捕食模型(生物数学)

捕食模型

（食饵捕食模型，生物数学重要模型）

假设及建立模型：

假设一个生态系统，其中含有两种生物 A 生物和B 生物，其中A 生物是捕食者，B 生物是被捕食者。建立捕食数学模型

1) 在观测数据（DATA1）无误差的情况下，确定模型中的参数，并分析误差。

2) 在观测资料有误差（时间变量不含有误差）的情况下，请分别利用观测数据DATA2和DATA3，确定参数在某种意义下的最优解，并与仿真结果比较，进而改进你们的数学模型。 3) 假设连观测资料的时间变量也含有误差，试利用数据DATA4，建立数学模型，确定参数在某种意义下的最优解。

通过对此生态系统的观测，可以得到相关的观测数据。观测数据的格式依次为：

观测时刻j

t 、A 生物数目)(j t x 、B 生物数目)

(j t y

对于生态系统中的两种生物A 和B ，A 生物为捕食者，B 生物为被捕食者。在某

一段时期内，A 生物的数量与B 生物的数量之间存在一定的关系。

根据已知条件，可将（15）式改写为如下形式：

12()dx

x y dt

αα=+ （1）

34()dy

y x dt

αα=+ （2）

0506()()x t y t αα=⎧⎨

=⎩

其中()16k k α≤≤为模型的待定参数。

进行变换可得：

3412()()

y x dy dx x y αααα+=

+ （3）

3412()

()

dx x dy y y x

αααα++=

即 （4）

积分得：

10203040ln ln )()(ln ln )()0y y y y x x x x αααα-+-+-+-=（ 可将上述表达式改写成n 元齐次线性方程组的形式，如下所示：

m n A 0

α⨯= （5）

上述n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)

我们首先用DATA1中的3组数据确定，，，，4321a a a a 程序 clear

A=zeros(3,4);

A(1,1)=log(0.####82216 /60); A(1,2)= 60-0.####82216;

A(1,3)=-log(11.750840650304518 /10); A(1,4)=10-11.750840650304518 ; A(2,1)=log(7.108705996120129/60);

A(2,2)= 7.108705996120129-60; A(2,3)=-log(3.4####9176 /10); A(2,4)=10-3.4####9176; A(3,1)=log(0.425####24/60); A(3,2)= 0.425####24-60;

A(3,3)=-log(20.80921881438798/10); A(3,4)=10-20.80921881438798 ;

r=rank(A); % rank(A)=r

表1 )41(a '≤≤k k 的值

'1a

'2a

'

3a '4a

-0.0478 -0.0042

-0.9925

0.1125

3314140000222222(ln ln )ln ln y y y x x y x x αααααα

αααααα=+

---++ （28）如设：31400000222

(ln ln )y y x x αααβααα=+

--，112αβα=-，422α

βα=，332αβα=，

1x =ln y ，2x =x ，3ln x x =，则（28）式可以写为如下形式；

0112233y x x x ββββ=+++ （29）

对于（29）式中因变量y 是自变量{}1

2

3x x x x =的线性函数。可以建立起因变量

y 的多元线性回归模型，

① 利用数据文件data2.txt,首先绘制出x(t)、y(t)与时间t 的关系图象，和y(t)对x(t)的散点图，如图3所示（程序见gg1）。

利用MATLAB 工具箱中的regress(y,x)命令，计算回归系数β的最小二乘估

计ˆβ

及其置信区间，计算结果如表1所示，计算程序名为gg5。 由它得到的模型为：

ˆy

=-139.4322355563643+19.884217746922571x -9.9882903314159892x + 99.80497072015960

3x

（51）

结果分析：表1显示2R =0.9971088966600568是指因变量y 的99.71%可由模型（51）确定，F 值远远超过F 检验的临界值，p 远小于α，因而模型（30） 从整体上看是可用的。表1的回归系数给出了模型（30）中0β，1β，2β，3β的 估计值。检查它们的置信区间发现都不包含零点，表明回归变量都很显著。

图3 y(t)对x(t)的散点图和x(t)、y(t)与时间t 的关系图

得出β的估计值即可确定i α（i=1,2,3,4）之间的相互关系：112αβα=-，

332αβα=，422αβα=，再利用残差ˆˆ(1,,150)i i i i e y y i ε

==-=达到最小值进行最

优化计算来确定2α的取值，从而确定其它参数值，模型（30）的残差与2x 的散

点图如图4所示。

表1 data2.txt 中β的计算结果

回归参数

参数估计值 参数置信区间

0β

-139.4322355563643

[-142.1292050800128 -136.7352660327159]

1β

19.88421774692257

[19.70905262672553

20.05938286711962]