非马尔科夫过程的非各态历经性
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1/ 2 我们有:Z (ω ) → ξ (iω )1 / 2 所以 I (ω) = V (ω) Z (ω) = (iω) V (ω)
I (t ) = 0 D V (t )
1/ 2 t
(b)分数积分的意义: 分数积分的意义: 分数积分的意义 t d x ( t ) = v , x ( t ) = ∫ v ( s ) ds 0 dt t 1 dν v(s) x (t ) = v, x (t ) = ν ∫0 ( t s ) 1ν ds Γ (ν ) dt 扩散粒子的微观运动是完成了一条双绞线和处处非可微 曲线,对于这个曲线, 曲线,对于这个曲线,粒子的轨道是速度的一个功率权重的 平均.事实上,它是由粒子的速度记忆效应引起的, 平均.事实上,它是由粒子的速度记忆效应引起的,对于分 数路径,瞬间速度和位移并不贡献到粒子的宏观运动. 数路径,瞬间速度和位移并不贡献到粒子的宏观运动.
*A barrier passage process
U (x) = W ( x, t) = 1 m ω b2 x 2 2 [x ( t ) x ( t ) 1 exp 2 2σ x ( t ) 2π σ x ( t )
]
2
t 2 x ( t ) = 1 + ω b ∫ Φ δ ( t ' ) dt ' x 0 + Φ δ ( t ) v 0 0
反常扩散
0 < δ < 1, x 2 (t ) ∝ t δ 1 < δ < 2,
出现在破缺媒介及非大数统计, 出现在破缺媒介及非大数统计, 例如: 湍流,等离子体, 例如: 湍流,等离子体, 细胞环境等. 细胞环境等. 渗透媒介,生长表面, 渗透媒介,生长表面,
subdiffusion
δ = 1, normal diffusion
10
0
δ=1.0 δ=0.7 δ=0.5
Pfus
10
-1
10 190
-2
200
210
220
230
240
250
260
Ecm/MeV
100
Mo+100 Mo
反应核系统的熔合几率随质心能量的变化, 反应核系统的熔合几率随质心能量的变化, 黑点是实验结果. 黑点是实验结果
2)分数朗之万方程 2)分数朗之万方程
这里0 Dt1α 是一个 分数导数,即黎曼积分 分数导数,
Dx α a
1 f ( x) = ( x y )α 1 f ( y )dy , Γ(α ) ∫ a
x
( x ≥ a)
Jing-Dong Bao: Europhys. Lett. 67, 1050 (2004). Jing-Dong Bao: J. Stat. Phys. 114, 503 (2004).
4. Tsallis 熵和统计
S q [ p ( x )] = k B 1 dx [ p ( x )] q ∫ q 1
1 1 [1 β (1 q )V ( x ) ]1 q p( x) = Zq
∫ p( x, v)dxdv = 1,
p q ( x, v ) E ( x, v )dxdv = U ∫
P ( x , t ) 2 P ( x, t ) = D P ( x, t ) = 2 t x x (t ) 2 exp 4 Dt 4π Dt 1
或等价的随机微分方程的解: 或等价的随机微分方程的解:
m(t ) + γx (t ) = ξ (t ), x
ξ (t ) = 0, ξ (t )ξ ( s ) = 2 Dδ (t s )
5. Levy Flights
x(t ) = V ' ( x ) + L(t ) p(k ) = ∫ dL exp(ikL) p( L) = exp( D | k | )
特点: 分布具有长尾巴, 特点: 分布具有长尾巴, 自由粒子和 在谐振子势坐标二次距发散. 在谐振子势坐标二次距发散.
Jing-Dong Bao, Yan Zhou: Phys. Rev. Lett. 94, 188901 (2005).
δ = 1; δ0 < δ < 1
0 < δ < δ0
Where
δ
is the anomalous fractional constant ;
a M is the largest positive root of the equation ~ s2 + γ sδ ω 2 = 0
δ
b
The effective friction constant is written as
0
1 = erfc 2
2σ x ( t ) x (t )
It is also called the characteristic function χ ( x0 , v0 , t )
Jing-Dong Bao, Yi-Zhong Zhuo: Phys. Rev. C 67, 064606 (2003).
π
x π /2 4x 3/ 2 / 3 π Γ( + 1) +1/ 2 x Γ( + 3 / 2) exp(x)erf ( x ) 2 π / x[ln(4x) 2]
π /2
2 x /π Γ( + 1) 1/ 2 x Γ( + 1 / 2) 1 / πx + exp(x)erf ( x ) ln(4x) / πx
q=1, 退化到 退化到Boltzmann统计 统计
V (x) 1 exp p( x) = k T Z1 B
5. 连续时间随机行走 连续时间随机行走(CTRW)模型 模型
连续时间随机行走(CTRW)模型. 连续时间随机行走(CTRW)模型.某一晶格位置上的等 (CTRW)模型 待时间长短用圆圈表征,圆的直径正比于等待时间. 待时间长短用圆圈表征,圆的直径正比于等待时间.
σ x2 ( t ) = 2 mk B T
∫ dt ∫ dt
1 0 0
t
t1
2
Φ δ ( t t1 ) Φ δ ( t t 2 )γ ( t1 t 2 )
J. D. Bao, D. Boilley, Nucl. Phys. A 707, 47 (2002). D. Boilley, Y. Abe, J. D. Bao, Eur. Phys. J. A 18, 627 (2004).
正常扩散
x ( t ) = 0, x 2 ( t ) = 2 Dt
Einstein, Ann. Phys. (Leipzig) 17, 549 (1905). English translation: Investigations on the Theory of Brownian Movement (Dover, New York, 1956). 分子运动论,布朗运动,无规行走 分子运动论,布朗运动, 这是扩散方程的解: 这是扩散方程的解:
*这个问题很重要,构成了平衡态统计物理和大部分 这个问题很重要, 非平衡态统计物理的基础; 非平衡态统计物理的基础; 太阳系的稳定系, 孤立受激分子的稳定性; 太阳系的稳定系, 孤立受激分子的稳定性; 太阳系的稳定系 很少有好的例子表明在孤立系统(自由粒子)各态历 很少有好的例子表明在孤立系统(自由粒子) 很少有好的例子表明在孤立系统 经被破坏; 经被破坏; 近年来,分数布朗运动和非玻耳兹曼统计为这一问 近年来,分数布朗运动和非玻耳兹曼统计为这一问 近年来 题 的研究打开了话题
(a)自相似系统 自相似系统: 自相似系统
R
C
瞬态欧姆定率的富立叶变换: Z (ω ) I (ω ) = V (ω )
Z (ω ) = R + [iω C + 1 Z (ω ) ] ,
1
Z (ω ) = R 2 +
R 2 4 + R iω C
在电阻和电容均接近零的极限下,但 R C = ξ 2 保持一个常数,
1 α = ± 分数计算的例子 2
半积分
d 1/ 2 Dx 1/ 2 f ( x) = 1/ 2 f ( x) 0 dx 2C x / π
函数
f ( x) C 1/ x x x x , > 1 exp(x) ln x
半导数
d 1/ 2 D1/ 2 f ( x) = 1/ 2 f ( x) 0 x dx C / πx 0
The response function is given by
~ γ δ sin πδ Φ δ (t ) = π
∞
∫
0
r δ exp( tr ) dr 2 ~ 2 r 2 δ + 2 ρ γ δ cos πδ + R δ ( t ) ~ ρ +γδ 1 < δ < 2;
with ρ = r 2 ω b2 and exp( a M t ) ~ 2 a + δ γ a δ 1 , δ M M (a 1 a 2 )1 [exp( a 1 t ) exp( a 2 t ) ], Rδ ( t ) = exp( a M t ) ~ a δ 1 + Ξ ( t ), 2 a M + δγ δ M Ξ ( t ),
玻耳兹曼建立了各态历经理论 玻耳兹曼建立了各态历经理论 内容:长时间后,可观测量的系综平均等于时间 内容:长时间后, 内容 平均; 平均; 特点:对各态历经系统,具有唯一的定态分布, 特点:对各态历经系统,具有唯一的定态分布, 特点 即在能量面上为一常数; 即在能量面上为一常数; (统计物理的基础:微正则系统的等概率法则) 统计物理的基础:微正则系统的等概率法则) 目的:在相空间理解不可逆的起源. 目的:在相空间理解不可逆的起源. 目的
δ 1 x (t) + U ' ( x ) = ξ (t) δ 1 t
m ( t ) + m γ x
δ
3.分数Fokker-Planck方程 分数 方程
P ( x , t ) 2 1 α [U ' ( x ) P ( x , t ) ] + κ α 2 P ( x , t ) = 0 Dt α t x x
左: 正常布朗运动; 右: Levy flights( =1.5 )
2. 各态历经性的被破坏
统计物理平衡态满足基本条件: (1)Einstein涨落耗散关系;D = β k B T 涨落耗散关系; 涨落耗散关系 (2)能量均分定理; 能量均分定理; 能量均分定理 (3)Kubo第一和第二涨落耗散定理; 第一和第二涨落耗散定理; 第一和第二涨落耗散定理 (4)各态历经性. 各态历经性. 各态历经性
考虑问题的出发点-------重核熔合障碍
50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
ULDM /MeV
z/R 0
( Z1 , A1 ) ( Z 2 , A2 )
以后很少有进一步和系统的工作发表.现有:单体耗散,墙加窗公式, 以后很少有进一步和系统的工作发表.现有:单体耗散,墙加窗公式,两 体粘滞模型, 体粘滞模型,线性响应理论以及混沌修正单体摩擦等多种模型 . * 强度应降低 !
反常扩散和非各态历经
包景东
(北京师范大学物理系 北京师范大学物理系) 北京师范大学物理系
2005. 11. 25 于北京 于北京CCAST
1. 反常扩散的描述方法 2. 各态历经性的被破坏
1. 反常扩散的描述方法
包景东: 分数布朗运动和反常扩散, 物理学进展, 包景东 分数布朗运动和反常扩散 物理学进展 25(4), 359 (2005)
J (ω ) ∝ ω δ 1 )
∞
例如:non-Ohmic谱 例如:non-Ohmic谱(
ξ (t )ξ (t' ) = mkBTγ (t t' ) = 2mkBT ∫
dω
0
π
J (ω) cosω(t t' )
x 2 (t ) ∝ t δ
Jing-Dong Bao, Yi-Zhong Zhuo: Phys. Rev. C 67, 064606 (2003).
~ = γ ω 1δ sin 1 (δπ 2) γδ δ r
The passing probability (fusion probability) over the saddle point is defined by
∞
Ppass ( x 0 , v 0 , t ) =
∫ W ( x , t ) dx
superdiffusion
*反常扩散的描述方法: 反常扩散的描述方法: 反常扩散的描述方法 1)广义朗之万方程 广义朗之万方程
m ( t ) + x
∫
t
0
γ( t s ) x ( s ) ds + U ' ( x ) = ξ ( t ),
ξ (t) = 0,
ξ ( t ) ξ ( s ) = k B T γ ( t s ).
I (t ) = 0 D V (t )
1/ 2 t
(b)分数积分的意义: 分数积分的意义: 分数积分的意义 t d x ( t ) = v , x ( t ) = ∫ v ( s ) ds 0 dt t 1 dν v(s) x (t ) = v, x (t ) = ν ∫0 ( t s ) 1ν ds Γ (ν ) dt 扩散粒子的微观运动是完成了一条双绞线和处处非可微 曲线,对于这个曲线, 曲线,对于这个曲线,粒子的轨道是速度的一个功率权重的 平均.事实上,它是由粒子的速度记忆效应引起的, 平均.事实上,它是由粒子的速度记忆效应引起的,对于分 数路径,瞬间速度和位移并不贡献到粒子的宏观运动. 数路径,瞬间速度和位移并不贡献到粒子的宏观运动.
*A barrier passage process
U (x) = W ( x, t) = 1 m ω b2 x 2 2 [x ( t ) x ( t ) 1 exp 2 2σ x ( t ) 2π σ x ( t )
]
2
t 2 x ( t ) = 1 + ω b ∫ Φ δ ( t ' ) dt ' x 0 + Φ δ ( t ) v 0 0
反常扩散
0 < δ < 1, x 2 (t ) ∝ t δ 1 < δ < 2,
出现在破缺媒介及非大数统计, 出现在破缺媒介及非大数统计, 例如: 湍流,等离子体, 例如: 湍流,等离子体, 细胞环境等. 细胞环境等. 渗透媒介,生长表面, 渗透媒介,生长表面,
subdiffusion
δ = 1, normal diffusion
10
0
δ=1.0 δ=0.7 δ=0.5
Pfus
10
-1
10 190
-2
200
210
220
230
240
250
260
Ecm/MeV
100
Mo+100 Mo
反应核系统的熔合几率随质心能量的变化, 反应核系统的熔合几率随质心能量的变化, 黑点是实验结果. 黑点是实验结果
2)分数朗之万方程 2)分数朗之万方程
这里0 Dt1α 是一个 分数导数,即黎曼积分 分数导数,
Dx α a
1 f ( x) = ( x y )α 1 f ( y )dy , Γ(α ) ∫ a
x
( x ≥ a)
Jing-Dong Bao: Europhys. Lett. 67, 1050 (2004). Jing-Dong Bao: J. Stat. Phys. 114, 503 (2004).
4. Tsallis 熵和统计
S q [ p ( x )] = k B 1 dx [ p ( x )] q ∫ q 1
1 1 [1 β (1 q )V ( x ) ]1 q p( x) = Zq
∫ p( x, v)dxdv = 1,
p q ( x, v ) E ( x, v )dxdv = U ∫
P ( x , t ) 2 P ( x, t ) = D P ( x, t ) = 2 t x x (t ) 2 exp 4 Dt 4π Dt 1
或等价的随机微分方程的解: 或等价的随机微分方程的解:
m(t ) + γx (t ) = ξ (t ), x
ξ (t ) = 0, ξ (t )ξ ( s ) = 2 Dδ (t s )
5. Levy Flights
x(t ) = V ' ( x ) + L(t ) p(k ) = ∫ dL exp(ikL) p( L) = exp( D | k | )
特点: 分布具有长尾巴, 特点: 分布具有长尾巴, 自由粒子和 在谐振子势坐标二次距发散. 在谐振子势坐标二次距发散.
Jing-Dong Bao, Yan Zhou: Phys. Rev. Lett. 94, 188901 (2005).
δ = 1; δ0 < δ < 1
0 < δ < δ0
Where
δ
is the anomalous fractional constant ;
a M is the largest positive root of the equation ~ s2 + γ sδ ω 2 = 0
δ
b
The effective friction constant is written as
0
1 = erfc 2
2σ x ( t ) x (t )
It is also called the characteristic function χ ( x0 , v0 , t )
Jing-Dong Bao, Yi-Zhong Zhuo: Phys. Rev. C 67, 064606 (2003).
π
x π /2 4x 3/ 2 / 3 π Γ( + 1) +1/ 2 x Γ( + 3 / 2) exp(x)erf ( x ) 2 π / x[ln(4x) 2]
π /2
2 x /π Γ( + 1) 1/ 2 x Γ( + 1 / 2) 1 / πx + exp(x)erf ( x ) ln(4x) / πx
q=1, 退化到 退化到Boltzmann统计 统计
V (x) 1 exp p( x) = k T Z1 B
5. 连续时间随机行走 连续时间随机行走(CTRW)模型 模型
连续时间随机行走(CTRW)模型. 连续时间随机行走(CTRW)模型.某一晶格位置上的等 (CTRW)模型 待时间长短用圆圈表征,圆的直径正比于等待时间. 待时间长短用圆圈表征,圆的直径正比于等待时间.
σ x2 ( t ) = 2 mk B T
∫ dt ∫ dt
1 0 0
t
t1
2
Φ δ ( t t1 ) Φ δ ( t t 2 )γ ( t1 t 2 )
J. D. Bao, D. Boilley, Nucl. Phys. A 707, 47 (2002). D. Boilley, Y. Abe, J. D. Bao, Eur. Phys. J. A 18, 627 (2004).
正常扩散
x ( t ) = 0, x 2 ( t ) = 2 Dt
Einstein, Ann. Phys. (Leipzig) 17, 549 (1905). English translation: Investigations on the Theory of Brownian Movement (Dover, New York, 1956). 分子运动论,布朗运动,无规行走 分子运动论,布朗运动, 这是扩散方程的解: 这是扩散方程的解:
*这个问题很重要,构成了平衡态统计物理和大部分 这个问题很重要, 非平衡态统计物理的基础; 非平衡态统计物理的基础; 太阳系的稳定系, 孤立受激分子的稳定性; 太阳系的稳定系, 孤立受激分子的稳定性; 太阳系的稳定系 很少有好的例子表明在孤立系统(自由粒子)各态历 很少有好的例子表明在孤立系统(自由粒子) 很少有好的例子表明在孤立系统 经被破坏; 经被破坏; 近年来,分数布朗运动和非玻耳兹曼统计为这一问 近年来,分数布朗运动和非玻耳兹曼统计为这一问 近年来 题 的研究打开了话题
(a)自相似系统 自相似系统: 自相似系统
R
C
瞬态欧姆定率的富立叶变换: Z (ω ) I (ω ) = V (ω )
Z (ω ) = R + [iω C + 1 Z (ω ) ] ,
1
Z (ω ) = R 2 +
R 2 4 + R iω C
在电阻和电容均接近零的极限下,但 R C = ξ 2 保持一个常数,
1 α = ± 分数计算的例子 2
半积分
d 1/ 2 Dx 1/ 2 f ( x) = 1/ 2 f ( x) 0 dx 2C x / π
函数
f ( x) C 1/ x x x x , > 1 exp(x) ln x
半导数
d 1/ 2 D1/ 2 f ( x) = 1/ 2 f ( x) 0 x dx C / πx 0
The response function is given by
~ γ δ sin πδ Φ δ (t ) = π
∞
∫
0
r δ exp( tr ) dr 2 ~ 2 r 2 δ + 2 ρ γ δ cos πδ + R δ ( t ) ~ ρ +γδ 1 < δ < 2;
with ρ = r 2 ω b2 and exp( a M t ) ~ 2 a + δ γ a δ 1 , δ M M (a 1 a 2 )1 [exp( a 1 t ) exp( a 2 t ) ], Rδ ( t ) = exp( a M t ) ~ a δ 1 + Ξ ( t ), 2 a M + δγ δ M Ξ ( t ),
玻耳兹曼建立了各态历经理论 玻耳兹曼建立了各态历经理论 内容:长时间后,可观测量的系综平均等于时间 内容:长时间后, 内容 平均; 平均; 特点:对各态历经系统,具有唯一的定态分布, 特点:对各态历经系统,具有唯一的定态分布, 特点 即在能量面上为一常数; 即在能量面上为一常数; (统计物理的基础:微正则系统的等概率法则) 统计物理的基础:微正则系统的等概率法则) 目的:在相空间理解不可逆的起源. 目的:在相空间理解不可逆的起源. 目的
δ 1 x (t) + U ' ( x ) = ξ (t) δ 1 t
m ( t ) + m γ x
δ
3.分数Fokker-Planck方程 分数 方程
P ( x , t ) 2 1 α [U ' ( x ) P ( x , t ) ] + κ α 2 P ( x , t ) = 0 Dt α t x x
左: 正常布朗运动; 右: Levy flights( =1.5 )
2. 各态历经性的被破坏
统计物理平衡态满足基本条件: (1)Einstein涨落耗散关系;D = β k B T 涨落耗散关系; 涨落耗散关系 (2)能量均分定理; 能量均分定理; 能量均分定理 (3)Kubo第一和第二涨落耗散定理; 第一和第二涨落耗散定理; 第一和第二涨落耗散定理 (4)各态历经性. 各态历经性. 各态历经性
考虑问题的出发点-------重核熔合障碍
50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
ULDM /MeV
z/R 0
( Z1 , A1 ) ( Z 2 , A2 )
以后很少有进一步和系统的工作发表.现有:单体耗散,墙加窗公式, 以后很少有进一步和系统的工作发表.现有:单体耗散,墙加窗公式,两 体粘滞模型, 体粘滞模型,线性响应理论以及混沌修正单体摩擦等多种模型 . * 强度应降低 !
反常扩散和非各态历经
包景东
(北京师范大学物理系 北京师范大学物理系) 北京师范大学物理系
2005. 11. 25 于北京 于北京CCAST
1. 反常扩散的描述方法 2. 各态历经性的被破坏
1. 反常扩散的描述方法
包景东: 分数布朗运动和反常扩散, 物理学进展, 包景东 分数布朗运动和反常扩散 物理学进展 25(4), 359 (2005)
J (ω ) ∝ ω δ 1 )
∞
例如:non-Ohmic谱 例如:non-Ohmic谱(
ξ (t )ξ (t' ) = mkBTγ (t t' ) = 2mkBT ∫
dω
0
π
J (ω) cosω(t t' )
x 2 (t ) ∝ t δ
Jing-Dong Bao, Yi-Zhong Zhuo: Phys. Rev. C 67, 064606 (2003).
~ = γ ω 1δ sin 1 (δπ 2) γδ δ r
The passing probability (fusion probability) over the saddle point is defined by
∞
Ppass ( x 0 , v 0 , t ) =
∫ W ( x , t ) dx
superdiffusion
*反常扩散的描述方法: 反常扩散的描述方法: 反常扩散的描述方法 1)广义朗之万方程 广义朗之万方程
m ( t ) + x
∫
t
0
γ( t s ) x ( s ) ds + U ' ( x ) = ξ ( t ),
ξ (t) = 0,
ξ ( t ) ξ ( s ) = k B T γ ( t s ).