分式方程与二次根式方程

分式方程与二次根式方程

〖知识点〗

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根

〖大纲要求〗

了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。

内容分析

1．分式方程的解法

(1)去分母法

用去分母法解分式方程的一般步骤是：

（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

(ii)解这个整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.

(2)换元法

用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数．

2．二次根式方程的解法

(1)两边平方法

用两边平方法解无理方程的—般步骤是：

(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；

(ii)解这个有理方程；

(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去． 在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．

(2)换元法

用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．

〖考查重点与常见题型〗

考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现 在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。

考题类型

1．（1）用换元法解分式方程3x x 2－1 ＋x 2－13x ＝3时，设3x x 2－1

＝y ，原方程变形为（ ） （A ）y 2－3y ＋1＝0（B ）y 2＋3y ＋1＝0（C ）y 2＋3y －1＝0（D ）y 2－y ＋3＝0

2．用换元法解方程x 2＋8x ＋x 2＋8x －11 ＝23，若设y ＝x 2＋8x －11 ，则原方程可化为（ ）

（A ）y 2＋y ＋12＝0（B ）y 2＋y －23＝0（C ）y 2＋y －12＝0（D ）y 2＋y －34=0

3．若解分式方程2x x －1 －m ＋1x 2＋x

＝x ＋1x 产生增根，则m 的值是（ ） （A ）－1或－2 （B ）－1或2 （C ）1或2 （D ）1或－2

4．解方程4x －1x －1

＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约去分母，所乘的这个整式为（ ）

（A ）x －1 （B ）x （x －1） （C ）x （D ）x ＋1

5．先阅读下面解方程x ＋x －2 ＝2的过程，然后填空.

解：（第一步）将方程整理为x －2＋x －2 ＝0；（第二步）设y ＝x －2 ，原方程可化为y 2＋y ＝0；（第三步）解这个方程的 y 1＝0，y 2＝－1（第四步）当y ＝0时，x －2 ＝0；解得 x ＝2，当y ＝－1时，x －2 ＝－1，方程无解；（第五步）所以x ＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是＿＿＿，第四步中，能够判定方程x －2 ＝－1无解原根据是＿＿。上述解题过程不完整，缺少的一步是＿＿＿。 考点训练：

1． 给出下列六个方程：1）x 2－2x ＋2＝0 2）x －2 ＝1－x 3）x －3 ＋x －2 ＝0 4）x ＋1 ＋2＝0

5）1x ＋1x －1 ＝0 6）1x －1 ＋1＝x x －1

具中有实数解的方程有（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）多于2个

2． 方程2x x 2－4 －1＝1x ＋2

的解是（ ） （A ）－1 （B ）2或－1 （C ）－2或3 （D ）3

3． 当分母解x 的方程x －3x －1 ＝m x －1

时产生增根，则m 的值等于（ ） （A ）－2 （B ）－1 （C ）1. （D ）2

4．

方程2x －3 －x ＋1 ＝0的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 5．

能使（x －5）x －7 ＝0成立的x 是＿＿＿＿＿＿。 6．

关于x 的方程m(m －1)x ＋3 ＝2x －15是根式方程，则m 的取值范围是＿＿＿＿＿。 7． 解下列方程：

（1）12x ＋1 2x 2－7x ＋5 －31－x ＝4 2x －5 （2）3x x 2－1

＋x 2－13x ＝5 2 （3）x 2＋1 x 2 －72 （x －1x

）＋1＝0 解题指导：

1． 解下列方程：

（1）x ＋2 ＝x （2）2 x 2－9 ＋x －2 x(x －3) ＝1 x 2＋3x

（3）x 2＋2x ＋2＝6 （x ＋1）2

（4）3x ＋2 －x －8 ＝3 2 独立训练

1． 方程x(x 2＋1) ＝0的解是_______. 方程2x ＋3 ＝－x 的解是_______，方程

1 x －1 ＝4 x ＋2

的解是___________ .

2．设y ＝ ____时，分式方程（x x －1 ）2＋5（x x －1

）＋6＝0可转化为__________. 3．用换元法解方程2x －3x 2＋43x 2－2x ＋5 ＋1＝0可设y ＝_________.从而把方程化为_____________.

4．下列方程有实数解的是（ ）

（A ）x ＋2 ＋5＝4 （B ）3－x ＋x －3 ＝0

（C ）x 2－2x ＋4＝0 （D ）2 x ＋1 ＋3x －1 ＝6 x 2－1

5．解下列方程.

(1) 1 x －2 =x ＋2 x 2－4 （2）x ＋4 x 2＋2x －1 x ＋2 ＝1 x ＋1 （3）a －x b ＋x ＝5－4（b ＋x ）a －x

(a ＋b ≠0) （4）2－x ＋5－4x ＝2