勒贝格积分与黎曼积分的比较

Lebesgue积分与Riemann积分的比较

20141000449 陈佳龙20141003908 王珏20141000194 杜腾飞

关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集.

正文一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较R积分创立于19世纪中叶，近半个世纪之后的1902年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。事实上运用L积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R上有界函数的范畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究范围也由R上有界闭区间延伸到了整个

N

R的有界可测集E，进而借助示性函数我们可以将L积分定义在整个N

R空间。这种优越

性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。为更好地说明L积分与R积分的异同，我们有必要将R积分的定义在此描述。R积分是这样定义的：

定义设函数()x f在区间[]b a,

上有定义，用分点

b

x

x

x

x

a

n

=

<

<

<

<

=

2

1

将区间[]b a,分成n个小区间。令λ表示一切小区间长度

()n

k

x

x

x

k

k

k

≤

≤

-

=

∆

-

1

1

中的

最大者，即

k

n

k

x

∆

=

≤

≤1

max

λ。在每个小区间

[]

k

k

x

x

,1-

上任取一点

()

k

k

k

k

x

x≤

≤

-

ξ

ξ

1，并且作和

()

k

n

k

k

x

f∆

=∑

=1

ξ

σ

.

如果当0→λ时，和数σ不管分割如何取法，也不管k ξ如何取法，都有共同的极限I ，即

(),lim lim 1

I x f k n

k k =∆=∑=→→ξσλλ则称

此极限I 为函数()x f 从a 到b 的黎曼积分，记作

()dx x f I b

a

⎰=，

关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如张喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着手，即定义有限可测集E 的一个分划D ，进而定义于D 相关的小和数与大和数。最后定义有界函数的上下勒贝格积分。若上下积分相等，则称函数勒贝格可积。就本文所列举的的两种定义而言，其中第一种定义模式仿照了黎曼积分的定义，而第二种以测度为基础，先定义简单函数的积分，进而定义一般函数的积分，此种方式也适用于一般测度空间上的积分。在后面的相关论述中我们将主要选取第二种方式。

定义1：设勒贝格可测集E 的勒贝格测度有限(()∞

()M x f <)。任取分点

.-10M y y y M n =<<<= 令

{},

1;max 1n i y y y i i ≤≤-=∆-

(){}i i i y x f y x E <≤=-1;

任取[).,1i i y y -∈

ξ若当0→∆y 时，和

()i

n

i i

E L ∑=1

ξ存在极限A ，则称A 是()x f 在E 上

的勒贝格积分，简称L 积分，记为

⎰E

fdx

由此可以看出与黎曼积分不同勒贝格积分是划分值域而不是划分定义域来求和的。显然与黎曼函数不同，由于黎曼积分要求小区间的长度而勒贝格积分要求定义域的测度，故对定义在定义在多维有界可测集上的广义实函数这样定义其积分就显得自然流畅,而黎曼积分只能对“ 标准”的实函数定义积分。

第二种定义方式是基于勒贝格测度论与勒贝格函数论，先定义有界可测集上简单函数的勒贝格积分，进而定义一般可测函数的L 积分，最后定义无限可测集上的可测函数的勒贝格积分。此种定义，借助测度的性质及勒贝格可测函数的性质，对勒贝格积分性质的讨论自然流畅。

定义2.1 有界可测集E 上简单函数L 积分定义为，设E 上简单函数()x ϕ有表示

()()

x y x n

k e k k

∑==1

χϕ

其中()k k y E e ==ϕ等为互不相交的可测集，称和k n

k k m e y ∑=1为简单函数()x ϕ在E 上

的积分，并记为

()∑⎰==n

k k

k

E

me

y dm x 1

ϕ

有时可以简写成⎰E

dm ϕ。

对于以上定义，我们可以把记号中的

dm

换成

dx 是允许的，从以上简单函数L 积

分的定义可以看出当()x ϕ为一个常数c 时，其积分值为c 倍的可测集E 的测度。而当c

为1时，该积分值为可测集E 的测度。另外还应注意，简单函数积分同函数表示式无关，即

()∑∑⎰==j

j

j k

k k E

mE c me y dm x ϕ

在叙述一般函数L 积分定义之前，有必要先对简单函数L 积分的一些性质进行描述。 （i ）如果简单函数的正部与负部分别为

()x +ϕ与()x -ϕ，则有

()()()dm

x dm x dm x E

E

E

⎰⎰⎰-

+

-=ϕϕϕ

简单函数的L 积分具有线性可加性（ii ）设1ϕ，2ϕ是E 上简单函数，1a ，2a 是常数，则有

()()()()()dm

x a dm x a dm x a x a E E

E

⎰⎰⎰+=+2

2

1

1

2

21

1ϕϕϕϕ

（iii ）设ϕ是E 上简单函数，21E E E ⋃=，

1E ，2E 为互不相交的可测集，则

()()()dm x dm x dm x E E E

⎰⎰⎰+=2

1

ϕϕϕ

对于以上简单函数L 积分的性质我们可以类比定义在闭区间[]b a ,上的连续函数()x f 的黎曼积分的线性性质。

我们知道，勒贝格可测集E 上的可测函数均可由E 上的简单函数列逼近，那么，自然会问，E 上的可测函数的勒贝格积分与简单函数的勒贝格积分是何种关系。事实上，我们

可以通过简单函数的L 积分来定义有界可测

集合E 上的可测函数的勒贝格积分

定义2.2：设()x f 是有界可测集E 上的可测函数，对于()0≥x f 的情形，取简单函数()x ϕ满足()()()E x x f x ∈≤≤ϕ0，令ϕ变动，定义

()x f 在E 上的L 积分为 ()()()dm

x dm x f E

f x E

⎰⎰≤≤=

ϕϕ0sup

此式右边非负数或∞.如果此量为有限，则称

()x f 在E 上L 可积。否则只说()x f 在E 上的

积分为∞（即此时称函数在可测集E 上不可积）.对于更一般的可测函数()x f ，当dm

f E

⎰+与dm f E

⎰-不同时为∞时，定义()x f 在E 上的

积分为

()()()dm

x f dm x f dm x f E

E

E

⎰⎰⎰-

+

-=. 当此右式两项均有限时，也只有在此时积分是有限的，我们称f 在E 上可积，记作E L f ∈或简记为L f ∈.当右边两项均不可积时，原

积分无意义.即，积分不存在.当右边两项有一项不可积分时，我们称函数不可积.

以上便是可测函数在有界可测集E 上的勒贝格积分的定义的第二种处理方式。我们有必要强调，我们只考虑对定义在可测集E 上的勒贝格可测函数定义勒贝格积分。事实上，在上面的所有论述中，我们都是假定可测集E 是有界的。事实上，对于无界可测集上的可测函数亦是可以定义其勒贝格积分的.其处理方式是将定义在有界可测集上的简单函数推广到无界。对比黎曼积分，我们可以将有界区间推广为无界，即无穷积分 。最后关于L