线性代数课件(完整版)同济大学

a11 a12 a13
a21 a22 a23
引进记号
a31 a32 a33
原则：横行竖列
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
相减而得.
二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2

b1 b2
其求解公式为

x1


x2

b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
原则：横行竖列
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2

b1 b2
求解公式为

x1


x2

b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
4
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1

a21
x1

a22 x2

b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22

a11a22

a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 (方程组的系数行列式) a21 a22
(a a a a )x a b b a
11 22
12 21 2
11 2
1 21
当
aa 11 22

a12a时21，该0方程组有唯一解
ba a b
x 1 22
12 2
a a a a 1
11 22
12 21
a b ba
x 11 2
1 21
a a ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a 2
11 22
12 21
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
a11 a12 数表 a21 a22
a11 a12 记号 a21 a22
表达式 a11a22 称a12为a2由1 该
数表所确定的二阶行列式，即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
其中，aij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
线性代数（第五版）
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
4 6 32 4 8 24 14.
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解 方程左端 D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 6 0 得
x 2 或 x 3.
x2 x2

12 1
3 2
解 因为 D
3 (4) 7 0
21
12 2
D1 1
12 (2) 14 1
3 12
D
3 24 21
2 21
所以
x1

D1 D

14 7

2,
x2

D2 D

21 7

3
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
3
第一章
• 内容提要
行列式 •行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 行列式的概念.
§3 n 阶行列式的定义
§4 对换 （选学内容）
§5 行列式的性质
行列式的性质及计算.
§6 行列式按行（列）展开
§7 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
§2 全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.
显然 Pn n (n 1) (n 2)L 3 2 1 n!
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
D1

b1 b2
a12 a22
D2

a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1

b1a22 a11a22
a12b2 a12a21

D1 D
x2

a11b2 a11a22
b1a21 a12a21

D2 D
例1
求解二元线性方程组

3 x1 2 2 x1