第2章 地图的数学基础

地球三面关系
地球椭球体定位
地球椭球体定位
• 局部定位 • 参考椭球体 • 大地原点 • 1953年前 ~ 海福特椭球参数； 1953年后 ~ 克拉索夫斯基椭球参数 1954北京坐标系，大地原点在北京 1978年开始 ~ ICA-75椭球 1980西安坐标系，大地原点在中部 西安市附近的泾阳县境内。
水平面代替水准面
水平面代替水准面的距离误差和相对误差表
D（km） 10 20 50 100 Δα（cm） 0.82 6.7 102.0 814.0 Δα/D 1/1000000 1/300000 1/49000 1/12000
水平面代替水准面的高程误差表
D（km）
0.1
0.5
1
2
3
4
5
10
100
文字式（说明式）：十五万分之一， 或图上1厘米等于实地1500米（1.5千米，1.5公里 ） 直线式：
3.3地图投影变形
• 在球面与平面之间建立点与点之间对应函 数关系的数学方法，称为地图投影。 • 地图投影的实质就是将地球椭球面上的 经纬网按照一定的数学法则转移到平面上 ，建立球面上点（λ，φ）与平面上对应 点（X，Y）之间的函数关系。
地球仪上经纬网的特性
• 第一，所有纬线圈都是互相平行的圆，长度不等，赤道 最长，纬度越高长度越短，到极点为0； • 第二，所有经线圈都是大圆，长度相等，经线在赤道上 平行，随着纬度的升高而逐渐收敛于极点； • 第三，经纬线互相垂直； • 第四，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等；在 同一条经线上，纬差相同的经线弧长亦相等； • 第五，在同一纬度带内，经差相同的球面梯形形状相同、 面积相等；在同一经度带内，纬差相同的球面梯形形状 不同、面积不等，面积由低纬向高纬逐渐缩小。
大地经纬度：
地球椭球体
大地经度 大地测量法 大地纬度（法线与赤道面 的夹角）
地球参考椭球体面 法 线
地心经纬度：
地心经度（同大地经度）
地心纬度（任意点与地球椭 球体质量中心的连线与赤道 面的夹角） 地球椭球体
地球参考椭球体面； 任意点与地球椭球体 质量中心的连线
三种经纬度关系示意图
在地理学研究 及地图学的小 比例尺制图中， 由于要求的经 度不高，通常 将椭球体当成 正球体看待， 地理坐标均采 用地球表面的 球面坐标，大 地经纬度与地 心经纬度是统 一的。
§2 地球坐标系与大地定位
• 确定地面点或空间目标的位置时所采用的 参考系通常称为坐标系。 • 平面坐标系、球面坐标系 • 地球球面上任意一点的坐标，实质上就是 对原点而言的空间方向。 • 以地球的北极、南极、赤道、以及本初子 午线作为基本要素，即可构成地球球面的 地理坐标系统。
2.1 地理坐标
角度变形
• 角度变形是指过地面上某点的任意两条方 向线的夹角α，与经过投影后的角度α＇之 差值。 • 最大角度变形ω
ab sin 2 ab sin

2
★角度变形是形状变
形的具体标志

m 2 n 2 2mn sin 2 2 m n 2mn sin
相关概念
• 标准点：指地图投影面上没有任何变形的点， 即投影面与地球椭球体面相切的切点。离开标 准点愈远，则变形愈大。 • 标准线：指地图投影面上没有任何变形的一种 线，即投影面与地球椭球体面相切或相割的一 条或两条线。标准线分标准纬线和标准经线。 离开标准线愈远，则变形愈大。 • 等变形线：指投影面上变形值相等的各点的连 线。用来显示地图投影变形的大小和分布状况。
地 球 的 自 然 表 面
地 球 的 自 然 表 面
地 球 的 自 然 表 面
1.1 地球的自然表面
地球并不是一个正球体，而是一个极半 径略短、赤道半径略长，北极略突出、南 极略扁平，近于梨形的椭球体。
1.2 地球的物理表面
水准面：静止的自由海水面 、有无数多个 大地水准面：以静止状态的平均海水面穿过大陆和 岛屿，形成一个包围整个地球的，处处与铅垂线 保持垂直的连续封闭曲面。 地球内部质量不均一
地图投影变形
• 用地图投影的方法将球面向平面转绘时引 起的经纬网几何特性（长度（距离）、角 度（形状）和面积）的变化，称为地图投 影变形。
在一幅地图上，到底在哪些地方 有哪些多大的变形？
变形椭圆
演示实验图
数学方法图
变 形 椭 圆 构 成 示 意 图
变形椭圆
• 地球面上的微分圆（微小到足以忽略地球 曲面的影响而被视为平面）投影后产生的 椭圆或圆，统称为变形椭圆。
任意投影
等角投影
• 等角投影：指投影面上某点的任意两方向 线的夹角与地球椭球体面上相应的夹角相 等的投影。 • 等角投影必须满足的条件：α‘=α，或ω=0 或a = b 或θ=90° 且m = n • 等角投影又称正形投影或相似投影 • 等角投影适于编制风向、洋流、航海、航 空等交通图以及各种比例尺地形图。 • 等角投影的面积变形大
第2章 地图的数学基础
地图的数学基础，是指使地图上 各种地理要素与相应的地面景物之间 保持一定对应关系的经纬网、坐标网、 大地控制点、比例尺等数学要素。
圆形曲面
矛盾一
平面
地图投影
经纬网、坐标网、大地控制点
地 图
大的
矛盾二 比例尺
小的
§1 地球体
• 1.1 地球的自然表面
• 1.2 地球的物理表面 • 1.3 地球的数学表面
3.5 地图投影分类
（一）按地图投影的构成方法分类
方位投影 几何投影 圆柱投影 正轴投影 切投影
圆锥投影
伪方位投影 伪圆柱投影 非几何投影 伪圆锥投影 多圆锥投影
横轴投影
百度文库
斜轴投影
割投影
同心圆弧与同轴圆弧
正轴投影经纬线形状
3.5 地图投影分类
（二）按地图投影的变形性质分类 等角投影
等积投影
1．高斯—克吕格投影
• 高斯投影的构成方法：椭圆柱面为投影面、 地球椭球体、横轴、相切于某条经线、中 央经线、等角、一定经差范围（6°或 3°）、沿母线剖开展平 • 等角横轴切椭圆柱投影 • 经纬网形状： • 变形分布规律： • 6°或3°分带投影，其中1：5000和1：1 万采用经差3°分带 。
任意投影
• 既不等角也不等积，长度、角度、面积三 种变形同时存在。其角度变形小于等积投 影，而面积变形小于等角投影。 • 等距投影：保持沿变形椭圆的一个主方向 的长度比等于1，即a=1或b=1。 • 主要适用于一般参考图和中小学教学用图。
角度变形最大
等积投影
任 意 投 影
等距 投影
等角投影
面积变形最大
等积投影
• 等积投影：指投影面上的任意图形面积与地球 椭球体面上相应的图形面积相等的投影。 • 等积投影必须满足的条件： Vp = 0 ，或 P = 1，或ab = 1或a = 1/b或b = 1/a 或θ=90°，m n = 1。 • 等积投影的角度变形大 • 等积投影适用于编制面积无变形的政区图、人 口密度图、土地利用图、森林和矿藏分布图以 及其他自然和社会经济地图。
• 地理坐标，就是用经纬度表示地面 点位置的球面坐标。 1.天文经纬度
2.大地经纬度 3.地心经纬度
大地体
地球椭球体 地球椭球体
天文经纬度：
天文经度
天文测量法
天文纬度（铅垂线与赤道面 的夹角）
大地体
测有天文经纬度坐标的地面点， 称为天文点，它是一种地面控制 点。如大地坐标原点。符号为☆
大地水准面 铅 垂 线
变形
地图比例尺的表现形式
• 数字式、文字式（说明式）、图解式（直 线比例尺、斜分比例尺、复式比例尺）、 特殊比例尺（变比例尺、无级别比例尺）
将一张古地图上的“一尺折百里”用公制表示其数字式、文字式 （说明式）和直线式图解比例尺。
1 1 3 解：∵1尺= 米，1里=500米∴“一尺折百里”即 500 150000 100 3 1 数字式：1：150000或 150000 1
§4 地图投影的应用
制图区 域范围
地图比例尺 教学内容 投影方法
1：100万
中 小
等角圆锥投影
4.1 地形图投影
大中比例尺
高斯—克吕格投影
方位投影、圆锥投影 和伪圆锥投影 多圆锥投影、圆柱投 影和伪圆柱投影
中 大
中小比例尺 小比例尺
4.2 区域图投影 4.3 世界地图 投影
4.1 地形图投影
• 国家基本比例尺地形图：1：100万、1：50 万、1：25万、1：10万、1：5万、1：2.5 万、1：1万、1：5000 • 大中比例尺地形图采用高斯—克吕格投影 • 新编百万分一地形图则采用边纬与中纬变 形绝对值相等的双标准纬线等角圆锥投影
长度比与长度变形
• 长度比μ：就是投影面上一微分线段和球面上相应微分 线段之比。 • 长度比≠地图比例尺 • 局部比例尺=主比例尺×长度比 • 长度比是个变量，在地图上会因地点不同而不同；还会 在同一地点上因方向不同而不同 • 最大长度比a、最小长度比b、经线长度比m和纬线长度 比n • 长度变形就是长度比与1的差值。Vμ= μ －1 • 长度比是一个相对数量，只有大于1或小于1的数（个别 地方等于1），没有负数。而长度变形则有正有负。 • 长度比大于1，长度变形为正，表示投影后长度增加； 长度比小于1，长度变形为负，表示投影后长度缩小； 长度比等于1，长度变形为零，表示投影后长度不变。
投影不同 等变形线形状不同 不同形状的制图区域
3.4 地图投影方法（一）
• 透视几何法 ：透视 的几何原理
地球
缩小
平面
透明的地球仪
投影面
可展曲面
光源 （球心、球面或球外 ）
圆 柱 面
圆 锥 面
比较原始 、有很大局限性 不能将全球都投影下来
3.4 地图投影方法（二）
• 数学分析法 ：即用数学解析方法在球面与 投影面之间建立点与点的函数关系（函数 公式），并计算经纬线交点的平面坐标值， 最终在平面上绘出坐标网的一种投影方法。 是当前绝大多数地图投影均采用的方法。
2.2我国的大地坐标系统
大 地 控 制 网 平面控制网(由三角测量或导线测量完成 )
大地原点 大地坐标系 三角点△、导线点□ 地理坐标 1980中国国家大地坐标系 平面位置
高程控制网(由水准测量或三角高程测量完成)
高 绝对高程 水准原点 水准点 程 相对高程 高程系 1985年国家高程基准 值
高程位置 地面点位
（地球体各部分的密度不同） 各地重力方向有变化，整个 地球的重力场分布不规则。 地表面的铅垂线方向会有不同的 偏斜，重力线并非恒指向地心。 大地水准面仍是个不规则曲面
实际是一个起伏不平的重力等位面
1.3 地球的数学表面
• 地球椭球体就是绕大地体短轴（地轴）飞速旋转而成 的旋转椭球体 。 • 地球椭球体表面是可以用数学模型定义和表达的曲面。 地球椭球体可以称为是对地球形体的二级逼近。 地球椭球体三要素： 长轴（a）即赤道半径或长 半径 短轴（b）即极半径或短半 径 f=（a- b）/a 称为地球的 扁率
§3 地图投影
3.1 地图投影的意义
3.2地图比例尺
地图比例尺：地图上一直线段的长度与地面 上相应直线距离水平投影长度之比。 • 制图区域的范围很小 平面图
涵盖的实地范围很小；比 例尺很大，一般大于1： 5000；在同一幅地图内比 例尺处处相同。主要供工 程施工和编制详细规划等 工作使用 不考虑地球曲率影响， 把小块地区的地球表面 （大地水准面）当作水 平面，将地面上的地物 按铅垂线投影到水平面 上，用缩小的相似图形 表示其平面位置及相互 关系的测制而成的地图
Δh（cm） 0.078
2
7.85
31
71
125
196
785 78500
平面图
• • • • • 制图范围较小 无球面与平面的矛盾 不考虑地图投影方法 比例尺 平面位置关系
• 制图区域的范围较大：
②球面与平面的矛盾
地图投影
即一般地图上 所标注的比例 尺，其实质是 进行地图投影 时地球半径缩 小的比率，在 ①大与小的矛盾 地图上只体现 主比例尺 在无变形的点 或线上。 比例尺 局部比例尺 投影面上有 变形处的比 例尺
面积比与面积变形
• 面积比P就是投影面上的微分面积与球面上相应的微分 面积之比，即投影面上的变形椭圆的面积与球面上微分 圆的面积之比。 • P=a·b P=a·b=m·n P=m·n·sinθ • 面积比也是一个变量，在地图上会因点的位置不同而不 同。 • 面积变形（Vp）指面积比与1的差值，Vp = P－1 • 面积比同长度比一样，也是一个只有大于1或小于1（个 别地方等于1）而没有负值的相对数量，而面积变形则 有正有负。 • 面积比大于1，面积变形为正，表示投影后面积增大； 面积比小于1，面积变形为负，表示投影后面积缩小； 面积比等于1，面积变形为零，表示投影后面积不变。