机械工程测试技术基础讲稿(四周)1659PPT课件

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Rx
2 x
0
x2 x2
τ
x2 x2
x()R x()x 2 x 2 0时 x01 上式
3)τ足够大或τ→∞时,随机变量x(t)与x(t+t)就不存 在内在的联系了,彼此无关,即
x ()0
可得
Rx ()x2
4)自相关函数为实偶函数
R x()R x( )
证明:
Rx()Tl im T1
Tx(t)x(t)dt
功率有限信号的互相关函数为
R x(y)T l i m T 10 Tx(t)y(t)dt
周期信号的互相关函数为
Rx(y)T 10 Tx(t)y(t)dt
能量有限信号的互相关函数为
Rx(y)0Tx(t)y(t)dt
互相关函数图形
Rxy
0 τ0
τ
互相关函数
➢ 性质
xy()Rxy()xyxy
1)互相关函数的限制范围为
xy 1
y
····················0····················x
(a)
y
0
x
(b)
y 0x
(c)
(a) x与y完全线性无关; xy 0 (b) x与y完全线性相关; xy 1
(c) x与y存在某种程度的线性关系。 xy 1
(注意此时x与y却可能还有其它的函数关系)
的,如果经过相关分析发现有周期性峰值,就可以知道,可 能有潜艇通过。
自相关函数在电子、机械等工程中有一定的使 用价值,但是利用它的傅里叶变换(自功率谱,下 面的内容)来分析噪声中的周期信号更加实用一些。 另外,从前面的分析中我们知道,自相关函数中丢 失了相位信息,使其应用受到一定的限制。
信号的互相关函数 ➢ 定义
信号的自相关函数
➢ 定义
x(t)是各态历经随机过程的一个样本函数,观测时间 为T。x(t+τ)是时移之后的样本函数。这两个样本函数 具有相同的均值ux和标准差σx。
x(t)
τ
0 ti
x(t+τ)
Tt
τ0
ti
t
从另一角度看ρxy:
2[y(t)a(xt)2 ]dt
选择参数a使得ε最小:
d22[y(t)a(tx )]x [(t)d ] t0
相关系数 相关系数可用于两个信号(如信号x和信号y)相似性
(或线性相关性)的一种度量。其数学表达式为:
xyE[(xx x)(yyy)]
其中
E数学期望
2 yE[(yy)2]
x,y 随机变x量 , y的均值
x,y 随机变x量 , y的标准差 x 2E [x (x)2]
由柯西-许瓦兹不等式
E [x ( x)y ( y)2 ] x 2 2 y
x tx t E [ x t x ]2 x [ t x ]x x
则有:
lim1
x() TT
0T[x(t)x][x(t )x]dt x2
lim1
TT
T 0
x(t)x(t
)dtx2
x2
x2
x2
Rx
得功率有限信号的自相关函数为
Rx()T l i m T 10 Tx(t)x(t)dt
可得其自相关函数为
Rx(nT)Tl im T 1
Tx(tnT)x(tnT)d(tnT)
0
lim1 Tx(t)x(t)d(t) TT 0
Rx()
例:求正弦函数 x (t) x 0 sitn ) (的自相关函数
解:
Rx()
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
1
T
T 0
x02sin( t
)sin[ (t
机械工程 测试技术 基础讲稿(
四周)
第三周授课内容
1. 相关分析及其应用 2. 功率谱分析及其应用
我们知道,对于随机信号的描述可通过下述各量来进行:
矩 ➢ 时域描述方法
原点矩(如均值、均方值等) 中心矩(如均方差等) 联合矩(如互相关函数、
协方差函数等)
概率密度函数
➢ 频域描述方法:功率谱、能量谱
自相关函数的应用举例:
① 机加工表面粗糙度(用轮廓仪测)成因分析。 系统构成:
金钢石触针
工件
电感式传感器
相关分析
Rx(t)
10m 5m
0
பைடு நூலகம்0.5
1
可能成因:①沿工件轴向走刀运动的周期性;
②工件切向,则可能是由于主轴回转振动的周期性。
② 在水域中探索有无潜艇通过。 潜水艇的发动机在工作时发出周期性信号,而海浪是随机
a
则有: 代回得:
[ y(t)x(t)]dt
a
x2(t)dt
2 y2(t)d- t -y(xt2)(xt()td)dt t -
令相对误差能量:
2
y2(t)dt
1
2 xy

其中:
xy=
y(t)x(t)dt
- 1

y2(t)d
t
x2(t)d

t2
应用前述公式:
xyE[(xx x)(yyy)]
0
lim1
T
x(t
TT 0
)x(t
)d(t
)
Rx()
因此,由上述这些性质,很容易绘出自相关函数 图为:
Rx
2 x
0
x2 x2
τ
x2 x2
5)周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数, 其幅值与原周期信号的幅值有关,但丢失了原信号 的相位信息。
假设周期信号
x t x t n T n 0 , 1 , 2
x y x y R x () y x y x y
Rxy
xy
0
xyxy
τ0
τ
xyxy
2) 同频相关不同频不相关
例:求下列两正弦信号 的互相关函数。
x (t) x 0 si 1 n t )(
y (t) y 0 si2 tn ()
)]dt
x02 cos
2
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数, 在自相关函数中包含的原信号的幅值信息与频率信, 但是却丢失了其初始相位信息。
正弦函数及自相关函数
初始相位f 的信息丢失了
x(t)
x (t) x 0sitn ) (
x0
0
t
Rx (x02)/2
Rx()
x02cos
2
0
τ
典型信号的自相关函数
正弦信号 正弦信号+随机噪声 窄带随机信号 宽带随机信号
➢自相关函数的作用 主要是用来区别信号的类型,由上图可见:
只要信号中含有周期成分,其自相关函数在τ 很大时都不衰减,并具有明显的周期性; 信号中不包含周期成分则在τ 稍大时自相关 函数就衰减为零; 宽带随机信号的自相关函数相对于窄带随机信 号的自相关函数衰减快。
进一步推广,可得:
周期信号的自相关函数
Rx()T 10Tx(t)x(t)dtT—周期
能量有限信号的自相关函数
Rx()0Tx(t)x(t)dt
➢ 性质
1) x 2 x 2 R x () x 2 x 2
Rx
2 x
x2 x2
0
τ
x2 x2
原因: x()Rx()x2x2
xy 1
均方值
2) R x(0)T l i m T 10 Tx2(t)d tx 2
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