第8讲 循环小数与分数

例题6
将 0.32˙1˙ 乘以一个数时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了 0.0˙3˙ ， 正确结果应该是多少？ 【答案】
0.32˙1˙－0.32 1˙＝0.0001˙0˙ 0.03÷0.0001˙ 0˙ ≈300 则 3.2˙1˙ ×300≈964
选讲题
※ 我们把由数字 0 和 7 组成的小数叫“特殊数”，例如 7.0˙7˙ 、77.007 都是特殊数，
（2）0.1˙ 23˙
（3）0.1˙ 89˙
（2）0.1˙23˙＝ 123 ＝ 41 （3）0.1˙89˙＝ 21 ＝ 7
999 333
111 37
（5）5.1˙ 48˙
（6）1.23˙ 4˙
（5）5.1˙48˙＝5＋ 4 ＝5 4 （3）1.23˙4˙＝＝5 22
27 27
165
例题4
计算并且用小数表示结果。
（4） 44 ＝4.8˙，小数点后第 96 位上的数字是 8。 9
练习2
将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第 100 位上的数字。
（1） 6
【答案】7
（2） 5
13
（3） 3
14
（4） 22 3
由题意可得：
（1）6 ＝0.8˙57142˙，100÷6＝16（组）……4，小数点后第 100 位上的数字是 1。 7
不是从小数点后第一位起，一个数字或几个数字 依次不断重复出现的小数。
小热身
1． 将下列分数化为循环小数。
（1） 2 【答案】 3
（2） 5
9
2 ＝0.6˙；
5 ＝0.5˙；
3
9
2．将下面的数分解质因数。
（1）99
（2）999
（3） 2
11
2 ＝0.1˙ 8˙； 11
（4） 1
6
1 ＝0.16˙ 6
90 90 90 90 90 9
例题5
将最简真分数 a 化成小数后，从小数点后第一位开始的连续 n 位之和为 9006， 7
a 和 n 分别是多少？
【答案】 17＝0.142857…（6位小数循环），27＝0.285714…（6位小数循环）， 37＝0.428571（6位小数循环），47＝0.571428（6位小数循环）， 57＝0.714285（6位小数循环），67＝0.857142（6位小数循环）， 不管是七分之几，循环节都是那几个数（142857）， 一个循环节的和是：1+4+2+8+5+7＝27， 9006÷27＝333…15，15比27少12，在连续的数中只有5+7＝12， 所以这个分数的循环节应该是：142857，所以a＝1． 因为1+4+2+8＝15，所以有333个循环的位数再加上4位数 n＝6×333+4＝2002 a为1，n为2002。
如果我们将 1 写成若干个“特殊数”的和，最少要写成多少个？
【答案】 假设这个等式两边一边是 1，另外一边是由 0 和 7 组成的数，那么等式两边同
时除以 7 就变成另外一个等式，其中等式的左边是 1 ，等式的右边全是由 0 和 1 组
7
成的数，于是这道题目就变成全由 0 和 1 组成的数，相加得到 0.1˙42857˙，显然需要 至少八个这样的数。
（3）90
【答案】 99＝3²×111；
999＝33×371；
90＝21×3²×51
例题1
将下列分数化为循环小数。
08˙57142˙ 35
14 37
14 ＝0.3˙78˙ 37 11 45 11 ＝0.24˙ 45
22 101
22 ＝0.2˙178˙ 101 14 1001 14 ＝0.01˙3986˙ 1001
（2）0.5˙ 56647˙
（4）0.38˙ ÷0.5˙ 18˙
（4） 35 ÷ 518 ＝ 111
90 999 148
练习4
计算并且用小数表示结果。
（1）0.0˙ 2˙ ＋0.3˙ 1˙ ＋0.8˙ 1˙ ；
【答案】 （1） 2 31 81＝38
99 99 99 33
（3）0.6˙ 7˙ ＋0.2˙ 12˙ ＋0.1˙ 11020˙
【答案】 （3） 67 ＋ 212 ＋ 111020 ＝ 9
99 999 999999 10
（2）0.1˙×0.1˙2˙ ×0.23˙
（2） 1 12 21＝461
9 99 90 990 （4）0.35˙ ＋0.46˙ ＋0.57˙ ＋0.68˙ ＋0.79˙ （4）＝ 32 ＋ 42 ＋ 52 ＋ 62 ＋ 72 ＝ 26
（6）2.45˙810˙＝2＋ 5810－4 ＝ 2 2903
99990
49995
（5）0.361˙35˙＝ 36135－36 ＝ 1337 99900 3700
练习3
将下列循环小数化为分数。
（1）0.7˙ 4˙ 【答案】
（1）0.7˙＝ 7 9
（4）0.3˙ 45˙
【答案】
（4）0.3˙45˙＝ 115 333
将下列循环小数化为分数。
（1）0.4˙
【答案】
（1）0.4˙＝ 4 9
（2）0.2˙ 4˙ （2）0.2˙4˙＝ 24 ＝ 8
99 33
（3）0.1˙ 85˙
（3）3.1˙85˙＝3＋ 5 ＝ 3 5
27 27
（4）0.56˙
【答案】
（5）0.361˙ 35˙
（6）2.45˙ 810˙
（4）0.56˙＝ 56－5 ＝ 17 90 30
（ 1）0.1˙2˙＋0.1˙3˙
【答案】
(1)0.2˙ 6˙
（3）1.8˙ 6˙ ×0.3˙ 51˙
【答案】
(3)1 190
297
（5）0.1˙ ＋0.2˙ ＋0.3˙ ＋0.4˙ ＋0.5˙ ＋0.6˙
【答案】
1 2 3 4 5 6＝7 999999 3
（2）0.1˙ 2˙ ＋0.43˙ 5˙
（2） 5 ＝0.3˙84615˙，100÷6＝16……4，小数点后第 100 位上的数字是 6。 13
（3） 3 ＝0.21˙42857˙，(100－1)÷6＝16（组）……3，小数点后第 100 位上的 14
数字是 2。
（4） 22 ＝7.3˙，小数点后第 100 位上的数字是 3。 3
例题3
练习1
将下列分数化为循环小数。
7
1
27
33
【答案】
7 ＝0.2˙59˙ 27
1 ＝0.10˙3˙ 33
29
4
36
45
【答案】
29 ＝0.805˙ 36
4 ＝0.08˙ 45
22 14
22 ＝1.5˙71428˙ 14 14 37
14 ＝0.3˙78˙ 37
例题2
将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第 96 位上的数字。
第八讲
五年级寒假C版课件
循环小数与分数
数学教研组 编写
知识要点：
循环小数与分数
循环小数
从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字， 依次不断地重复出现的小数。
循环节
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的 一个或几个数字。
纯循环小数
从小数点后第一位起，一个数字或几个数字依次 不断重复出现的小数。
混循环小数
（1） 1 7
【答案】
（2） 5 13
（3） 10 13
（4） 44 9
由题意可得：
（1） 1 ＝0.1˙42857˙，96÷6＝16（组），小数点后第 96 位上的数字是 7。 7
（2） 5 ＝0.3˙84615˙，96÷6＝16（组），小数点后第 96 位上的数字是 5。 13
（3） 10 ＝0.7˙69230˙，(96÷6)÷6＝16（组），小数点后第 96 位上的数字是 0。 13