粒子滤波算法

i i M
递推估计 {xi0:t , wti }iM 1
所选择重要性函数能分解为：
(x0:t | y 0:t ) (xt | x0:t 1 , y 0:t ) (x0:t 1 | y 0:t 1 )
i 利用 (xt | x0:t 1 , y 0:t ) 产生新抽样 xt , 形成新粒子
p ( yt | xt ) p ( xt | xt -1 ) ☆联合后验分布 p ( x0:t | y1:t ) p ( x0:t -1 | y1:t -1 ) p ( yt | y1:t -1 )
☆条件后验分布 p( x | y ) p( x | y ) t 1:t t 1:t -1
☆确定蒙特卡罗方法
基本思想是利用数值积分方法解决积分问题。
I ( f ) f ( x)W ( x)dx ak f ( xk )
b a k 1 n
xk k 1 自由选取时最高精度可以达到2n-1阶
n
高斯积分 对给定积分区间及权函数，由Schemite正交化过程求出正交多项 式 P0 ( x), P 1 ( x),, P n ( x)。
xi0:t (xi0:t 1 , xit )
更新重要性权值
ti w ti1 w p( yt | xti ) p( xti | xti-1 )
( xi | xi , y1:t )
t 0:t 1
退化问题
问题根源
样本点从重要性函数中产生，存在偏差
问题现象 经过若干次迭代，重要性权重的方差会越来越大，大部分重要 性权重会变得非常小直到变为0，而小部分权重会变得特别大 问题产生后果 导致大部分轨道退化，轨道点不能很有效的代表当前后验分布
初始化 权值 新的观测量
1 重抽样 Yes No
ˆ N ? N eff thres
2


M
产生粒子
1
2
M
更新权值
权值归一化 ˆ 计算 N eff Yes 更多 观测？ No 退出 输出 状态估计
应用实例
粒子滤波作为近年来兴起的一种新的非线性信号处理技术，能方 便有效地计算目标状态和未知参数的联合后验分布，该方法已经被 广泛地应用于目标跟踪、盲均衡、盲检测、信道估计等问题中。
求出 Pn ( x) 的n个零点 x1 , x2 , xn ，这n个零点就是具有2n-1阶代数
精度的高斯积分的积分节点。 计算积分系数 ak k 1
n
ai
b
a
( x x1 )( x xn ) W ( x)dx ( xi x1 )( xi xn )
☆重要性抽样
( xt | x0:t -1 , y1:t ) p( xt | xt -1 , yt ) 时，上式方差为0，也就是在
x0:t -1 , y1:t 条件下 p( xt | xt -1 , yt ) 为最优重要性函数，对应有
wti wti1 p( yt | xt 1 )
存在问题 从 p( xt | xt -1 , yt ) 抽样比较困难 重要性权重中 p( yt | xt 1 ) 不易求得 先验重要性函数 选取先验分布 p( xt | xt 1 ) 作为重要性函数，对应有
p( xt | y1:t -1 ) p ( xt | xt -1 ) p ( xt -1 | y1:t -1 )dxt 1
p( y | x ) p( x | y
t t t
p( yt | xt )
1:t 1
)dxt
由于中间包含有高维积分问题，该递推关系只有理论上的意 义，无法直接应用！
粒子轨道。w1 ,, wN 为重抽样前的重要性权重 退化程度衡量 引入有效粒子数衡量算法的退化程度，然后根据
它来决定何时进行重抽样 ，定义为
Neff
N N 1 var( w( x0:k ))
无法很准确的计算它，可以用下式估计
Hale Waihona Puke Baidu
ˆ N eff
N

2 w ( x ) 0: k i 1
N
粒子滤波算法的框架结构图
i t
ti 被称为重要性权值。 w
N

i w( x0: t) N j w ( x 0: t) j 1
p( x0:t | y1:t ) 的无偏估计为 PN (dx0:t | y1:t ) w ti (dx0:t )
i 1
序贯重要性抽样
利用 {x0:t 1 , wt 1}i 1 , yt
蒙特卡罗方法
☆ 主要思想
利用从所求分布中得到的大量样本点来近似这个分布，从而把积 分问题转换为求和问题。
☆随机蒙特卡罗方法
在解决滤波问题的时候，随机蒙特卡罗方法习惯称为粒子滤波方法
{x0:t ; i 1,, N } 从分布 p( x0:t | y1:t ) 抽样得到粒子：
i
1 N p( x0:t | y1:t ) 可以估计表示为 PN (dx0:t | y1:t ) xi (dx0:t ) N i 1 0:t 1 N i I ( ft ) 的无偏估计为 I N ( ft ) ft ( x0: t) N i 1
☆混沌信号处理
xti f i ( xti1 , i ) yt h x vt
f i 为混沌映射，当系统参数 其中 x xt1 ,, xtM 为混合混沌信号，
i i θi 1i , 2 ,,ti 处于混沌区域时 xt 为混沌信号。
谢 谢 ！
粒子滤波算法
刘凯
主要内容
问题基本模型 蒙特卡罗方法

粒子滤波 重要性抽样

退化问题
重要性函数的选取 重抽样
粒子滤波算法的框架结构图 应用实例

问题基本模型
☆状态空间模型
状态方程： xt f ( xt 1 , wt ) 观测方程： yt h( xt , vt )
xt : 状态信号
☆重要性函数的选取
条件后验分布 p( xt | x0:t -1 , y1:t ) 重要性函数 ( xt | x0:t -1 , y1:t )
i var ( xt |x0:t -1 , y1:t ) w t
wti1
2
p( y | x ) p( x | xi ) 2 2 i t t t t 1 dxt p ( yt | xt 1 ) i ( xt | x0:t 1 , y1:t )
f() : 状态方程
yt : 观测信号；
h() : 观测方程
vt : i.i.d. 观测噪声
wt : i.i.d. 状态噪声
f() 的解析形式以及 ☆问题：在已知 h() ，
vt ， wt 分布特性的条件下
利用 y0:t 递推估计后验分布 p( x0:t | y1:t ) 以及它的相关特性
贝叶斯迭代
wti wti1 p( yt | xt )
优缺点 没有考虑到观测信号这一部分先验知识
根据状态方程，重要性函数的抽取很容易实现，而且
重要性权重的迭代计算上也没有困难
☆重抽样
基本思想 抛弃那些重要性权重很小的轨道点，而复制重要性 权重大的轨道点来替代它们 具体实现：多项式重抽样
1 N 根据多项式分布 Mult (M ; w ,, w ) 进行抽样得到新的M个
当不能直接利用 p( x0:t | y1:t ) 产生粒子时，可用另一个分布函数
i N ( x) 称为重要性函数，间接产生粒子 {x0: } t i 1
i 并且给粒子 x0: t 分配权值为：
p( x0:t | y1:t ) w( x0:t ) ( x0:t | y1:t )
归一化得
w