruction，GPSR） 等 。
Nonuniform FFT Based Fast Reconstruction Algorithm for Compressive Sensing Radar Signal
SUN Jinping1 TIAN Jihua1 LU Songtao1 WANG Yanping2 ZHANG Bingchen2
收稿日期： 2011 － 12 － 27 ； 修回日期： 2012 － 03 － 20 基金项目： 国家 973 计划项目： 2010CB731903 ； 国家自然科学基金： 60901056 ，61072112
第5 期
孙进平 等： 基于非均匀 FFT 的压缩感知雷达信号快速重构方法 其中， Φ 为 M × N 维矩阵， 称为测量矩阵 。
临着一些系统实现方面的挑战， 如现有 A / D 转换器的 性能很难满足系统高采样率的要求， 尤其是采样后海 量数据所带来的存储压力等 。近年来提出的压缩感知 （ Compressive Sensing，CS ） 理论表明可以从严重欠 采 样的数 据 中 实 现 稀 疏 信 号 或 数 据 的 精 确 或 近 似 重 构
第 28 卷 第 5ห้องสมุดไป่ตู้期 2012 年 5 月
信 号 处 理 SIGNAL PROCESSING
Vol． 28
No． 5
May 2012
基于非均匀 FFT 的压缩感知雷达信号快速重构方法
孙进平
1
田继华
1
卢松涛
1
王彦平
2
张冰尘
2
（ 1． 北京航空航天大学 电子信息工程学院，北京 100191 ； 2． 中国科学院电子学研究所微波成像技术国家重点实验室，北京 100190 ） 摘 要： 雷达信号处理是压缩感知理论重要的应用方向之一，基于压缩感知的雷达信号处理可以降低对回波信号
［1 ］
。研究人员已将压缩感知理论应用到雷达技术
［2-8 ］
中， 并取得了一定的成果
。 文献［ 2］ 指出应用压缩
感知理论能够消除传统雷达系统对匹配滤波 器的需 3］ 同时可以降低系统对回波信号的采样率； 文献［ 求， 中通过发射特别设计的波形， 利用压缩感知理论实现 4］分析了相参雷达信号的 了高分辨雷达成像； 文献［ 稀疏表示， 重点讨论压缩感知在雷达领域的三种典型 应用： 脉冲压缩 、 雷达成像和 DOA 估计， 并提出了一种 CS 雷达系统结构。 CS 处理的优势很大程度上是以大的计算复杂度 重构算法的大计算量要求限制了 CS 在大尺 为代价的， 度雷达数据处理中的应用 。本文针对压缩感知雷达提 利用均匀 、 非均匀快速傅 出了一种快速信号重构算法， 里叶变换实现常规 CS 重构算法中耗时的矩阵 向量的 选 取 了 常 用 的 迭 代 阈 值 重 构 算 法 （ Iterative 乘法， Shrinkage / Thresholding Algorithm，IST ） ［9］， 将非均匀快 速傅里叶变换应用到其中 。 实验结果表明， 利用非均 匀快速傅里叶变换的高效性明显加快了压缩感知雷达 中稀疏信号的重构速度 。
的采样速率要求，并且在部分应用中也可改善处理性能 。然而，压缩感知重构算法的计算复杂性限制了压缩感知 理论在实际雷达信号处理中的应用，尤其是大尺度雷达数据的处理 。 本文提出了一种基于压缩感知的雷达信号 快速重构方法，利用均匀和非均匀快速傅里叶变换运算实现了常规压缩感知重构算法中的矩阵 向量乘法运算， 有效降低了重构算法的计算复杂度，加快了压缩感知雷达信号的重构速度 。同时，由于引入了快速傅里叶变换运 算，该方法消除了大多数常规重构算法对感知矩阵的存储需求 。仿真实验验证了该方法的可行性和高效性 。 关键词： 压缩感知； 非均匀快速傅里叶变换； 迭代阈值法； 脉冲压缩 中图分类号： TN95 文献标识码： A 文章编号： 1003 － 0530 （ 2012 ） 05 － 0624 － 07
i2pt 1 f n
－1
= ∑ ρq K r T p sinc（ K r T p （ t － 2 rq / c） ） +n（ t ）
q =1
（ 12 ） e
i2pt 2 f n T … e i2pt M f n］
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信
号
处
理
T e i1 e i2 …e i M］ Φ =［
第 28 卷 （ 11 ）
～ n （ t ） 为附加噪声， 为光速， 表示卷积运算 。 利用频 域匹配滤波器对回波信号进行脉冲压缩后的 输出信 号为 s out （ t ） = F ｛ Y（ f ） H（ f ） ｝
Q
l = 1， ． ． ．， M 为从｛ 1 ， ． ． ．， N ｝ 中随机选取的整数， 其中 i l ， e i 为第 i 个元素等于 1 其余各元素均为零的 N 维列向 量。将（ 11 ） 代入式（ 10 ） 中得 y = ΦF I Fν s = HFν s = As H = ［h1 h2 … h N ］ ， h n = ［e 其中，
Q
2
压缩感知理论
N 假定信号 x ∈ R 在某过完备原子库 Y 上是 K 稀
那么 x 在 Y 上的展开系数中最多只有 K N 个 疏的， 非零元素， 即 x = Ys （ 1） Y = ｛ y1 ， y2 ， …， y N ｝ 是由稀疏基｛ y i ｝ 构成的 N × N 其中， s 维矩阵， ‖ ‖ 稀疏信号 x 的有用信息 0 = K 。 也就是说， 主要集中在 K 维而非 N 维中， 因此在信号采集时， 只 需要采集 M ＜ ＜ N 个数据即可 。在 CS 体系中， 通常利 用非自适应的线性投影算子作用于信号 x 获取测量值 y∈R M ， （ M ＜ N） ， 即 y = Φx = ΦY s （ 2）
3
3． 1
基于 NUFFT 的快速重建算法
压缩感知雷达 不失一般性， 本文以线性调频信号为例， 说明所提
方法的整个推导过程 。 假设雷达发射的线性调频 信 号为 p（ t ） = rect （ t T p ） exp（ j 2p f0 t + jp K r t2 ） （ 4） rect （· ） 表示单位窗函数， T p 为脉冲宽度，f0 为信 其中， K r = B T p 为线性调频信号的调频率， 号的载波频率， B 为发射信号的带宽 。 于是， 雷达系统接收到的复基 带回波信号可以表示为 ～ y （ t） = s（ t） p（ t）
（ 1． School of Electronic and Information Engineering，Beihang University，Beijing 100191 ，China； 2． National Key Lab of MW Imaging Technology，Institute Electronics， Chinese Academy of Science，Beijing 100190 ，China）