第三章 惯性系与非惯性系讲解

dv dm m (u v ) F dt dt
说明：源自文库
dv dm m (u v ) F dt dt
（1）这里采用质点模型处理变质量体系 （2）方程左边的质量m是主体质量，且m＝m（t）
（3） ( u v ) vr 是附体相对于主体的速度
（4）F 是体系受力： F F 体系 F主＋F附 （5） ( u v ) dm 是附体对主体的作用力
例 如图，线密度为ρ，长度为l 的链条，用手提着一头，另一 头刚好触及地面，静止不动， 突然放手，使链条自由下落。 求证：当链条上端下落的距离 为 s 时，链条作用在地面上的
力为3ρgs.
解：用体系动量定理求解，以整根链条为体系。
o N
G N dt dP
设 t 时刻，链条上端下落 s，速度为v0， 体系动量为
dP 0 dt
或
P2 P1 0
质点系动量定理的说明：
（1）只有外力对体系的动量变化有贡献，内力对体 系的总动量没有贡献，内力只对动量在体系内 部的分配有作用。
（2）在非惯性系中，需要考虑惯性力的冲量。
质点系动量守恒定理的说明：
（ 1 ）若外力的矢量和在某一方向分量为零， 则体系动量在该方向的分量守恒。 （2）某些过程中，如碰撞、爆炸等，系统内力 远大于系统所受外力，可用动量守恒定律 来处理这些过程。
二、质心动量、动量定理及动量守恒
质心动量：
drc Pc mc vc mc dt
质心动量定理：

t
t0
F外dt Pc Pc 0
体系所受外力的矢量和为零时，质心动量守恒：
Pc Pc 0 恒矢量
三、质心坐标系（质心参考系）
• 坐标原点取在体系质心，坐标轴的方向与某固定参考
系（惯性系）的坐标轴平行，简称质心系。
f1 n f2 n f3 n Fn
m r F
i 1 i i i 1
n
n
i
fij f ji
定义：
mc mi
i 1
i i i i
n
质心 质量
i i
F外＝ Fi外
i
体系 外力
rc
m r m r m m
i c i
质心位矢
2
质心运动定理： 质量连续分布的物体
dP N G地 dt vdtv ＝ gs+
dt
2
＝gs+ v
＝3 gs
v 2 2 gs
§3.3 质心与质心运动定律
一、质心和质心运动定理
n个质点组成的质点组的运动方程组：

m1r1 F1 f12 f13 m2 r2 f21 F2 f23 m3 r3 f31 f32 F3 mn rn fn1 fn 2 fn 3
二、变质量体系的运动方程
t时刻 主体：质量m，速度v, 外力Fm 附体：质量Δm，速度u, 外力FΔm
t+Δt时刻，主体质量m+ Δm ，速度v+Δv，外力Fm+FΔ m。
体系动量定理：
( m m)(v v ) ( mv mu) F t
即
v m m m (u v ) F v t t t
d rc mc F外 2 dt
rdm rdV m dm
c
mc dm dV , rc
质心位矢:
rc
m r m r m m
i i i i i c i
i i
rc
rdm rdV m dm
c
• 质心位矢不是各质点位矢的几何平均，而是 加权平均。 • 质心的性质只有在体系的运动状态与外力的 关系中才能体现出来。 • 体系质心位矢与坐标原点的选取有关，但质 心与体系各质点的相对位置与坐标原点的选 取无关。
• 说明： （1）体系受到的外力矢量和为零时，质心系是惯性 系，否则是非惯性系。 （2）物体相对于固定参考系（如实验室参考系）的 绝对运动可以表示成它相对于质心系的相对运 动与质心系相对固定参考系的牵连运动的叠加。
例 质量为M，长为l 的木船浮在静止的水面上，一质量 为m的人站在船尾，设船与水之间的摩擦可以忽略不计。 求人从船尾走到船头时，船相对于岸移动的距离。
Y O x x船 L/2-x船
解：水平方向系统不受 外力，质心速度保 持为零，即质心位 置不变。
xc 1
l 2 m 0 M
m M
l (2 x) m ( x) M xc 2 mM
§3.4 变质量物体的运动
一、变质量体系: 组元随时间变化的体系。
主体：某考查时刻t，原来的体系. 附体：在t时刻即将进入或离开主体的部分. 特点： ① 体系质量不是常数，m = m (t) ② 内力外力不能明确区分
当质点合力 F 的某个分量为零时，质点动量在该 方向上的分量守恒。
§3.2 质点系动量定理和动量守恒
质点系动量：
P mi vi
i
质点系动量定理： 微分形式：
dP Fi外 dt i
积分形式：
P2 P1
F
t2 t1 i
i外
dt
系统不受外力或外力矢量和为零时，质点系动量守恒
P ( l s)v0 , v0 2 gs
则 t+dt 时刻，体系动量为
P l s dx (v0 gdt )
G＝lρg
x
代入 得
G N dt dP P P
N 3 gs
• 质点解法： 设t时刻上端下落s，dt时间内有质量为ρvdt的部分速 度由v减为0
dP 0 dt
或
P2 P1 0
注：动量定理是矢量方程式，实际上是三个标量方程， 即
dPx dt Fx dPy dt Fy dPz dt Fz
或
P2 x P1 x J x P2 y P1 y J y P2 z P1 z J z
第三章
动量定理
§3.1 质点动量定理和动量守恒
§3.2 质点系动量定理和动量守恒
§3.3 质心与质心定律
§3.4 变质量物体的运动
§3.1 质点动量定理和动量守恒
质点的动量：
质点的动量定理 微分形式：
P mv
dP F dt
积分形式：
P2 P1 Fdt J
t1
t2
冲量
质点的动量守恒（质点所受合外力为零）：