材料力学A(圆轴扭转时的强度与刚度计算2学时-非圆截面杆的扭转-薄壁杆件的自由扭转简介2学时)

(1)根据强度条件设计d1, d2。 (2)按此设计若取[]=1.8º/m,
3
2 . 0 / m
校核刚度条件。
4
例题
例 题 1
l1
§4
l2 n
扭转
解： 1.求出各轮处的外力 偶矩，画出扭矩图
M t 1 9549
3
例题
例 题 1
l1
§4
l2 n
扭转
3.强度设计 左段：
试比较相同材料（[ ]=50Mpa），不同形状的几种截 面（但截面积相同）的杆件，依强度条件求出的最大 允许扭矩。
25
R2 R1
T 2R 2
26
max
( R22 R12 )( R2 R1 )( R2 R1 )
2TR 2
例题
例 题 3
T R2 R1
§4
T
2t 2 ( s ) ( s ) T
s

C
( s)
T 2 ( s )
(4.21)
ds
截面上的最大切应力为：
剪力流的含义：单位长度中线的横截面积上的内力
max
截面两端的扭转角：
23
T ( s ) ( s )ds tds t ds 2t
Mt 由l2段的强度条件：
2 ,max
Mt Wp2
3
M t W p 2 D

(1 ) 16
4 2
38 503 (1 ( ) 4 ) 70 114.5 10 4 N mm 16 50 1145 N m
表4.1 矩形截面杆扭转时的因数，，
h/b
1.0
1.2
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
6.0
8.0
10.0
ຫໍສະໝຸດ Baidu

0.333 0.333 0.743
0.208 0.219 0.141 0.166 1.000 0.930
0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.858 0.796 0.767 0.753 0.754 0.743 0.743 0.743
max
扭转
2TR 2 T 2R 2
例题
例 题 4
§4
扭转
8.5 8.5
( R22 R12 )( R2 R1 )( R2 R1 )
对闭口薄壁圆筒，有扭转切应力公式：
( s)
T R
T 2 ( s)
100
10.4(1) kN m
(4.21)
d=100 D=150
max
T T TR2 2TR2 4 WP I P / R2 (16R 4 16R 4 ) ( R2 R14 ) 2 1 32
100
(1)
d=100 D=150
(2)
d=100 D=150
(3)
300
(4)
300
(5)
单位：mm
若空心圆轴
薄壁圆筒
T R
薄壁圆筒平均半径为R，壁厚为 则：R1 R2 R
3.校核刚度 对l1段：
1
d2 l2
I p1 1 14 l 1 (1 / 2) 4 1 1.4 4 l2 I p 2 1 2 1 (38 / 50) 4
M t 180 1145 10 10 180 GI p1 3 4 4 80 10 50 (1 (1 / 2 ) ) 32 1 .43 / m 2 / m
5
1
d1
2
d2=2d1
3
16 16 621 10 3 d1 3 3 50
16T1
Mt1
(T)
Mt2
Mt3
39.8mm
取d1=40mm,则d2=80mm 校核右段： 2,max
T2
3 d2

621N•m 1430N •m
621N•m

1430N •m
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7.圆轴扭转的强度与刚度计算 （1）扭转强度条件 工作时最大切应力
扭转问题
许用切应力
max W p
u
n
T max

(4.8)
塑性材料： 脆性材料：
u s u b
对等截面圆轴，即：
1
max
Tmax Wp
满足刚度条件
12
2
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作业
4.3 4.7 4.12 4 12 4.18

13
14
8.非圆截面轴的扭转 与圆截面轴的扭转有本质区别！
比较：圆截面轴的扭转
非圆截面轴不满足平截面假定—横截面出现翘曲
15 16
(1)截面周边处 的方向 矩形截面轴自由扭转的结果： 与边界相切 1 =0 =0 (2)四个角点处 =0 (3)两对称轴上切应力方 向与对称轴垂直 T (4)截面内切应力最大值 h max 发生在长边中点处： 发 在长边中点处 T (4.10) max hb 2 短边中点处切应力也较大：
S S S
(4.20)
T 2 min
(4.22)
为截面中线 s 包围的面积

Tl ds 2 4G S ( s )
(4.23)
24
4
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例题
例 题 4
例题 §4
扭转
8.5 8.5
例 题 3
§4
扭转
T R2 R1
空心圆轴的扭转，圆轴内半径R1， 外半径R2，受扭矩T作用，求 max 按圆轴扭转公式计算：空心圆轴
开口薄壁杆扭转时横截面上各部分的切应力 大小与该处横截面的宽度呈正比
21
22
（2）闭口薄壁杆自由扭转 T 横截面由内、外的封闭曲线构成
T ( s ) ( s )ds tds t ds 2t (12.20)
S S S

C
ds
截面中线 s 壁厚 = (s) s 设：沿壁厚方向上切应力均布 (s) s 剪力流：t = s(s) = 常数 (4.19)
(2) ( )
d=100 D=150
(3) ( )
由式(4.12)，对第i个狭长条上的最大切 T2 应力，有:
i , max
3Ti 3 T hi i3 T i hi i2 hi i2 I t 3 It
(4.17)
1
故整个截面上的最大切应力为：
max
T max It
开口薄壁杆的扭转切应力: (4.18) 最大切应力发生在壁厚最大处
T
设每个狭长条为 hi ,i 该条上担负扭矩为Ti,扭转角为i 则有： 截面上的总扭矩 T Ti
i
2 h1 h1
由若干个狭长条组合 而成，截面中线不构 成封闭曲线。
可分割为若干个狭长条：
2 可利用狭长条的公式 1 h2
(4.12)，(4.13)
19
应力、扭转角计算均
T Ti
1430 10 3
16

16
80 3
14 .2 Mpa
6
1
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例题
例 题 1
l1
§4
l2 n
扭转
4.刚度条件的校核
T 180
例题
例 题 2
§4
扭转
1 左段： 1 GI p1
1
d1
2
d2=2d1
3

Mt1
(T)
Mt2
Mt3
621 103 32 180 103 80 103 40 4 1.77 / m 1.8 / m
1, max
max
T1 d 13
T Wp


1
d1
2
d2=2d1 Mt3
13 N1 9549 200 n
Mt1
(T)
Mt2
621 N m 17 N M t 2 9549 2 9549 200 n 809 N m N 30 M t 3 9549 3 9549 n 200 1430 N m
8
注意单位！
例题
例 题 2
§4
扭转
Mt
例题
例 题 2
§4
扭转
Mt d1 l1 d2 l2
解： 轴的各横截面 Mt 扭矩均为 T M t
d1 d2 1.求允许外力偶矩 l2 l1 由l1段的强度条件： Mt 1,max W p1 3 4 M t W p1 D (1 1 ) 16 1 4 3 50 (1 ( ) ) 70 161.110 4 N mm 16 2 1611N m
3
单位长度许用扭转角

常用单位：°/m 常用单位：
1
2
d2=2d1 Mt3
工程上， 精密仪器传动轴 一般传动轴 刚度要求不高的轴
0 .25 ~ 0 .5 / m
0 .5 ~ 1 . 0 / m
Mt1
Mt2
的转速n=200rpm,若轴材料 的G=80Gpa,[]=50Mpa,
当h/b,即截面为狭长矩形(狭长条)： =1/3， =1/3
h b
=0
b
h
=0
1 max
h
其中： , , 为与 b 有关 的因数，可查表12.1
(5)总扭转角 Tl Tl GI t G hb 3
(4.11)
17
b
hb 2 hb 2 Tl 3Tl Ghb 3 Ghb 3
max
T

3T
(4.12) (4.13)
18
上式也可用于L形、C形、U 形等(可展开计算长度)
3
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9. 薄壁杆件的自由扭转(介绍) 工程中常见的各种型钢(T，I，L，U， ， 等) 特点：横截面内壁厚远小于另一方向尺寸 （1）开口薄壁杆自由扭转 1 h2
h2 2 h1 T1 T2
2
例题
（2）扭转刚度条件 轴类构件对扭转角的限制条件： 单位长度的扭转角
T 180 GI p max
(4.9) d1
例 题 1
l1
§4
l2 n
扭转
一阶梯轴，轴直径d2=2d1, 输入功率N3=30KW,输出功 率N1 =13KW, N2=17KW,轴
i
截面的扭转角 1 2 i 3Ti l 1 对每一个狭长条,有： i Ghi i3 Ghi i3 G Tl 即 Ti i hi i3 (4.15) 3l 3l GI t hi i3 G G G Tl h 3 T h 3
右段：

2
621N•m 1430N •m
1430 103 32 180 80 80 4 0.254 / m 1.8 / m
7
T2 180 GI p 2
Mt Mt 图示传动轴全长 d1 d2 L=510mm，外径 D=50mm，长为l1的 l2 l1 一段内径d1 =25mm， 另一段长为l2，内径d2 =38mm，材料的许用切应力 [ ]=70Mpa，G=80Gpa， (1)求此轴两端的允许外力偶矩[Mt]。 (2)若要求l1， l2两段的扭转角相等， l1和 l2各长多少？ (3)校核在最大允许外力偶矩作用下，刚度条件[]=2º/m 是否满足？
h It i 3 i
3 i
l

i
3

l
It
Ti
(4.14)
i i i i l GI t 3 It 3
(4.16)
20
h2 2 h1 T1
T
对狭长矩形： max
Ti
T
hb 2

3T hb 2
(4.12) T
G Tl hi i3 T hi i3 (4.16) l GI t 3 It 3
9
应取[Mt]=Min(1611N·m,1145N·m)=1145N·m
10
例题
例 题 2
§4
扭转
Mt d1 l1 d2 l2
例题
例 题 2
§4
Mt
扭转
Mt d1 l1
3 3
Mt 2.求l1和 l2 要求1=2 则： Ml Ml 1 t 1 2 t 2 GI p1 GI p 2
l1 l2 510mm
l1 298mm l2 212mm
11
t 对l2段： 2 GI p 2
M
180

l1 212 1 .43 2 .01 / m 1 l2 298
但
2 . 01 2 0 .5 % 5 % 2