基于双树复小波与非线性时间序列的降噪方法_胥永刚
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Key words： dual-tree complex wavelet transform （ DT-CWT） ； nonlinear time series； soft threshold； denoising
滚动轴承作为旋转机械的关键组成部分最易发生 故障。据统计，旋转机械故障的 30% 均由轴承故障引 起。滚动轴承故障振动信号常表现出非线性非平稳特
息，亦能克服 传 统 离 散 小 波 变 换 的 平 移 不 变 性 差 与 频
率混叠等缺陷，且具有良好的方向选择性、完全重构性
及较高计算效率。双树复小波小波函数可表示为
ψ（ t） = ψh（ t） + iψg（ t）
（ 1）
式中： ψh（ t） ，ψg（ t） 为两实小波； i 为复数单位。
双树复小波变换由两个并行的实小波变换组成，
分解、重构过程见图 1。其中 h0 ，h1 分别为实部树对应 的低、高通滤波器； g0 ，g1 分别为虚部树对应的低、高通 滤波器； h0 '，h1 '为重构时实部树滤波器组； g0 '，g1 ' 为重 构时虚部树滤波器组。
图 1 双树复小波变换分解、重构过程 Fig． 1 Decomposition and reconstruction process
该相空间与 原 系 统 动 力 学 特 性 相 同，与 原 系 统 动
力学行为微分同胚。通过 sn 最小化解对其修正。该投
影降噪 法 称 为 非 线 性 空 间 局 部 投 影 算 法。 具 体 步 骤
如下：
（ 1） 对时间序列 S = s1 ，s2 ，…，sn，确定延时时间 τ
及嵌入维数 m，进行 m 维相空间重构，即
面内； 受噪声干扰时 yn = xn + ηn，对信号进行相空间重
构，噪声处于超平面外的相空间中。可将 yn 投影到该
超平面进行信号消噪。
对任意时间序列 sn，可重构 m 维相空间为
sn = ｛ sn（ m1） τ ，sn（ m2） τ ，…，snτ ，sn ｝
（ 4）
式中： τ 为延时时间； m 为嵌入维数。
本文提出基于双树复小波与非线性时间序列的降 噪方法，充分 利 用 小 波 系 数 的 周 期 性 进 行 强 背 景 噪 声 信号故障特 征 提 取。 仿 真、试 验 信 号 处 理 结 果 证 明 该 方法的可行性、有效性。
1 双树复小波变换
双树复小波变换（ Dual-tree Complex Wavelet Trans-
基金项目： 国家自然科学基金（ 51375020） ； 北京市优秀人才培养资助计 划 （ 2011D005015000006 ） ； 北 京 市 教 委 科 研 计 划 项 目 （ KM201310005013） ； 北京市属高等学校青年拔尖人才培育计划； 北 京工业大学基础研究基金
收稿日期： 2014 － 04 － 01 修改稿收到日期： 2014 － 07 － 16 第一作者 胥永刚 男，博士，副教授，1975 年生
…，Q） ，对相空间 sn 进行修正，即
Q
^ ∑ sn = sn － Ｒ －1 〈Ｒ（ sn － s（ n） ） ，aq 〉aq
（ 8）
q =1
（ 6） 返回步骤（ 2） ，直到所有相点处理完毕。
修正完毕后将 sn 中标量信号取平均值即可重构获
得降噪后信号，投影多次效果更佳。
2． 2 参数确定方法
参数选择直接影响算法的降噪效果。延迟时间 τ 的确定方法有Biblioteka Baidu相关函数法、平均位移法、复自相关法 及平均互信息法等。其中自相关函数法与复自相关法 较常用。嵌入维数 m 的确定方法有几何不变量法、虚 假邻点法及改进虚假邻点法等。文献［14］对非线性时
Abstract： A new denoising method based on dual-tree complex wavelet transform and nonlinear time series was proposed，considering the weakness，such as the phase distortion，of the wavelet soft-threshold denoising method，in which the real and image parts of the coefficient are processed individually． The new method process the magnitude of the complex coefficients instead，taking into account the fact that the magnitude does not oscillate in positive and negative directions which is more suitable for threshold denoising and the fact that the coefficients of the fault signal are always periodic． The nonlinear time series method can be used to strengthen the periodicity of the coefficients caused by the fault signal and to restrain the noise meanwhile． In the method proposed，the fault signal was decomposed by dual-tree complex wavelet transform to obtain the coefficients of different layers，the nonlinear time series method was used to strengthen the periodicity of the coefficient，and then the soft-threshold denoising was carried out to remove the DC component． Finally， the fault characteristic signal was obtained by coefficient reconstruction． The simulation and experimental results show the effectiveness of the method，and a new efficient denoising method was provided．
（ 北京工业大学 机电学院 先进制造技术北京市重点试验室，北京 100124）
摘 要： 针对双树复小波变换传统软阈值降噪方法对实、虚部树系数分别进行阈值处理时提取的强背景噪声下轴
承故障特征信号效果不理想，且实、虚部分离的阈值处理方法会引起局部相位失真问题，利用故障信号小波变换系数具有
周期性与双树复小波系数模震荡小等特点，提出双树复小波变换与非线性时间序列方法相结合的强背景噪声下轴承故障
XU Yong-gang，ZHAO Guo-liang，MA Chao-yong，ZHANG Jian-yu
（ Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）
=
［Ｒ（ sn' － s（ n） ） ］i ［Ｒ（ sn' － s（ n） ） ］j
（ 7）
n'∈N
式中： Ｒ 为对角权重矩阵，可抑制相点首尾元素产生的
畸变。Ｒ11 ，Ｒmm取较大值，其它 Ｒii = 1。
（ 5）
消除噪声。计算协方差矩阵
C（ n） ij
的特征值与
特征向量，选特征值最小的 Q 个特征向量 aq，（ q = 1，
能有效提取强背景噪声下的故障特征信号。
关键词： 双树复小波变换； 非线性时间序列； 软阈值； 降噪
中图分类号： TH133． 3； TH165
文献标志码： A
DOI： 10． 13465 / j． cnki． jvs． 2015． 16． 023
New denoising method based on dual-tree complex wavelet transform and nonlinear time series
间序列局部投影算法参数确定的几种常用方法进行总 结，并讨论各自计算复杂性与使用便捷性。
136
振动与冲击
2015 年第 34 卷
力系统［5］及故障诊断［6 － 8］等。邱爱中［9］通过研究软阈 值降噪方法，提 出 阈 值 降 噪 并 用 于 水 轮 机 轴 承 故 障 诊 断。陈志新［10］对双树复小波的 NeighBlock 降噪方法进 行研究； 但均忽略故障特征信号周期性造成小波系数 周期性对降噪的重要性。
特征提取方法。对故障信号进行双树复小波变换，获得各层小波系数并求模，选择系数模周期性较强层系数进行非线性
时间序列处理，增强系数中周期性成分，抑制随机噪声； 对增强后系数进行软阈值处理消除直流成分对提取结果的影响；
将处理后系数还原为复数形式进行双树复小波重构，可成功提取弱故障特征信号。仿真、试验信号处理结果表明，该方法
sn = ｛ sn－（ m－1） τ ，sn－（ m－2） τ ，…，sn ｝
（ 5）
（ 2） 确定邻域半 径 ε，寻 找 满 足 ‖sk － sn‖∞ ＜ ε
的向量及个数 N。
（ 3） 计算满足条件的 N 个向量质心，即
∑ s（ n）
=
1 N
sn'
n'∈N
（ 6）
（ 4） 计算协方差矩阵，即
∑ C（ n） ij
of dual-tree complex wavelet transform
2 非线性时间序列局部投影算法原理
2． 1 基本原理 非线性时间序列分析方法已成功用于医疗［11］及故
障诊断［12 － 13］等。该方法基本思想为将非线性时间序 列进行相空间重构，通过局部投影方法将背景信号、特 征信号及噪 声 投 影 到 不 同 子 空 间，抑 制 时 间 序 列 中 随 机噪声成分，达到分离效果。
form，DT-CWT） 采用两树平行近似互为希尔伯特变换
对的滤波器进行信号分解与重构，分别称为实部树、虚
部树。分解、重构过程中两树滤波器采样频率相同，但
要求虚部树采样位置落后实部树采样间隔 1 /2。半个
采样间隔延迟与互为希尔伯特变换对的滤波器性质使
实、虚部树联 合 能 更 充 分 利 用 采 样 前 小 波 变 换 系 数 信
邮箱： xyg@ bjut． edu． cn
性，且现场存在强噪声干扰，较难提取滚动轴承故障特 征［1］。因此，研究强背景噪声下滚动轴承故障特征信号 的提取方法具有重要意义。
传统离散小波变换（ DWT） 对非线性非平稳信号的 处理效果良好。基于小波变换的降噪方法研究主要集 中于小波系数阈值的选取，且较成熟； 但由于 DWT 小 波系数震荡剧烈，采用阈值降噪会丢失部分细节信息。 双树复小 波 变 换［2］ 作 为 传 统 离 散 小 波 变 换 的 改 进 方 法，采用两树滤波器组完成小波分解与重构，较传统方 法具有良好 的 抗 频 率 混 叠 特 性、近 似 平 移 不 变 性 与 完 全重构特性。已成功用于图像处理［3］、语音识别［4］、电
振动与冲击
第 34 卷第 16 期
JOUＲNAL OF VIBＲATION AND SHOCK
Vol． 34 No． 16 2015
基于双树复小波与非线性时间序列的降噪方法
胥永刚，赵国亮，马朝永，张建宇
设动力系统非线性状态方程为
xk+1 = F（ xk）
（ 2）
当 F 未知时，xk + 1 可近似为状态 xk 在｛ xk ｝ ，k = 1，
…，N 中 u（ n） 邻域内的线性化估计，即
∑ min｛
（ Anxn + bn － xn+1 ） ｝
（ 3）
n： xn∈u（ n）
不存在噪声时 Anxn + bn － xn + 1 = 0，系统处于超平
滚动轴承作为旋转机械的关键组成部分最易发生 故障。据统计，旋转机械故障的 30% 均由轴承故障引 起。滚动轴承故障振动信号常表现出非线性非平稳特
息，亦能克服 传 统 离 散 小 波 变 换 的 平 移 不 变 性 差 与 频
率混叠等缺陷，且具有良好的方向选择性、完全重构性
及较高计算效率。双树复小波小波函数可表示为
ψ（ t） = ψh（ t） + iψg（ t）
（ 1）
式中： ψh（ t） ，ψg（ t） 为两实小波； i 为复数单位。
双树复小波变换由两个并行的实小波变换组成，
分解、重构过程见图 1。其中 h0 ，h1 分别为实部树对应 的低、高通滤波器； g0 ，g1 分别为虚部树对应的低、高通 滤波器； h0 '，h1 '为重构时实部树滤波器组； g0 '，g1 ' 为重 构时虚部树滤波器组。
图 1 双树复小波变换分解、重构过程 Fig． 1 Decomposition and reconstruction process
该相空间与 原 系 统 动 力 学 特 性 相 同，与 原 系 统 动
力学行为微分同胚。通过 sn 最小化解对其修正。该投
影降噪 法 称 为 非 线 性 空 间 局 部 投 影 算 法。 具 体 步 骤
如下：
（ 1） 对时间序列 S = s1 ，s2 ，…，sn，确定延时时间 τ
及嵌入维数 m，进行 m 维相空间重构，即
面内； 受噪声干扰时 yn = xn + ηn，对信号进行相空间重
构，噪声处于超平面外的相空间中。可将 yn 投影到该
超平面进行信号消噪。
对任意时间序列 sn，可重构 m 维相空间为
sn = ｛ sn（ m1） τ ，sn（ m2） τ ，…，snτ ，sn ｝
（ 4）
式中： τ 为延时时间； m 为嵌入维数。
本文提出基于双树复小波与非线性时间序列的降 噪方法，充分 利 用 小 波 系 数 的 周 期 性 进 行 强 背 景 噪 声 信号故障特 征 提 取。 仿 真、试 验 信 号 处 理 结 果 证 明 该 方法的可行性、有效性。
1 双树复小波变换
双树复小波变换（ Dual-tree Complex Wavelet Trans-
基金项目： 国家自然科学基金（ 51375020） ； 北京市优秀人才培养资助计 划 （ 2011D005015000006 ） ； 北 京 市 教 委 科 研 计 划 项 目 （ KM201310005013） ； 北京市属高等学校青年拔尖人才培育计划； 北 京工业大学基础研究基金
收稿日期： 2014 － 04 － 01 修改稿收到日期： 2014 － 07 － 16 第一作者 胥永刚 男，博士，副教授，1975 年生
…，Q） ，对相空间 sn 进行修正，即
Q
^ ∑ sn = sn － Ｒ －1 〈Ｒ（ sn － s（ n） ） ，aq 〉aq
（ 8）
q =1
（ 6） 返回步骤（ 2） ，直到所有相点处理完毕。
修正完毕后将 sn 中标量信号取平均值即可重构获
得降噪后信号，投影多次效果更佳。
2． 2 参数确定方法
参数选择直接影响算法的降噪效果。延迟时间 τ 的确定方法有Biblioteka Baidu相关函数法、平均位移法、复自相关法 及平均互信息法等。其中自相关函数法与复自相关法 较常用。嵌入维数 m 的确定方法有几何不变量法、虚 假邻点法及改进虚假邻点法等。文献［14］对非线性时
Abstract： A new denoising method based on dual-tree complex wavelet transform and nonlinear time series was proposed，considering the weakness，such as the phase distortion，of the wavelet soft-threshold denoising method，in which the real and image parts of the coefficient are processed individually． The new method process the magnitude of the complex coefficients instead，taking into account the fact that the magnitude does not oscillate in positive and negative directions which is more suitable for threshold denoising and the fact that the coefficients of the fault signal are always periodic． The nonlinear time series method can be used to strengthen the periodicity of the coefficients caused by the fault signal and to restrain the noise meanwhile． In the method proposed，the fault signal was decomposed by dual-tree complex wavelet transform to obtain the coefficients of different layers，the nonlinear time series method was used to strengthen the periodicity of the coefficient，and then the soft-threshold denoising was carried out to remove the DC component． Finally， the fault characteristic signal was obtained by coefficient reconstruction． The simulation and experimental results show the effectiveness of the method，and a new efficient denoising method was provided．
（ 北京工业大学 机电学院 先进制造技术北京市重点试验室，北京 100124）
摘 要： 针对双树复小波变换传统软阈值降噪方法对实、虚部树系数分别进行阈值处理时提取的强背景噪声下轴
承故障特征信号效果不理想，且实、虚部分离的阈值处理方法会引起局部相位失真问题，利用故障信号小波变换系数具有
周期性与双树复小波系数模震荡小等特点，提出双树复小波变换与非线性时间序列方法相结合的强背景噪声下轴承故障
XU Yong-gang，ZHAO Guo-liang，MA Chao-yong，ZHANG Jian-yu
（ Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）
=
［Ｒ（ sn' － s（ n） ） ］i ［Ｒ（ sn' － s（ n） ） ］j
（ 7）
n'∈N
式中： Ｒ 为对角权重矩阵，可抑制相点首尾元素产生的
畸变。Ｒ11 ，Ｒmm取较大值，其它 Ｒii = 1。
（ 5）
消除噪声。计算协方差矩阵
C（ n） ij
的特征值与
特征向量，选特征值最小的 Q 个特征向量 aq，（ q = 1，
能有效提取强背景噪声下的故障特征信号。
关键词： 双树复小波变换； 非线性时间序列； 软阈值； 降噪
中图分类号： TH133． 3； TH165
文献标志码： A
DOI： 10． 13465 / j． cnki． jvs． 2015． 16． 023
New denoising method based on dual-tree complex wavelet transform and nonlinear time series
间序列局部投影算法参数确定的几种常用方法进行总 结，并讨论各自计算复杂性与使用便捷性。
136
振动与冲击
2015 年第 34 卷
力系统［5］及故障诊断［6 － 8］等。邱爱中［9］通过研究软阈 值降噪方法，提 出 阈 值 降 噪 并 用 于 水 轮 机 轴 承 故 障 诊 断。陈志新［10］对双树复小波的 NeighBlock 降噪方法进 行研究； 但均忽略故障特征信号周期性造成小波系数 周期性对降噪的重要性。
特征提取方法。对故障信号进行双树复小波变换，获得各层小波系数并求模，选择系数模周期性较强层系数进行非线性
时间序列处理，增强系数中周期性成分，抑制随机噪声； 对增强后系数进行软阈值处理消除直流成分对提取结果的影响；
将处理后系数还原为复数形式进行双树复小波重构，可成功提取弱故障特征信号。仿真、试验信号处理结果表明，该方法
sn = ｛ sn－（ m－1） τ ，sn－（ m－2） τ ，…，sn ｝
（ 5）
（ 2） 确定邻域半 径 ε，寻 找 满 足 ‖sk － sn‖∞ ＜ ε
的向量及个数 N。
（ 3） 计算满足条件的 N 个向量质心，即
∑ s（ n）
=
1 N
sn'
n'∈N
（ 6）
（ 4） 计算协方差矩阵，即
∑ C（ n） ij
of dual-tree complex wavelet transform
2 非线性时间序列局部投影算法原理
2． 1 基本原理 非线性时间序列分析方法已成功用于医疗［11］及故
障诊断［12 － 13］等。该方法基本思想为将非线性时间序 列进行相空间重构，通过局部投影方法将背景信号、特 征信号及噪 声 投 影 到 不 同 子 空 间，抑 制 时 间 序 列 中 随 机噪声成分，达到分离效果。
form，DT-CWT） 采用两树平行近似互为希尔伯特变换
对的滤波器进行信号分解与重构，分别称为实部树、虚
部树。分解、重构过程中两树滤波器采样频率相同，但
要求虚部树采样位置落后实部树采样间隔 1 /2。半个
采样间隔延迟与互为希尔伯特变换对的滤波器性质使
实、虚部树联 合 能 更 充 分 利 用 采 样 前 小 波 变 换 系 数 信
邮箱： xyg@ bjut． edu． cn
性，且现场存在强噪声干扰，较难提取滚动轴承故障特 征［1］。因此，研究强背景噪声下滚动轴承故障特征信号 的提取方法具有重要意义。
传统离散小波变换（ DWT） 对非线性非平稳信号的 处理效果良好。基于小波变换的降噪方法研究主要集 中于小波系数阈值的选取，且较成熟； 但由于 DWT 小 波系数震荡剧烈，采用阈值降噪会丢失部分细节信息。 双树复小 波 变 换［2］ 作 为 传 统 离 散 小 波 变 换 的 改 进 方 法，采用两树滤波器组完成小波分解与重构，较传统方 法具有良好 的 抗 频 率 混 叠 特 性、近 似 平 移 不 变 性 与 完 全重构特性。已成功用于图像处理［3］、语音识别［4］、电
振动与冲击
第 34 卷第 16 期
JOUＲNAL OF VIBＲATION AND SHOCK
Vol． 34 No． 16 2015
基于双树复小波与非线性时间序列的降噪方法
胥永刚，赵国亮，马朝永，张建宇
设动力系统非线性状态方程为
xk+1 = F（ xk）
（ 2）
当 F 未知时，xk + 1 可近似为状态 xk 在｛ xk ｝ ，k = 1，
…，N 中 u（ n） 邻域内的线性化估计，即
∑ min｛
（ Anxn + bn － xn+1 ） ｝
（ 3）
n： xn∈u（ n）
不存在噪声时 Anxn + bn － xn + 1 = 0，系统处于超平