高数76高阶线性微分方程19页PPT
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定理1. 若函 y1(x)数 y ,2(x)是二阶线性齐次方程 y P ( x ) y Q ( x )y 0
的两个解, 则 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x ) (C1,C2为任意常) 数
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x ) 代入方程左边, 得
求电容器两两极板间电压 u c 所满足的微分方程 .
解: 设电路中电流为 i(t), 极板上
的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L ,
由电学知
i dq , dt
uC
q C
,
EL
L di dt
R
i
L C
E~
q‖ q Q
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
ELdi qRi0 dt C
y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )不一定是所给二阶方程的通解. 例如, y1(x) 是某二阶齐次方程的解, 则
y2(x)2y1(x)也是齐次方程的解 但是 C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x ) ( C 1 2 C 2 ) y 1 ( x )
并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如，1,co2xs,si2nx,在( , )上都有
1 c2 o x s s2 ix n 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，1, x, x2, 若在某区间 I 上 k1k2xk3x20, 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见 k1,k2,k3 必需全为 0 , 故1, x, x2在任何区间 I 上都 线性无关.
目录 上Baidu Nhomakorabea 下页 返回 结束
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
y1(x),y2(x)线性相关
存在不全为 0 的 k1, k2使 k 1 y 1 (x ) k 2 y 2 (x ) 0
y1(x) k2 y2(x) k1
( 无妨设
k1 0)
y1(x),y2(x)线性无关
y 1 ( x )
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程 yy0有特解 y1cox,sy2sixn,且
y 2
y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
y C 1 cx o C s 2sixn
推论. 若 y1,y2,,yn是 n 阶齐次方程 y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a n 1 ( x ) y a n ( x ) y 0
i
dq dt
,dd2uut2 CCC2q, dEduLtCL0dd2uitC , 0ELdditC qRi0
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例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p ( x ) y q ( x ) y f( x )(二阶线性微分方程)
n 阶线性微分方程的一般形式为
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a n 1 ( x ) y a n ( x ) y f ( x )
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化为关于 LC d2 d
u u t
c
C 2
的方程: 注意i CduC , 故有
dt
R C d uC dt
uC Emsi nt
R
令2RL,0
1 LC
L
串联电路的振荡方程:
C
i E~
d d 2tu2 C2dd utC02uCL EmsCi n q‖tq Q
如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得
y2(x)
常数
可微函y1,数 y2线性无关
y1(x) y1(x)
y2(x) y2(x)
0
(证明略)
思考: 若 y1(x),y2(x)中有一个恒为 0, 则 y1(x),y2(x)
必线性 相关
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定理 2. 若 y1(x)y ,2(x)是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )(C1,C2为任意常
(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力
FHsinpt作用令， h H ，则得强迫振动方程: m
d d2t2 x2nd dxtk2xhsinpt
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , EE m sin t,
[C1y1C2y2 ]P (x)C [1y1 C2y2 ] Q (x)[C 1y1C2 y2]
C 1 [ y 1 P ( x ) y 1 Q ( x ) y 1 ] C 2 [ y 2 P ( x ) y 2 Q ( x ) y 2 ] 0 证毕
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说明:
f(x)0时, 称为非齐次方程 ; f(x)0时, 称为齐次方程.
复习: 一阶线性方程 y P (x )y Q (x )
通解: yCeP(x)dx e P (x )dxQ (x )eP (x )dxd x
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
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二、线性齐次方程解的结构
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定义: 设 y 1 ( x )y 2 ,( x ) , ,y n ( x )是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k1,k2,,kn,使得
k 1 y 1 ( x ) k 2 y 2 ( x ) k n y n ( x ) 0 , x I
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
O
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有:
x
弹性恢复力 f cx (库克定律)
x
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阻力 R dx
据牛顿第二定律得dmt dd2t2x
cxdx
dt
令2n , k 2 c , 则得有阻尼自由振动方程:
m
m
dd2t2x2nddxt k2x0
的两个解, 则 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x ) (C1,C2为任意常) 数
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x ) 代入方程左边, 得
求电容器两两极板间电压 u c 所满足的微分方程 .
解: 设电路中电流为 i(t), 极板上
的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L ,
由电学知
i dq , dt
uC
q C
,
EL
L di dt
R
i
L C
E~
q‖ q Q
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
ELdi qRi0 dt C
y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )不一定是所给二阶方程的通解. 例如, y1(x) 是某二阶齐次方程的解, 则
y2(x)2y1(x)也是齐次方程的解 但是 C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x ) ( C 1 2 C 2 ) y 1 ( x )
并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如，1,co2xs,si2nx,在( , )上都有
1 c2 o x s s2 ix n 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，1, x, x2, 若在某区间 I 上 k1k2xk3x20, 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见 k1,k2,k3 必需全为 0 , 故1, x, x2在任何区间 I 上都 线性无关.
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两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
y1(x),y2(x)线性相关
存在不全为 0 的 k1, k2使 k 1 y 1 (x ) k 2 y 2 (x ) 0
y1(x) k2 y2(x) k1
( 无妨设
k1 0)
y1(x),y2(x)线性无关
y 1 ( x )
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程 yy0有特解 y1cox,sy2sixn,且
y 2
y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
y C 1 cx o C s 2sixn
推论. 若 y1,y2,,yn是 n 阶齐次方程 y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a n 1 ( x ) y a n ( x ) y 0
i
dq dt
,dd2uut2 CCC2q, dEduLtCL0dd2uitC , 0ELdditC qRi0
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例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p ( x ) y q ( x ) y f( x )(二阶线性微分方程)
n 阶线性微分方程的一般形式为
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a n 1 ( x ) y a n ( x ) y f ( x )
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化为关于 LC d2 d
u u t
c
C 2
的方程: 注意i CduC , 故有
dt
R C d uC dt
uC Emsi nt
R
令2RL,0
1 LC
L
串联电路的振荡方程:
C
i E~
d d 2tu2 C2dd utC02uCL EmsCi n q‖tq Q
如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得
y2(x)
常数
可微函y1,数 y2线性无关
y1(x) y1(x)
y2(x) y2(x)
0
(证明略)
思考: 若 y1(x),y2(x)中有一个恒为 0, 则 y1(x),y2(x)
必线性 相关
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定理 2. 若 y1(x)y ,2(x)是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )(C1,C2为任意常
(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力
FHsinpt作用令， h H ，则得强迫振动方程: m
d d2t2 x2nd dxtk2xhsinpt
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , EE m sin t,
[C1y1C2y2 ]P (x)C [1y1 C2y2 ] Q (x)[C 1y1C2 y2]
C 1 [ y 1 P ( x ) y 1 Q ( x ) y 1 ] C 2 [ y 2 P ( x ) y 2 Q ( x ) y 2 ] 0 证毕
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说明:
f(x)0时, 称为非齐次方程 ; f(x)0时, 称为齐次方程.
复习: 一阶线性方程 y P (x )y Q (x )
通解: yCeP(x)dx e P (x )dxQ (x )eP (x )dxd x
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
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二、线性齐次方程解的结构
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定义: 设 y 1 ( x )y 2 ,( x ) , ,y n ( x )是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k1,k2,,kn,使得
k 1 y 1 ( x ) k 2 y 2 ( x ) k n y n ( x ) 0 , x I
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
O
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有:
x
弹性恢复力 f cx (库克定律)
x
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阻力 R dx
据牛顿第二定律得dmt dd2t2x
cxdx
dt
令2n , k 2 c , 则得有阻尼自由振动方程:
m
m
dd2t2x2nddxt k2x0