中职教育-数学(基础模块)上册课件：第5章 三角函数.ppt

5.4 同角三角函数的基本关系
1．单位圆
在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的
圆称为单位圆．如图5-10所示，设任意角 的终边与单位圆相交 于点P（x，y），根据三角函数的定义，可得
sin y y y
r1
cos x x x
r1
可见，角α的正弦值和余弦值分 别等于其终边与单位圆的交点P的纵 坐标y和横坐标x．因此，角α的终边 与单位圆的交点P的坐标可以表示为 P（cos α，sin α）．
因此，所有与30°角终边相同的角（包括30°角），都 可以表示成30°与360°的整数倍的和，即都可以写成
30°＋k ▪360°（ｋ∈Ｚ）的形式．所以，与30°角终边相
同的角的集合为
｛β｜ β=30°＋k ▪360°（ｋ∈Ｚ） ｝．
一般地，所有与角α终边相同的角（包括角α在内）都可
以写成α＋k ▪360°（ｋ∈Ｚ）的形式，它们所组成的集合为 ｛β｜ β=α＋k ▪360°（ｋ∈Ｚ） ｝
表5-3
α所在象限
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
点P的坐标
x
y
＋
＋
－
＋
－
－
＋
－
sin α cos α tan α
＋
＋
＋
＋
－
－
－
－
＋
－
＋
－
为了便于记忆，我们把sin α、cos α、tan α的正负号标在各 个象限中，如图5-9所示．
图5-9
2．界限角的三角函数值
对于界限角，可以根据三角函数的定义求出其正弦、余弦 和正切值．具体如表5-4所示．
5.3 任意角的三角函数
5.3.1 任意角的正弦、余弦和正切函数
在直角坐标系中，设α是一 个任意角，在角α的终边上任取 一点P（x，y），则点P到原点 的距离为r x2 y2（r＞0）， 如图5-8所示，那么任意角α的正
弦、余弦和正切可以分别定义
为
sin y ，cos x ，tan y
学习目标：了解角的概念推广，理解弧度制的概念和意义， 理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数；掌握利用计算 器求三角函数的值，理解同角三角函数的基本关系，了解诱导 公式的推导及简单应用，理解正弦函数的图像和性质；了解余 弦函数的图像和性质，掌握利用计算器求角度；了解“已知一 个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法。
（4）奇偶性
正弦曲线关于原点O中心对称，因此正弦函数y=sin x是奇 函数．
（5）单调性
当x由－π/2增大到π/2时，正弦曲线逐渐上升，y=sin x的 值由－1增大到1；当x由π/2增大到3π/2时，正弦曲线逐渐下降， y=sin x的值由1减小到－1．
根据周期性可知，正弦函数在每一个区间
[－π/2＋2kπ， π/2＋2kπ]（k∈Z）上都是增函数，其函数值 由－1增大到1；在每一个区间[π/2＋2kπ，3π/2＋2kπ]（k∈Z）
（4）按 键，先输入分子中的“11”，再依次按 SHIFT 、 10x 键输入分子中的“π”，然后按▼ 键，输入分母“6”，再 按▶ 键．
然后（按5）键依，次即按可S得HIF到T1、1πA/n6s对、应2的键角，度改值输“入3值30为”弧．度“116 r”， （6）依次按SHIFT 键和 AC 键，关闭计算器．
三角函数
0
表5-4
π/2
π
3π/2
2π
sin α
0
1
0
－1
0
cos α
1
0
－1
0
1
tan α
0
不存在
0
不存在
0
5.3.3 用计算器求已知角的三角函数值
用CASIO fx－82ES PLUS型计算器的 sin 、cos 、tan 键， 可以方便地计算任意角的正弦、余弦、正切等三角函数值，具 体方法为：设置计算模式（角度制或弧度制）→按 sin (或 cos 、 tan )键→输入角的大小→按 键显示结果．
（2）先输入“135”，再依次按SHIFT 、Ans 、1 键，改 输入值为角度“135°”，然后按 键，即可得到135°对应 的弧度值“3π/4”．
（3）接下来将11π/6由弧度转换为角度．先按ON 键（清 屏），然后依次按 SHIFT 键和 MODE 键，再按 3 键选择角度 制，将计算器设置为角度计算模式．
5.2 弧度制
在数学和其他科学中，经常使用另一种方法来度量 角．把等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作 1弧度或1 rad．这种以“弧度”为单位来度量角的单位制称为 弧度制．
如图5-6所示，用弧度制表示的这两个圆心角分别是1 rad， 2 rad．
图5-6
我们规定：正角的弧度是正数，负角的弧度是负数，零角 的弧度是零．
－α的诱导公式为 sin ( ) sin cos ( ) cos tan ( ) tan
5.5.3 π＋α的诱导公式
π＋α的诱导公式为 sin ( ) sin cos ( ) cos tan ( ) tan
下方是角度制下的表示形式： sin (180° ) sin cos (180° ) cos tan (180° ) tan
sin ( 2k) sin cos ( 2k) cos tan ( 2k) tan
以上为弧度制下的表示形式，下方是角度制下的表示形式： sin ( k g360°) sin cos ( k g360°) cos tan ( k g360°) tan
5.5.2 －α的诱导公式
图5-10
2．同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式：
sin2 cos2 1 tan sin cos
5.5 三角函数的诱导公式
5.5.1 α＋2kπ（k∈Z）的诱导公式
根据三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数 值相等．在平面直角坐标系中，角α＋2kπ与角α的终边相同， 所以当k∈Z时，有
r
r
x
图5-8
根据相似三角形的知识，对于每一个确定的角α，其正弦、 余弦和正切（当x≠0时）的值都是唯一确定的，而与点P在角α 终边上的位置无关．
因此，正弦、余弦和正切都是以角α为自变量的函数，分 别称为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角α的 三角函数．
在弧度制下，三角函数可以看作是以实数为自变量的函 数．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域及值域如表5-2 所示．
角度制与弧度制之间的转换关系为 360°=2π（rad），
即 180°=π（rad）．
因此，角度与弧度的转换公式为
1° (rad) ≈ 0.017 45 (rad) 180
1 (rad) (180)°≈ 57.3° 57°18
表5-1中列出了一些特殊角的角度与弧度的对应关系．
表5-1
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°150°180°270°360°
π－α的诱导公式为 sin ( ) sin
cos ( ) cos
tan ( ) tan
下方是角度制下的表示形式： sin (180° ) sin cos (180° ) cos tan (180° ) tan
5.6 三角函数的图像和性质
5.6.1 正弦函数的图像和性质
图5-4
特别地，如果一个角的终边落在坐标轴上，则称为界限角， 它不属于任何一个象限．
5.1.2 终边相同的角
在同一直角坐标系中，作 出30°、390°和－330°角， 如图5-5所示．
图5-5
通过观察可以发现，390°、 －330°角的终边都与30° 角的终边相同．我们把这些角称为与30°角终边相同的 角．显然，与30°角终边相同的角有无数多个.
上都是减函数，其函数值由1减小到－1 ．
表5-6
x
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π/2
π
3π/2
2π
y
1
2
1
0
1
图5-15
5.6.2 余弦函数的图像和性质
首先用描点法作出余弦函数y=cos x在区间[0,2π]上的图 像．
把区间[0,2π]分成8等份，分别求出函数y=cos x在各分点 及区间端点的函数值，然后列表，如表5-7所示．
由于正弦函数y=sin x的定义域为R，对于任意的x∈R，都 有x＋2kπ（k∈Z），并且sin（x＋2kπ）=sin x（诱导公式）成 立，因此正弦函数是周期函数， 2π，4π，6π，…以及－2π， － 4π， －6π，…都是它的周期．
在周期函数的所有周期中，如果存在一个最小的正数，那 么就将它称为最小正周期（习惯上直接简称为周期）．故正弦 函数的周期为2π．
图5-14
由正弦曲线可知，正弦函数y=sin x主要具有如下性质： （1）定义域 正弦函数y=sin x的定义域为R，即（－∞，＋∞）． （2）值域 正弦函数y=sin x的值域为[－1，1]．
（3）周期性
一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数 T，使得当x取定义域D内的每一个值时，都有x＋T∈D，并且 f（x＋T）=f（x）成立，那么函数y=f（x）称为周期函数，非 零常数T称为这个函数的一个周期．
三角函数
表5-2
定义域
值域
y=sin α
R
[－1,1]
y=cos α
R
[－1,1]
y=tan α
｛α|α≠π/2＋kπ，k∈Z｝
R
5.3.2 三角函数值的正负号
1．各象限角的三角函数值的正负号
根据任意角的三角函数的定义，由于r＞0，所以三角函数值 的正负号取决于终边上点P的坐标（x，y）．
表5-3中列出了各象限角的三角函数值的正负号与点P（x，y） 的坐标的对应关系．
第5章 三角函数 5.1 • 角的概念的推广 5.2 • 弧度制 5.3 • 任意的三角函数 5.4 • 同角三角函数的基本关系 5.5 • 三角函数的诱导公式 5.6 • 三角函数的图像和性质 5.7 •已知三角函数值求角
内容简介：本章主要内容是三角函数的定义、函数和性质 及应用。三角函数是基本初等函数，它是描述周期函数的数学 模型，在数学和其他领域中有着重要的作用。本章以单位圆及 几何中的对称为基础，应用代数的方法对三角函数进行讨论， 使学生初步了解代数与几何的联系。高等数学、物理学、天文 学、测量学以及其他各科科学技术都会应用到三角函数的知识， 因此这些知识既是进一步学习数学的必要基础，又是解决生产 技术实际问题的有力工具。
5.1 角的概念的推广
5.1.1 角的基本概念
一条射线由原来的位置
OA，绕着它的端点O，按逆
时针（或顺时针）方向旋转
到另一位置OB所形成的图形
称为角，如图5-2所示．旋转
开始处的射线OA称为角α的
始边，旋转终止处的射线OB
称为角α的终边，射线的端
图5-2
点O称为角α的顶点．
一般规定：按逆时针方向旋转所形成的角称为正角，按顺 时针方向旋转所形成的角称为负角．特别地，当一条射线没有 作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角称为零角．
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 3π/2 2π
计算器辅助求值
我们以用CASIO fx－82ES PLUS型计算器将135°由角 度转换为弧度，将11π/6由弧度转换为角度为例，介绍用计算 器进行角度与弧度转换的一般方法．
（1）首先将135°由角度转换为弧度．按 ON 键，打开 计算器，然后依次按SHIFT 键和 MODE 键，再按 4 键选择弧 度制，将计算器设置为弧度计算模式．
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系 中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些 点，即可得到函数y=sin x在[0，2π]上的图像，如图5-13所示．
图5-13
我们把正弦函数y=sin x在[0，2π]上的图像向左或向右平 移2π，4π，6π，…个单位，就得到了y=sin x在R上的图像，如 图5-14所示．正弦函数的图像称为正弦曲线．
例如，在图5-3中，正角α=210°，负角β=－150°，正角 γ=660°．
图5-3
为了研究的方便，我们经常在平面直角坐标系中讨论角．将 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合．
这样一来，角的终边落 在第几象限，就把这个角称 为第几象限的角，或者说这 个角在第几象限．如图5-4 所示．
正弦函数y=sin x的定义域为实数集R．这里先用描点法作 出它在区间[0,2π]上的图像．
把区间[0,2π]分成8等份，分别求出函数y=sin x在各分点 及区间端点的函数值，然后列表，如表5-5所示．
表5-5
x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
y 0 0.71 1 0.71 0 －0.71 1 －0.71 0