欠驱动非线性控制方法综述
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收稿日期： 2003 - ll - 20 作者简介： 周祥龙 （l962 - ） ， 男， 硕士， 副教授， 研究方向为控制 理论及应用。
设定点线性化， 则线性化后的模型不可控。此外， 由 ［5］ ［6］ 不存在光 Brockett 、 Coron 和 Rosier 的结论可知， 滑时不变静态状态反馈镇定律使欠驱动水面船舶镇 定在平衡点上， 那么以研究光滑状态反馈为主的现 代非线性控制方法就不能直接用于解决欠驱动船舶 的镇定问题， 必须寻找新的工具和方法。目前解决 欠驱动船舶镇定问题主要有两种途径， 其中一条途 径是采用非连续反馈控制律使系统收敛至平衡点； 另一条解决途径是采用周期时变反馈控制律使系统 渐近镇定。 l.l.l 非连续时不变反馈镇定 目前在欠驱动镇定控制器设计中， 通常采用 !
变换下保持不变的性质。而一族坐标变换构成一个 “群作用” 。因此采用微分几何方法来描述控制系统 的对称性较为有效。李群是代数结构和几何结构的 自然结合体， 其优点在于同时具有群和微分流形的 结构， 可以用群运算的可微性把群的结构线性化， 也 就是李代数。具有对称的系统可经反馈变成具有状 态对称的系统， 而且对状态对称的系统又可经状态 反馈进行结构分解， 达到系统解耦的目的。这就是 对称结构在系统结构化简方面的特性。除此之外， 对称结构还可使系统的能控性差别得到简化， 使输 入输出解耦、 干扰解耦的条件减弱。 欠驱动船舶系统具有对称性， 其是基于李群上 的左不变机械系统。因为欠驱动船舶的位形空间是 李群 G， 船体速度组成的线性空间是李群 G 上的李 代数 g。由于对称群的存在， 可以将动力学方程化 简为低维空间方程。
； 而一阶非
完整系统则是指对于系统速度的约束， 即关于运动
［2］ 学方程的不可积性 。因此认为对于欠驱动系统的 ［3， 4］ 研究是对于一阶非完整系Βιβλιοθήκη Baidu研究的延续 。由于
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欠驱动控制方法
欠驱动的镇定 欠驱动系统是本质非线性系统， 如果将模型在
船舶在水平面内的运动具有 3 个自由度， 而常规水 面船舶只有推力和舵角两个控制输入， 因此对其研
{
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工业仪表与自动化装置
2004 年第 5 期
・， 形式如： = （ ， ， …，（ ） ） ， 可以使得 ! = ! ・ ・ （ ） # （ "， …， ， = （ ，，， …，（ ） ） ， 则系统 "， "， " ）
是平滑的。这类方法的优点是不需要复杂的积分过 程。缺点是该方法只对微分平滑系统有效， 并且平 滑输出往往不易找到。 显然， 微分平滑系统实际上指的是通过可微变 换可以化为通常积分器形式的非线性系统。微分平 滑刻画了经适当动态反馈扩展可等价于另一系统的 特性， 因此对非线性系统的动态扩展线性化等方法 具有一定的指导作用。 微分平滑是动态反馈线性化的一个通用过程。 在开集且紧集中， 所有的微分平滑系统均可动态反 馈线性化。 所有的跟随系统均是微分平滑的： 一辆汽车尾 部挂有 个拖车， 第 个拖车通过链子挂在前面车 体的轴上； 力的作用线与质心不相交的平面刚体； 拖 有缆绳的飞机， 在缆绳的尾部拴有刚体； 具有三个控 制力矩和一个推进装置的卫星系统， 力矩及力的作 用线交于质心。在上面这些微分平滑的例子中， 平 滑输出并不是位形变量和系统速度的随意组合。 该方法利用平滑的特性， 建立起模型的等价表 达式， 通过动态反馈线性化， 解耦成为两个可控的线 性化系统。此外， 提出是否可以将其转化为通用的 哈密顿形式， 将微分平滑和能量法相结合， 进一步推 导出更为简单、 有效的反馈控制。但是该方法对于 常规船舶是否也存在同样的规律， 目前尚不清楚。
A survey on nonlinear control method of underactuated
ZHOU Xiang-iong， ZHAO Jing-bo
（ Nawal Submarine Academy ， Shandong Oingdao 26607l China ）
Abstract： The controi of noniinera underactuated systems is a new focus topic in the automatic controi fieids . This paper reviews briefiy the basic researching resuits on stabiiization and course-keeping of underactuated surface in the noniinear controi theory for recent years . The direction of further research is presented . Key words： underactuated； surface vessei； noniinear； survey
［l］ 究可归结为欠驱动控制问题 。
欠驱动系统的控制问题得到广泛重视并成为非 线性控制领域的热点之一， 主要原因有以下两点： （l） 在实际工程中， 许多控制系统都是欠驱动控制系 统， 如何用少于标准数目的执行器来控制系统是一 个有意义的尝试； （2） 欠驱动系统是一类特殊的非线 性系统， 对于该类系统的研究有助于研究一般非线
0 引言
欠驱动系统是指由控制输入向量构成空间的维 数小于位形空间维数的系统， 即指控制输入数小于 系统自由度的系统。其特点是可由较少的控制输入 确定其在比控制输入空间维数大的位形空间内的运 动。对于欠驱动系统的另外一种描述是二阶非完整 系统， 即指对于系统加速度的不可积性
［l］
性系统的控制问题。 关于欠驱动系统的镇定、 跟踪控制器设计方法 等项内容， 大多见于近年来国内外有关学术论文中。 该文主要针对欠驱动水面船舶镇定及航迹跟踪控制 两个方面， 对欠驱动船舶非线性控制器设计方法作 一系统综述， 并指出目前在航迹控制、 观测器设计及 轨迹规划方面存在的研究空白， 为今后的研究工作 提出发展方向。
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工业仪表与自动化装置
2004 年第 5 期
欠驱动非线性控制方法综述
周祥龙， 赵景波
（青岛海军潜艇学院， 山东 青岛 26607l） 摘要： 欠驱动系统非线性控制是目前自动控制领域研究的一个新热点。该文针对欠驱动水面 船舶这一典型欠驱动机械系统， 综述了当今国内外关于欠驱动镇定及航迹跟踪控制器设计的新方 法， 并提出了欠驱动控制的研究方向。 关键词： 欠驱动； 船舶， 非线性； 综述 中图分类号： Tpl3 文献标识码： A 文章编号： （2004） l000-0682 05-00l0-04
2004 年第 5 期
工业仪表与自动化装置
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构造方法构造非连续反馈控制律。该方法是解决欠 驱动系统反馈镇定问题的一种重要方法。 1.1.2 连续时变反馈镇定 连续时变反馈镇定律分为光滑时变反馈和非光 滑时变反馈控制两种方法。光滑时变反馈控制通常 采用平均法、 反步法。其优点是控制律光滑， 便于实 现， 可保证系统渐近镇定， 缺点是所设计的控制律一 设计 般较为复杂。采用反步法构造 Lyapunov 函数， 周期时变反馈控制律， 实现全局一致渐近镇定。将 积分 反 步 法 和 平 均 法 结 合 在 一 起， 通 过 构 造 Lya实现船舶闭环系统指数收敛于原点的任 punov 函数， 意小邻域内。采用积分反步法设计控制器， 实现系 统的半全局镇定， 其中重点考虑了外界干扰的影响， 对未知幅值的外界干扰采用自适应控制， 模拟结果 表明船舶收敛于原点的微小邻域内， 但仍然保持持 通过引入一个 续振荡状态。受 !构造方法的启发， 辅助状态变量， 将二阶非完整系统转化为一个线性 时变系统， 采用光滑时变反馈控制律得到全局渐近 指数镇定。 该方法也用了 “除” 的概念， 不同 与!过程类似， 之处在于前者是除一个状态， 而齐次方法除的是关 于状态的范数， 前者得到的反馈控制律一般在一维 流形上不光滑， 而后者得到的反馈控制律一般在原 点不光滑。该方法的重点在于如何设计扩张函数及 相对于该函数的齐次范数。此外， 充分利用该方法 可以获得指数收敛的特点， 另外， 由于该方法并不需 要对于模型参数的精确设定， 因此对于模型参数的 不确定性具有鲁棒性。 !"# 欠驱动的轨迹控制 欠驱动船舶非线性轨迹控制的难点在于： 所研 究的机械系统是欠驱动的； 运动方程是非线性方程； 在运动方程中存在未知外界环境干扰； 系统的状态 只能通过噪声检测部分获得， 其它不可测状态将通 过设计观测器来获得； 同时欠驱动不能转化为无漂 系统； 链式系统的研究成果不能直接应用到欠驱动 系统当中。 目前， 在研究欠驱动轨迹控制中通常采用的方 法有反步法、 微分平滑法。 1.2.1 反步法 （ Backstepping） 反步法所对应的系统是通过积分环节串连连接 的非线性系统。因此所对应的李雅普诺夫函数， 都 是以第一个子系统的李雅普诺夫函数为基础， 再加 上第二个子系统的状态变量的二次项所构成。
' 1 = f（ + x2 x 1 x1） ' 2 = f（ x2） + x3 形如 x 2 x1， ' 3 = f（ x x2， x3） +u 3 x1， 的方程结构被称为严反馈型结构， 即 f（ …， 2， i i = 1， 必须只和前 i 个状态变量相关。 n） ' i = xi + 1 + 反步法的设计思想是视每一子系统 x （ 中的 xi + 1 为虚拟控制， 通过确定适当 f i x 1 + … + xi ） 地虚拟反馈 xi + 1 =! （ …， ， 使得系统的 n - 1） i i = 1， 前面状态达到渐近稳定。但系统的结构一般不满足 因此引进误差变量， 期望通过控制 的 作 xi + 1 = !i ， 用， 使得 xi + 1 与虚拟反馈 !i 间具有某种渐近特性， 从而实现整个系统的渐近镇定。反步法实际上是一 种由前往后递推的设计方法， 它在每一步把状态坐 标的变化、 不确定参数的自适应调节函数和一个已 知的李雅普诺夫函数的虚拟控制系统的镇定函数等 联系起来， 通过逐步修正算法设计镇定控制器， 实现 系统的全局调节或跟踪。反步法中引进的虚拟控制 本质上是一种静态补偿的思想， 前面的子系统必须 通过后面子系统的虚拟控制才能达到镇定控制的目 的。在反步法设计中， 最关键的是构造合理的虚拟 控制器， 消除不确定性的影响。反步法给非线性控 制带来了一个重大突破， 这种方法比较适合在线控 制， 达到减少在线计算时间的目的， 同时它在避免对 消系统中的有用的非线性方面具有灵活性， 以确定 和跟踪为追求的目标， 而不是以线性为追求目标。 在反步法的基础上， 考虑到外界干扰的影响， 融 合自适应控制、 鲁棒控制等智能化方法， 进一步优化 和完善控制器的性能， 是下步需要开展的工作。 （Differentially Flatness） 1.2.2 微分平滑 精确线性化方法虽然为非线性控制系统的设计 和应用提供了一种有效的途径， 但满足精确线性化 条件的系统非常有限。能否通过适当的动态扩展或 补偿， 使系统的相对阶有所提高， 从而尽可能地使系 统更多的状态分量实现线性化， 进而达到简化系统 结构的目的。由于扩展系统的相对阶提高， 对新旧 系统的特性还需进行必要的对比， 以保持系统的等 价性。Michel Fliess 利用微分代数和微分几何工具 研究了系统等价性问题， 提出了微分平滑 （ Differen的概念。 tially Flatness） 粗略地讲， 针对一个系统， 如果可以找到输出集 合， 其维数与系统的输入数相同， 并且系统的所有状 态和输入不需经过积分运算均可表示为输出的函 数， 则控制系统是微分平滑的。严格地讲， 系统状态 输入 # ! "m ， 如果可以找到输出 $ ! "m ， 其 ! ! "n ，
性是指系统在有外界输入时的能量衰减特性。非线 性系统的镇定问题可以归结为使系统无源化的问 题。此外， 采用无源化方法设计的控制器对于外界 干扰具有鲁棒性。 文中主要基于无源性和能量的观点来讨论系统 的稳定性及轨迹控制问题， 如何将这一先进的设计 工具应用到欠驱动船舶当中， 是当今研究的课题之 一。 !"! 李群 （ Lie Group） 系统的对称性是指其动态在一个或一族 （坐标）
设定点线性化， 则线性化后的模型不可控。此外， 由 ［5］ ［6］ 不存在光 Brockett 、 Coron 和 Rosier 的结论可知， 滑时不变静态状态反馈镇定律使欠驱动水面船舶镇 定在平衡点上， 那么以研究光滑状态反馈为主的现 代非线性控制方法就不能直接用于解决欠驱动船舶 的镇定问题， 必须寻找新的工具和方法。目前解决 欠驱动船舶镇定问题主要有两种途径， 其中一条途 径是采用非连续反馈控制律使系统收敛至平衡点； 另一条解决途径是采用周期时变反馈控制律使系统 渐近镇定。 l.l.l 非连续时不变反馈镇定 目前在欠驱动镇定控制器设计中， 通常采用 !
变换下保持不变的性质。而一族坐标变换构成一个 “群作用” 。因此采用微分几何方法来描述控制系统 的对称性较为有效。李群是代数结构和几何结构的 自然结合体， 其优点在于同时具有群和微分流形的 结构， 可以用群运算的可微性把群的结构线性化， 也 就是李代数。具有对称的系统可经反馈变成具有状 态对称的系统， 而且对状态对称的系统又可经状态 反馈进行结构分解， 达到系统解耦的目的。这就是 对称结构在系统结构化简方面的特性。除此之外， 对称结构还可使系统的能控性差别得到简化， 使输 入输出解耦、 干扰解耦的条件减弱。 欠驱动船舶系统具有对称性， 其是基于李群上 的左不变机械系统。因为欠驱动船舶的位形空间是 李群 G， 船体速度组成的线性空间是李群 G 上的李 代数 g。由于对称群的存在， 可以将动力学方程化 简为低维空间方程。
； 而一阶非
完整系统则是指对于系统速度的约束， 即关于运动
［2］ 学方程的不可积性 。因此认为对于欠驱动系统的 ［3， 4］ 研究是对于一阶非完整系Βιβλιοθήκη Baidu研究的延续 。由于
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1.1
欠驱动控制方法
欠驱动的镇定 欠驱动系统是本质非线性系统， 如果将模型在
船舶在水平面内的运动具有 3 个自由度， 而常规水 面船舶只有推力和舵角两个控制输入， 因此对其研
{
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工业仪表与自动化装置
2004 年第 5 期
・， 形式如： = （ ， ， …，（ ） ） ， 可以使得 ! = ! ・ ・ （ ） # （ "， …， ， = （ ，，， …，（ ） ） ， 则系统 "， "， " ）
是平滑的。这类方法的优点是不需要复杂的积分过 程。缺点是该方法只对微分平滑系统有效， 并且平 滑输出往往不易找到。 显然， 微分平滑系统实际上指的是通过可微变 换可以化为通常积分器形式的非线性系统。微分平 滑刻画了经适当动态反馈扩展可等价于另一系统的 特性， 因此对非线性系统的动态扩展线性化等方法 具有一定的指导作用。 微分平滑是动态反馈线性化的一个通用过程。 在开集且紧集中， 所有的微分平滑系统均可动态反 馈线性化。 所有的跟随系统均是微分平滑的： 一辆汽车尾 部挂有 个拖车， 第 个拖车通过链子挂在前面车 体的轴上； 力的作用线与质心不相交的平面刚体； 拖 有缆绳的飞机， 在缆绳的尾部拴有刚体； 具有三个控 制力矩和一个推进装置的卫星系统， 力矩及力的作 用线交于质心。在上面这些微分平滑的例子中， 平 滑输出并不是位形变量和系统速度的随意组合。 该方法利用平滑的特性， 建立起模型的等价表 达式， 通过动态反馈线性化， 解耦成为两个可控的线 性化系统。此外， 提出是否可以将其转化为通用的 哈密顿形式， 将微分平滑和能量法相结合， 进一步推 导出更为简单、 有效的反馈控制。但是该方法对于 常规船舶是否也存在同样的规律， 目前尚不清楚。
A survey on nonlinear control method of underactuated
ZHOU Xiang-iong， ZHAO Jing-bo
（ Nawal Submarine Academy ， Shandong Oingdao 26607l China ）
Abstract： The controi of noniinera underactuated systems is a new focus topic in the automatic controi fieids . This paper reviews briefiy the basic researching resuits on stabiiization and course-keeping of underactuated surface in the noniinear controi theory for recent years . The direction of further research is presented . Key words： underactuated； surface vessei； noniinear； survey
［l］ 究可归结为欠驱动控制问题 。
欠驱动系统的控制问题得到广泛重视并成为非 线性控制领域的热点之一， 主要原因有以下两点： （l） 在实际工程中， 许多控制系统都是欠驱动控制系 统， 如何用少于标准数目的执行器来控制系统是一 个有意义的尝试； （2） 欠驱动系统是一类特殊的非线 性系统， 对于该类系统的研究有助于研究一般非线
0 引言
欠驱动系统是指由控制输入向量构成空间的维 数小于位形空间维数的系统， 即指控制输入数小于 系统自由度的系统。其特点是可由较少的控制输入 确定其在比控制输入空间维数大的位形空间内的运 动。对于欠驱动系统的另外一种描述是二阶非完整 系统， 即指对于系统加速度的不可积性
［l］
性系统的控制问题。 关于欠驱动系统的镇定、 跟踪控制器设计方法 等项内容， 大多见于近年来国内外有关学术论文中。 该文主要针对欠驱动水面船舶镇定及航迹跟踪控制 两个方面， 对欠驱动船舶非线性控制器设计方法作 一系统综述， 并指出目前在航迹控制、 观测器设计及 轨迹规划方面存在的研究空白， 为今后的研究工作 提出发展方向。
・ l0 ・
工业仪表与自动化装置
2004 年第 5 期
欠驱动非线性控制方法综述
周祥龙， 赵景波
（青岛海军潜艇学院， 山东 青岛 26607l） 摘要： 欠驱动系统非线性控制是目前自动控制领域研究的一个新热点。该文针对欠驱动水面 船舶这一典型欠驱动机械系统， 综述了当今国内外关于欠驱动镇定及航迹跟踪控制器设计的新方 法， 并提出了欠驱动控制的研究方向。 关键词： 欠驱动； 船舶， 非线性； 综述 中图分类号： Tpl3 文献标识码： A 文章编号： （2004） l000-0682 05-00l0-04
2004 年第 5 期
工业仪表与自动化装置
・ 11 ・
构造方法构造非连续反馈控制律。该方法是解决欠 驱动系统反馈镇定问题的一种重要方法。 1.1.2 连续时变反馈镇定 连续时变反馈镇定律分为光滑时变反馈和非光 滑时变反馈控制两种方法。光滑时变反馈控制通常 采用平均法、 反步法。其优点是控制律光滑， 便于实 现， 可保证系统渐近镇定， 缺点是所设计的控制律一 设计 般较为复杂。采用反步法构造 Lyapunov 函数， 周期时变反馈控制律， 实现全局一致渐近镇定。将 积分 反 步 法 和 平 均 法 结 合 在 一 起， 通 过 构 造 Lya实现船舶闭环系统指数收敛于原点的任 punov 函数， 意小邻域内。采用积分反步法设计控制器， 实现系 统的半全局镇定， 其中重点考虑了外界干扰的影响， 对未知幅值的外界干扰采用自适应控制， 模拟结果 表明船舶收敛于原点的微小邻域内， 但仍然保持持 通过引入一个 续振荡状态。受 !构造方法的启发， 辅助状态变量， 将二阶非完整系统转化为一个线性 时变系统， 采用光滑时变反馈控制律得到全局渐近 指数镇定。 该方法也用了 “除” 的概念， 不同 与!过程类似， 之处在于前者是除一个状态， 而齐次方法除的是关 于状态的范数， 前者得到的反馈控制律一般在一维 流形上不光滑， 而后者得到的反馈控制律一般在原 点不光滑。该方法的重点在于如何设计扩张函数及 相对于该函数的齐次范数。此外， 充分利用该方法 可以获得指数收敛的特点， 另外， 由于该方法并不需 要对于模型参数的精确设定， 因此对于模型参数的 不确定性具有鲁棒性。 !"# 欠驱动的轨迹控制 欠驱动船舶非线性轨迹控制的难点在于： 所研 究的机械系统是欠驱动的； 运动方程是非线性方程； 在运动方程中存在未知外界环境干扰； 系统的状态 只能通过噪声检测部分获得， 其它不可测状态将通 过设计观测器来获得； 同时欠驱动不能转化为无漂 系统； 链式系统的研究成果不能直接应用到欠驱动 系统当中。 目前， 在研究欠驱动轨迹控制中通常采用的方 法有反步法、 微分平滑法。 1.2.1 反步法 （ Backstepping） 反步法所对应的系统是通过积分环节串连连接 的非线性系统。因此所对应的李雅普诺夫函数， 都 是以第一个子系统的李雅普诺夫函数为基础， 再加 上第二个子系统的状态变量的二次项所构成。
' 1 = f（ + x2 x 1 x1） ' 2 = f（ x2） + x3 形如 x 2 x1， ' 3 = f（ x x2， x3） +u 3 x1， 的方程结构被称为严反馈型结构， 即 f（ …， 2， i i = 1， 必须只和前 i 个状态变量相关。 n） ' i = xi + 1 + 反步法的设计思想是视每一子系统 x （ 中的 xi + 1 为虚拟控制， 通过确定适当 f i x 1 + … + xi ） 地虚拟反馈 xi + 1 =! （ …， ， 使得系统的 n - 1） i i = 1， 前面状态达到渐近稳定。但系统的结构一般不满足 因此引进误差变量， 期望通过控制 的 作 xi + 1 = !i ， 用， 使得 xi + 1 与虚拟反馈 !i 间具有某种渐近特性， 从而实现整个系统的渐近镇定。反步法实际上是一 种由前往后递推的设计方法， 它在每一步把状态坐 标的变化、 不确定参数的自适应调节函数和一个已 知的李雅普诺夫函数的虚拟控制系统的镇定函数等 联系起来， 通过逐步修正算法设计镇定控制器， 实现 系统的全局调节或跟踪。反步法中引进的虚拟控制 本质上是一种静态补偿的思想， 前面的子系统必须 通过后面子系统的虚拟控制才能达到镇定控制的目 的。在反步法设计中， 最关键的是构造合理的虚拟 控制器， 消除不确定性的影响。反步法给非线性控 制带来了一个重大突破， 这种方法比较适合在线控 制， 达到减少在线计算时间的目的， 同时它在避免对 消系统中的有用的非线性方面具有灵活性， 以确定 和跟踪为追求的目标， 而不是以线性为追求目标。 在反步法的基础上， 考虑到外界干扰的影响， 融 合自适应控制、 鲁棒控制等智能化方法， 进一步优化 和完善控制器的性能， 是下步需要开展的工作。 （Differentially Flatness） 1.2.2 微分平滑 精确线性化方法虽然为非线性控制系统的设计 和应用提供了一种有效的途径， 但满足精确线性化 条件的系统非常有限。能否通过适当的动态扩展或 补偿， 使系统的相对阶有所提高， 从而尽可能地使系 统更多的状态分量实现线性化， 进而达到简化系统 结构的目的。由于扩展系统的相对阶提高， 对新旧 系统的特性还需进行必要的对比， 以保持系统的等 价性。Michel Fliess 利用微分代数和微分几何工具 研究了系统等价性问题， 提出了微分平滑 （ Differen的概念。 tially Flatness） 粗略地讲， 针对一个系统， 如果可以找到输出集 合， 其维数与系统的输入数相同， 并且系统的所有状 态和输入不需经过积分运算均可表示为输出的函 数， 则控制系统是微分平滑的。严格地讲， 系统状态 输入 # ! "m ， 如果可以找到输出 $ ! "m ， 其 ! ! "n ，
性是指系统在有外界输入时的能量衰减特性。非线 性系统的镇定问题可以归结为使系统无源化的问 题。此外， 采用无源化方法设计的控制器对于外界 干扰具有鲁棒性。 文中主要基于无源性和能量的观点来讨论系统 的稳定性及轨迹控制问题， 如何将这一先进的设计 工具应用到欠驱动船舶当中， 是当今研究的课题之 一。 !"! 李群 （ Lie Group） 系统的对称性是指其动态在一个或一族 （坐标）