运筹学1-4单纯型法的计算步骤

2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3
0 X5
9
11110 14701
Z
0
23300
*（2）表格设计依据： 将-Z看作不参与基变 换的基变量，把目标函数表达式改写成方程 的形式，和原有的m个约束方程组成一个具 有n+1个变量、m+1个方程的方程组：
2、例7的表格单纯形法完整计算过程：
CB XB
0 X4 0 X5
Z
Cj
b xj
3 9 0
2 3 3 0 0 j x1 x2 x3 x4 x5 1 1 1 1 0 3/1 1 4 7 0 1 9/1
23300
2 X1 3 0 X5 6
Z6
1 1 1 1 0 3/1 0 3 6 -1 1 6/3 0 1 1 -2 0
增广矩阵的最后一行就是用非基变量表 示目标函数的表达式, j (j=1,2,…,n)就是非 基变量的检验数。
（3）检验数的两种计算方法： ①利用矩阵的行变换，把目标函数表达式中
基变量前面的系数变为0； ②使用计算公式——
m
j c j ciaij c j CB Pj c j z j , j 1, 2, , n i 1
阵变成如下形式：
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 0 0
0
a1,m1
a1,m2
0
a2,m1
a2,m2
1
am,m1
am,m2
m
0 cm1 ciai,m1 ... i 1
m
j c j ciaij i 1
a1,n a2,n
am,n
m
cn ciai,n i 1
b1
b2
bm
m
i1 cibi
完成一次迭代，得到新的基本可行解 和相应的目标函数值
停止迭代的标志（停机准则）
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值； （得到最优解）或 主元列≤ 0 （最优解无界）
依据：最优性检验的两个定理
最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理
二、单纯形法原理（用单纯形法求解 LP） 例6
第三步：基变换
选择（最大）正检验数对应的系数列为主 元列，主元列对应的非基变量为换入变量；
最小比值对应的行为主元行，主元行对应 的基变量为换出变量。
确定进基变量、出基变量。
第四步 换基迭代（旋转运算、枢运算)
利用矩阵初等行变换把主元列变成单位向量, 主元素变为1，进基变量对应的检验数变成0, 从而得到一张新的单纯形表，返回第二步。
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t.
4 4
x1 x2
16 12
x1, x2 0
(台时约束) （原材料约束）
s.t.
x1 x1
x2 x3 x4 4x2 7x3
x5
3
9
x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,
x2 ,
x3 , x4 ,
x5
0
(劳动力约束) （原材料约束）
第二步：寻求初始可行基，确定基变量
A 11
1 4
1 7
1 0
10
B P4 ,
P5
1 0
10
对应的基变量是 x4，x5；
第三步：写出初始基本可行解和相应的 目标函数值
1-4 单纯形法的计算 步骤
二、单纯形法原理（用代数方法求解 LP） 例7
max Z 2x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3
s.t.x1 4x2 7x3 9
x1
,
x2
,
x3
0
(劳动力约束) （原材料约束）
第一步：引入非负的松弛变量x4,x5, 将该 LP化为标准型
max Z 2x1 3x2 3x3 0x4 0x5
x1 a x 1,m1 m1
x2
a x 2,m1 m1
a1n xn b1 a2n xn b2
xm am,m1xm1 amn xn bm
Z c1x1 c2x2 cmxm cm1xm1
cnxn 0
取出系数写成增广矩阵的形式：
-Z x1 x2 … xm xm+1 xm+2 … xn b