抛物型方程

一 热传导方程

如果空间某物体内温度分布不均匀，内部将会产生热应力，当热应力过于集中时。物体就会产生裂变，从而破坏物体的形状，工程技术上称此种现象为裂变。当物体内点处的温度不同时，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。

1初值问题

一维热传导方程的初值问题是

2

22

(,),,0,(,0)(),.u u

a f x t x t t

x u x x x ϕ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<∞⎩

应用Fourier 变换解初值问题，可得到

(,)(,)()(,)(,)t u x t K x t d d K x t f d ξϕξξτξτξτξ∞∞-∞

-∞

=

-+

--⎰

⎰

⎰

其中

(,)K x t

=22/(4),0,0,0.x a t t t ->⎪≤⎩

若()(,)x C ϕ∈-∞∞且有界，(,)0f x t ≡时，(,)u x t 确定的函数确实是初值问题的有界解。

对于多维热传导方程的初值问题，我们同样可以用多维Fourier 变换求出它的解的表达式，以三维问题为例，我们有

3

3

(,,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,,)R

t

R

u x y z t K x y z t d d d d K x y z t f d d ξηζϕξηζξηζ

τξηζτξηζτξηζ

=

---+

----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

其中

2222()/(4)23/2

1,0(4)

(,,,)0,0.x y z a t e t a t K x y z t t π-++⎧>⎪=⎨⎪≤⎩

2混合问题

混合问题指由基本方程，初始条件和边界条件构成的问题。实际上，很多物体的运动不仅依赖于初始条件，而且还受边界条件的影响，从而构成微分方程的混合问题。

有界杆的热传导问题

2(,),0,0,(,0)(),0,

(0,)(,)0,0.t xx u a u f x t x l t T u x x t l u t u l t t T ϕ⎧-=<<<≤⎪

=≤≤⎨⎪==≤≤⎩

初始条件是指开始时刻物体的分布情况，可表示为

00(,,,)|(,,)

t u x y z t x y z ϕ==

边界条件有多种情，第一种情形，在物体边界上能够给定具体的温度分布的约束，即

1|(,,)

s u x y z ϕ=

这种边界条件称为第一类边界条件。

第二种情形，在物体边界上仅能给出热流速度的描述，即

2|(,,)

s u x y z n

ϕ∂=∂

这种边界条件称为第二类边界条件。 第三种情形，在物体边界上仅能给出物体内部温度场与外界温度场的另一种变化规律，例如自然冷却情形，周围介质温度为a u ，物体边界温度为s u ，自然冷却表现为热流速度与边界温差成正比，于是有

|()

s a s u u u n

β∂=-∂

这是第三类边界条件。

二 扩散方程

当物质在空间中的浓度分布不均时，物质将由浓度高的地方向浓度低的地方扩散，例如某种物质不均匀的分布在溶剂时，由于扩散作用，最终会形成浓度均匀的溶液，当两块物体相互接触时，在一定条件下，一种物质也会向另一种物质内部扩散。

在空间取某个子区域V ，它的边界曲面记为S ，边界曲面外法线方向记为n ，物质的浓度记为(,,,)u t x y z ，它既与时间t 有关，也与空间位置(,,)x y z 有关。 扩散定律直接量化描述了扩散过程中物质量的变化规律：

(,,,)

u dm D t x y z dSdt

n ∂=-∂

它表明在dt 时间内，物质由V 外部经dS 沿n 方向向内扩散，物质改变量dm 与n 方向上的浓度变化率

u n

∂∂成正比；上式中的(,,,)D t x y z 表示扩散系数，它恒取正

值；负号反映了物质总是由浓度高的部分向浓度的部分扩散，扩散方向与u n

∂∂方

向相反。

一方面，在时间段[]12,t t 内，物质扩散经闭曲面S 流入区域V 的物质的量为

2

1(,,,)

t t s

u Q D t x y z dSdt

n

∂=

∂⎰⎰

另一方面，同样在时间段[]12,t t 内，由于扩散的缘故，区域V 内的物质浓度由1(,,,)u t x y z 改变为2(,,,)u t x y z ，区域V 内的物质增加量为

2

1((,,,)(,,,))V

Q u t

x y z u t x y z dV

=

-⎰

由质量守恒定律，上面两式应该相等；再由格林公式就可化为

Q =

2

12

2

2

2

2

2

[(

)]0

t t V

u

u u u D dxdydzdt t

x

y

z

∂∂∂∂-+

+

=∂∂∂∂⎰⎰

由1t ，2t 和V 的任意性，就可得到扩散方程

2

2

2

22

2

(

)u u u u D t x

y

z

∂∂∂∂-+

+

∂∂∂∂0

=

三 应用问题的抛物型微分方程模型

大家知道，一切稳态的数学物理问题都可以用椭圆型微分方程模型来描述，，若在稳态之前有一个过程，则讨论这种渐进稳定的数学物理过程可以用抛物型为方程模型来描述，因此，把椭圆型和抛物型方程对照分析，可发现抛物型方程的许多应用。

1 永冻土层上关于路基热传导方程的微分方程模型

分析永冻土地上的路基的热传导过程是具有实际应用背景的，人们在永冻土上铺设道路，飞机跑道和某些结构的地基。分析这类地基的结构，有沥青层，干沙层，石子层，绝缘材料层，在下面是湿的沙土层和冻土层，外界的温度是关于时间的函数()a t ，冻土层的温度是不变的零下温度0T ，每个材料层都有热传导率

,1,,5i k i =L ，要分析空气温度传入路基的规律，各材料层的温度分布，半冻砂土

层的冻结厚度。

首先，由于路基各材料层是均匀的，所以要分析的热传导问题可归为一维的热传导方程研究。

第二，路基各材料层由式化为一维热传导方程为

2

2,1,,5

i i i i i u k u i t

c x

ρ∂∂=

=∂∂L

其中i u 是要求解的第i 个材料层的分布；i k ，i c 和i ρ为此材料层的传热系数，比热和密度，它们都是已知的常数，

i i i

k c ρ>0