工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导.

c2 t1 c1 t 2 t1

q dt t2 t1 t1 t2
dx



分析：（和电路分析类比）
可类比：
q t1 t2 R
导热热阻
R


(I V V1 V2 )
R
R
热流密度 q 温差 t1 t2
q t1 t2 R
导热微分方程式
假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体来推导导热微分方程，如下图所示。
dQ y
dQ z+dz
dQ’ dQ x
dQ y+dy
设该微元体均质，各
向同性，则在d时间内
dQ x+dx
dQ z
X方向：
dQx



t x
dydzd
导热基本定律---傅里叶定律 导热问题的数学描述 典型一维导热问题的分析解 通过肋片的导热
第一节 导热基本定律---傅里叶定律
一、 导热基本概念
1. 温度场(temperature field) ：某一时刻（或瞬间）物体中 各点温度的分布的总称。t = ƒ ( x, y, z, ζ )
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则
根据傅里叶定律，边界条件r=r1,t=t1;r=r2,t=t2。
我们得:
Q F dt 2 rl dt
dr
dr
分离变量，两边积分： Q r2 1dr 2l t2 dt
r r1
t1
Q
ln
r2 r1

2
r
l (t1
应用导热微分方程和傅叶定律来进行求解
由前面我们已知一维稳态导热的方程式为如下
d 2t 0 dx2
边界条件为：
x 0 : t t1 x :t t2
求解步骤： （1）积分求解
dt c1
dx t c1x c2
t t2 t1 x t1

（2）根据傅里叶定律，得到：
qv —内热源强度(J/m3s )； λ —导热系数(w/m0C)；
t—温度(0C)；
x , y , z—直角坐标
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导: 傅里叶定律
能量守衡定律
返回
第二节 导热问题的数学描述
一、导热微分方程式
根据能量守恒定律和傅里叶定律，可以推导出导热微分方程， 下面是一般三维问题瞬态温度场在直角坐标系中的控制方程：
C p
t



(
2t x 2

2t y 2

2t z 2
)

qv
式中：ρ —密度(kg/m3)；τ —时间(s)；Cp—比热容(J/kg .0C)；
4 ）肋片顶端视为绝热，即 dt/dx=0 ；
求：1.肋片温度分布 2.肋片的散热热流量
t0 --肋根温度，t∞ --周围流体温度，过余温度θ = t-t∞ λ --材料导热 系数，h--表面传热系数,Ac--肋片横截面积,P--肋片截面周长。
建立导热微分方程： 在x处导入的热量=在x+dx处导出的热量+对流散出的热量

t ( t
z
z
)dz dxdyd

X方向：
dQx
dQxdx


2t x 2
dxdydzd
y方向：
dQy

dQydy


2t y 2
dxdydzd
z方向：
dQz
dQzdz

2t z 2
dxdydzd
对于微元体，按照能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热
分析： 假设 1 ）肋片在垂直于纸面方向 ( 即深度方向 ) 很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位 长度分析；
2 ）材料导热系数 λ 及表面传热系数 h 均为常数，沿肋高方向肋片横截面积 Ac 不变；
3 ）表面上的换热热阻 1/h ，远大于肋片 的导热热阻 δ/λ ，即肋片上任意截面上的温度 均匀不变；
2. 说明： 导热系数表明了物质导热能力的程度。 它是物性参数 物质的种类 热力状态（温度、压力等）。
在温度t=200C时：
纯铜λ =399 w/m0C；水λ =0.599 w/m0C；干空气λ =0.0259w/m0C λ （固体）大--------→（液体）---------→（气体）小
隔热材料（或保温材料）----石棉、硅藻土、矿渣棉等，它 们的导热系数通常:λ < 0.2 w/m0C。
t2)

Q

t1 t2 ln r2 / r1
2 l
同样类比：
R

ln
2
r2

/ r1 l
Q t R
那么，同理对n层圆筒壁有：
Q
t1 tn1 n ln ri 1 / ri
i1 2 i l
（二）多层圆筒壁的导热
q1
1 ln d2
t1 t4 1 ln d3
（一）单层圆筒壁 已知：圆筒壁内壁温度t1和外壁温度t2； 筒壁的内半径r1和外半径r2； 壁材的导热系数值λ ； 求其温度场。 由前面所学的知识我们知道圆筒壁的 等温面都是和圆筒同轴的圆柱面，导热只 沿半径方向进行，因此在极坐标图上圆筒 壁的导热问题简化为了只是沿r轴的一维导 热问题。
用傅理叶定律求解
1 1
q
2 2
q

3 3
q

(t1
t2 ) (t2
t3 ) (t3
t4)
所以最终得：
q
1

t1 t4

1
2


2
3

3

t R 热
同理对n层平壁有：
q

t1
n
tn 1
Ri
i 1

t1 tn1
ni
i 1 i
二 圆筒壁的导热 (Hollow cylindrical conduction)
平衡关系：
导人微元体的总热流量十微元体内热源的生成热
＝导出微元体的总热流量十微元体热力学能(即内能)的增量 (a)
式(a)中其他两项的表达式为
微元体热力学能的增量＝ dU
c


t

dxdydzd

微元体内热源的生成热＝ dQ' q' dx dy dz d
（二）多层平壁： 如左图所示三层平壁，各层厚度分别为 δ 1δ 2δ 3 ，导热系数为λ 1λ 2λ 3，两侧 壁面的温度为t1和t4,求其温度场。
求解步骤：
（1）画出串联热阻图
（2）分别写出每段的傅里叶定律
q

t1


1
t2
1
q

t2
2
t3
2
返回
q

t3
3
t4
3
（3）求解

两个不同的物体温度较高的物体把热量传递给与之接触 的温度较低的另一物体。
同一物体内部热量从温度较高的部分传递到温度较低的部分
本章要点： 1. 着重掌握导热的基本概念和傅里叶定律的应用 2. 着重掌握平壁、圆筒壁导热的基本计算方法
本章难点：温度场及其求解
本章主要内容：
第一节 第二节 第三节 第四节
第 二 章 稳态热传导
什么是导热呢？首先我们来下一个定义： 物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及电子 等微观粒子的热运动而产生的热量传递称为导热。
例如有两种导热现象： （1）同一物体内部热量从温度较高的部分传递到温度较低的
部分； （2）两个不同的物体温度较高的物体把热量传递给与之接触
的温度较低的另一物体。
C p
t



(
2t x 2
2t y 2

2t z 2
)

qv
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
d 2t

dx
2
0

二、三类边界条件
x 0 :
t t1
热传导方程有三类x 边 界: 条t 件t2：
第一类：给出边界上的温度t；
第二类：给出热流密度q；
dU dQx dQxdx dQy dQydy dQz dQzdz dQ'
c

t




(
2t x 2

2t y 2

2t z 2
) q'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
2. 等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。
3. 温度梯度(temperature gradient)：等温线面法线方向上 的温度变化率。
即：

e e m(Hx)
2. 说明： （1）负号“-”表示热量传递指向温度降低的方向；与温度梯 度方向相反。 （2）一但物体内部温度分布已知， 则由傅里叶定律即可求得各点的 热流量或热流密度。
三、 导热系数λ (Thermal conductivity)
1. 定义式： λ = - q / grad t 表示在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流密度值。
第三类：给定流体介质的温度t和换热系数α 。
返回
平底水壶烧水 （观察底部）
冰箱（观察外壳壁面）
第三节 典型一维稳态导热问题的分析解
一、平壁导热(Plane wall conduction)
（一）单层平壁(平壁的高、宽远大 于其厚度，即可视为无限大平板) 如左图所示 一无限大平板左右二 侧分别保持着温度t1和t2，假设温 度只随垂直于壁面的x轴变化，平 板的厚度为δ ，导热系数为λ 。 求其温度场：
1
ln d4
21 d1 2 2 d2 2 3 d3
Biblioteka Baidu四节 通过肋片的导热
一 、基本概念 1 . 肋片：指依附于基础表面上的扩展表面 2 . 常见肋片的结构：针肋 直肋 环肋 大 套片 3 . 肋片导热的作用及特点 1 ）作用：增大对流换热面积及辐射散热 面 , 以强化换热
2 ）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对 流换热及辐射散热， 肋片中沿导热热流传递 的方向上热流量是不断变化的。即： Φ≠const 。 4 . 分析肋片导热解决的问题
一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的 方向是如何变化的？
二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？
1. 通过等截面直肋的导热
已知：
(1)矩形直肋
(2)肋 根 温 度 为 t0 ， 且t0 > t
(3)肋 片 与 环 境 的 表
面传热系数为 h.
(4) ， h 和 Ac 均 保 持
不变
求：
温度场 t 和热流量
则有： Φx=-λ Ac t
x
Φx+dx=-λ Ac (t t dx)
x x
Φc= hPdxΔt= hPdx(t-t∞)
所以： Φx=-λ Ac t =Φx+dx+Φc=-λ Ac (t t dx) +hPdxΔt
x
x x
整理得： d 2t hP(t t )
dx2
Ac
而 θ = t-t∞ d 2t hP dx2 Ac
所以 dθ =dt
因为 hP 是个常量 所以令 m hP
Ac
Ac
则
d 2
dx 2
m2
为二阶一次微分方程，解得特征根 r1=m,r2=-m
所以通解为： C1emx C2emx 要求定解即求C1,C2
根据边界条件

dQxdx


x

t

(
t x
)dx
dydz
d
Y方向：
dQy


t y
dxdzd
dQydy


y

t

(
t y
)dy
dxdzd
z方向:
dQz


t z
dx dy d

dQzdz
x=0
时,θ
=θ
0
x=H,d 0 （顶端绝热）代入上式中
dx
C1+C2 = θ 0
C1emH C2emH 0
最后可得肋片中的温度分布为
0
emx e2mH emx 1 e2mH
0
chm(x H )
ch(mH )
令
x
=
H,得肋片顶端温度
H

0
ch(mH )
grad t = lim(Δ t/Δ n)=ə t / ə n (Δ n→0)
二、 傅里叶定律 (Fourier’s Law)
1. 表述：单位时间内传递的热量与温度梯度及垂直于热流方 向的截面积成正比。 Q = - λ F grad t 对单位面积： q = - λ grad t 式中:Q—热量 w;λ —导热系数 w/m0C;grad t—温度梯度0C/m