薛定谔方程的相对论形式的推导

狄拉克方程

理论物理中，相对于薛定谔方程之于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋-½粒子的波函数方程，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建立，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论和量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛伦兹协变式。这条方程预言了反粒子的存在，随后1932年由卡尔·安德森发现了正电子(positron)而证实。

狄拉克方程的形式如下：

，

其中是自旋-½粒子的质量，和分别是空间和时间的坐标。

狄拉克的最初推导

狄拉克所希望建立的是一个同时具有洛伦兹协变性和薛定谔方程形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的概率密度为正值，而不是像克莱因-戈尔登方程那样存在缺乏物理意义的负值。考虑薛定谔方程

薛定谔方程只包含线性的时间一阶导数从而不具有洛伦兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的哈密顿量。这一理由是很合理的，因为空间一阶导数恰好是动量。

其中的系数和不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛伦兹协变的。因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶矩阵以满足洛伦兹协变性。如果系数是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，而只能是N×1阶列矢量

狄拉克把这些列矢量叫做旋量（Spinor），这些旋量所决定的概率密度总是正值

同时，这些旋量的每一个标量分量需要满足标量场的克莱因-戈尔登方程。比较两者可以得出系数矩阵需要满足如下关系:

满足上面条件的系数矩阵和本征值只可以取±1，并且要求是无迹的，即矩阵的对角线元素和为零。这样，矩阵的阶数N只能为偶数，即包含有相等数量的+1和-1。满足条件的最小偶数是4而不是2，原因是存在3个泡利矩阵。

在不同基中这些系数矩阵有不同形式，最常见的形式为

这里即为泡利矩阵

因此系数矩阵和可进一步写为

按照量子场论的习惯，，狄拉克方程可写为

狄拉克方程的洛伦兹协变形式

定义四个反对易矩阵γμ,μ=0,1,2,3。其反对易关系为

，其中ημν是光滑时空的度规。

利用上式可证明

这里也采取了量子场论的习惯，。此时狄拉克方程形式为

克莱因-戈尔登方程为

。

很多时候会用自然单位（c=ħ=1）写成

由于平面波为此方程已知的一组解，所以方程形式由它决定：

遵从狭义相对论的能量动量关系式

跟薛定谔方式不同，每一个k在此都对应着两个，只有通过把频率的正负部份分开，才能让方程描述到整个相对论形式的波函数。若方程在时间流逝下不变，则其形式为

。

相对论量子力学下的形式推导

自由粒子的薛定谔方程是非相对论量子力学的最基本方程：

其中是动量算符。

薛定谔方程并非相对论协变的，意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。利用狭义相对论中四维动量的不变性导出的相对论动量能量关系，相对论能量

替换薛定谔方程左边自由粒子的动能，

并最终得到它的协变形式

其中

达朗贝尔算符

从相对论量子力学的观点来看，达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程是一个量子力学的波方程。

量子场论下的形式推导

场论中，对于自旋为零的场（标量场），拉格朗日量被写成

这里依照量子场论的习惯选取了自然单位，将光速和普朗克常数都取作1。

代入欧拉-拉格朗日方程可直接得到克莱因-戈尔登方程。

从量子场论的观点来看，以上推导过程都在经典场论的范围之内，因此克莱因-戈尔登方程只是一个经典场的场方程。

自由粒子解

相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念，但形如克莱因-戈尔登方程这样的波方程仍然具有形式上的波包解：

其中

从克莱因-戈尔登方程得出的能量本征值为

因而克莱因-戈尔登方程的解包含了负能量。同时，由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的.英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程，但这个方程仍然没有避免出现负能量。从那时起物理学家们逐渐意识到负能量的出现实际上意味着反粒子的存在。