初高级中学物理衔接数学收集.(教师版)

数学知识的准备
一、乘法公式
1、我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 2
2
()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 2
2
2
()2a b a ab b ±=±+
2
2
2
2
()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 2、我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2
2
3
3
()()a b a ab b a b +-+=+ （2）立方差公式 2
2
3
3
()()a b a ab b a b -++=- （3）两数和立方公式 3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b +=+++ （4）两数差立方公式 3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b -=-+- 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
【课堂练习1】 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求2
2
2
a b c ++的值．
解： 2222
()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．
二、 一元二次方程
1、根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为
222
4()24b b ac
x a a -+=． ① （1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x 1，2；
（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x 1＝x 2＝－
2b a
； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2
()2b x a
+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x 1，2＝2b a
-；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－
2b a
；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
【课堂练习2】 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以
①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根
11x = 21x = ②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；
③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.2 根与系数的关系（韦达定理）
如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -
，x 1·x 2＝c
a
．这一关系也被称为韦达定理．
【选用例题】 已知方程2
560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．
所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3
5
． 所以，方程的另一个根为－
3
5
，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35
． 由 （－
35）＋2＝－5
k
，得 k ＝－7．
所以，方程的另一个根为－
3
5
，k 的值为－7． 三、直角三角形
1、弧度与角度的转换关系
1度=π/180弧度( ≈0.017453弧度 ) 1弧度＝180°/π （≈57.3°）
【课堂练习3】 360°＝360×π/180 ＝2π 弧度 4π/3 弧度＝4π/3 ×180°/π ＝ 240°
2、弧长与圆心角、半径的关系
弧长r l ⋅=α α为圆心角（弧度单位） 周长r c ⋅=π2
3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b , 1）、三边关系（勾股定理）： 2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90°
3）、边角间的关系：
sin A = ； cos A = ； tan A = ； cot A = ； sin B = ； cos B = ； tan B = ； cot B = 4α
sin α cos α tan α cot α 300
450 2
2
600
5、同角三角函数的基本关系式 1cos sin
22
=+θθ
θθθcos sin tan =
θ
θ
θsin cos cot = 6、正弦、余弦的诱导公式
诱导公式一：
ααπcos )2sin(=- ααπsin )2cos(=- ααπ
cot )2
(tan =-
诱导公式二：
ααπcos )2sin(=+ ααπcos -)2sin(=+ ααπ
cot -)2
(tan =+ 诱导公式三：
sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α 诱导公式四：
sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α 诱导公式五 (k ∈Z)：
sin （2k ·π＋α）＝sin α cos （2k ·π＋α）＝cos α tan （2k ·π＋α）＝tan α 诱导公式六：
sin （2π－α）＝sin （－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos （－α）＝cos α
tan （2π－α）＝ tan （－α）＝－tan α
【课堂练习4】（2009全国卷Ⅰ文）o
585sin 的值为
(A) 2-
(B)2 (C)3- (D) 3
解析：本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。

2
2
45sin )45180sin()225360sin(585sin -
=-=+=+=o o o o o o ，故选择A. 【课堂练习5】（2010年全国理科）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=
A.21k -
B. -2
1k - C. 21k - D. -21k
-
命题意图：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.
解析：2
2
2
sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,
所以tan100tan80︒=-2sin 801.cos80k -=-
=- 故选择B 7、三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 在三角形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段.
重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心（如图7.1）。

三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
图7.1 图7.2
垂心：三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。

锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角
形的垂心在三角形的外部.（如图7.2）
外心：过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心（如图7.3）。

三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
内心：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图7.4）
图7.3 图7.4
【选用例题2】已知ABC ∆的三边长分别为,,BC
a AC
b AB
c ，
I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D 、E 、F ，
求证：2
b
c a
AE
AF
. 证明 作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，,AE AF 为圆的从同一点作的两条切线，
AE AF ，
同理，BD=BF ，CD=CE.
22b c a AF BF AE CE
BD CD
AF AE AF AE
即2
b
c a
AE AF
.
【选用例题3】若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。

证明：如图，O 为三角形ABC 的重心和内心。

连AO 并延长交BC 于D 。

O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠，
AB BD
AC DC
（角平分线性质定理） O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD=DC.
1AB AC
，即AB AC .
同理可得，AB=BC. ABC ∆为等边三角形.
B
A C
O
四、函数及图像 1、 一次函数及图像：
（1）若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。

一次函数y=kx+b(k ≠0)是过(0,b),( b
k
-
,0)两点的一条直线. （2）当b =0时，称y 是x 的正比例函数。

正比例函数是当y=kx+b 中b=0时特殊的一次函数.
正比例函数y=kx(k ≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线，是经过原点的一条直线。

（3）一次函数的图象斜率
①斜率的定义：平面直角坐标系中，已知两点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，
如果x 1≠x 2，则直线PQ 的斜率是x
y
x x y y k ∆∆=
--=
1212． ② 几何意义：斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度， ③ 直线倾斜角与斜率的关系
k=tan α(α≠900) 0
01800<≤α
◈
α为锐角时，k>0; k 越大,直线倾斜度越大
◈ α为钝角时，k<0； k 越大,直线倾斜度越大 ◈ α=0°时， k=0； ◈ α=90°时，k 不存在。

00 300 450 600 900 1200 1350
1500 1800 sin 2
2
cos
tan
3
3-
2、 二次函数
（1）二次函数的一般表示方式：：
2
2
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++(0a ≠)， 对称轴是,2b
x a
=- 顶点是
24,)24b ac b a a -（－； （2） 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c (a ≠0) 的性质： ①函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象关于直线2b
x a
=-对称。

②0a >时，在对称轴 （2b
x a
=-
）左侧，y 值随x 值的增大而减少；在对称轴（2b x a =-）右侧；y 的值随x 值的增大而增大。

当2b
x a
=-时，y 取得最小值244ac b a -
③0a <时，在对称轴 （2b
x a
=-
）左侧，y 值随x 值的增大而增大；在对称轴（2b x a =-）右侧；y 的值随x 值的增大而减少。

当2b
x a
=-时，y 取得最大值244ac b a -
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 【课堂练习6】求经过点)3,5(),0,2(--B A 两点直线的斜率和倾斜角。

附录：高中物理中的数学公式
1．正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C ===. 2．余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-； 222
2cos b c a ca B =+-；
2
2
2
2cos c a b ab C =+-. 3．面积定理： （1）111
222
a b c S ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.
（2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B =
==. 4．常用不等式：
（1）,a b R ∈⇒2
2
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +
∈⇒
2
a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）333
3(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>
（4）b a b a b a +≤+≤- 5．极值定理 已知y x ,都是正数，则有
（1）如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值24
1s . 6．三角倒数关系：
ααααα22
2cot 1sin 1
csc sin 1csc +==
= αα
αα
α2
2
2tan 1cos 1sec cos 1
sec +===
7．和角与差角（和差化积）公式:
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=
8．积化和差公式：
()()[]βαβαβα++-=
sin sin 21
cos sin ()()[]βαβαβα++-=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα+--=cos cos 21
sin sin
9．平方正弦公式、平方余弦公式：
2
2
sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=- 2
2
cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=- 10．二倍角公式 ： sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
11．sin cos a b αα+)αϕ+ (辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a
ϕ= ). 12. 圆的标准方程 2
2
2
()()x a y b r -+-=.
圆的一般方程 2
20x y Dx Ey F ++++=(22
4D E F +-＞0).
13．椭圆的标准方程22
221(0)x y a b a b
+=>>
椭圆的参数方程是 : cos sin x a y b θ
θ=⎧⎨=⎩
.
14．等差数列的通项公式: *
11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；
其前n 项和公式: 1()2n n n a a s +=
1(1)
2
n n na d -=+. 15．等比数列的通项公式: 1*
11()n n n a a a q q n N q
-==⋅∈；
其前n 项的和公式: 11
(1),11,1
n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a q
q q s na q -⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
【课后作业】
1、计算：2
2
(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．
解法一：原式=2222
(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦
=242
(1)(1)x x x -++ =6
1x -．
解法二：原式=2
2
(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =3
3
(1)(1)x x +- =61x -．
2、判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1） x 2－ax －1＝0； （2） x 2－ax ＋(a －1)＝0； 解：
（1）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
12a x =
，
22
a x =． （2）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，
所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；
②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．
3、在下列图中填写各直角三角形中字母的值．
4、填空
（1）45°＝ 弧度 90°＝ 弧度 60°＝ 弧度 （2） π/6 弧度＝ ° 2π/3 弧度＝ °
（3）已知∠A 是锐角，且______2
sin
,3tan ==
A
A 则； （4）在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____,cos ==A
B ；
（5）已知Rt △ABC 中,若,900
=∠C cos 24,13
5==BC A ,则._______=AC （6）tan675°+tan765°－tan （－330°）+tan （－690°）= 0 （7）252525sin
cos tan()634
πππ
++-= 0 （8）已知直线l 经过点P(2,3)与Q(-3,2)，则直线l 的斜率为
（9）已知点P(2,3)，点Q 在y 轴上，若直线PQ 的斜率为1，则点Q 的坐标为 5、当角度在︒0到︒90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函数是 （ ） A ．正弦和正切 B ．余弦和余切 C ．正弦和余切 D ．余弦和正切 6、（2010年全国文科） cos300︒=
(A)32-
(B)-12 (C)1
2
(D) 32 本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
解析 ()1
cos300cos 36060cos602
︒=︒-︒=︒=
. 故选择C 7、在平面直角坐标系内P 点的坐标（︒30cos ，︒45tan ），则P 点关于x 轴对称点P ／的坐
标为 （ ） A ． )1,2
3
(
B ． )23,1(-
C ． )1,23(-
D ． )1,23(--
* *
8、一个物体A 点出发，在坡度为7:1的斜坡上直线向上运动到B ，当30=AB m 时，物体升高 （ ）
A
730m B 8
30m C 23m D 不同于以上的答案 9、一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东060，距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）
A 18海里/小时
B 318海里/小时
C 36海里/小时
D 336海里/小时 10、已知()()1,0,1,4),2,3(--C B A ，求直线CA BC AB ,,的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？
11、如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A
向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45。