第四章 -green函数法

方程可化简为：
1 r2
r

r
2
u r


0
解方程得：
u(r)

C1 r
C2
其中 C1, C2 是任意常数。
特别地，取 C1 1, C2 0, 即
u(r) 1 r
称为三维拉普拉斯方程的基本解。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
二维拉普拉斯方程的圆对称解
极坐标：
u
n

1 r


1 r
u n

dS

4
u

4

u n


0
令 0, 则
4 u(M0 )
0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
u 这是由于 u(x,y,z) 一阶连续可导, n 有界。
故 uM0
1
4



u
该点的值。构造辅助函数
1
1
v
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
其中 (x, y, z) 为空间中任意一点。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
函数 v
r x x0 2 y y0 2 z z0 2

n
2
2
其中 u 是 u 在球面 上的平均值.
同理 1 u dS 1
r n

将上述两式代入到等式：
u dS
n [u


1 r

4

u n

1 u]dS 0

n r n


数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质：
1) 纽曼问题有解的必要条件
设 u 是以 为边界的区域 内的调和函数, 在
上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 中取 u 为上述调和函数,取 v 1, 有


u n
dS

0.
课本P109
上连续，在 上任一点法向导数存在并且等于
已知函数 f ，即：
2u x2

2u y 2

2u z 2
=0，
( x,
y,
z)



u n
|

f.
这类问题也叫做纽曼(Neumann)问题。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
上述两类问题都是在边界上给出边界条件, 在 区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称 为内问题.
这类问题也叫做狄利克雷(Dirichlet)问题。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数，所以狄 利克雷问题也可以叙述为：在区域 内找一个调 和函数, 它在边界 上的值已知。
第二边值问题
在光滑的闭曲面 上给出连续函数 f，寻找函数
u(x,y,z) ：在 的内部是调和函数, 在
1 r



1 r2


1 a2
,
1 u 1 u
dS
dS 0.
Ka r n
a Ka n

数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
§4.3 格林（Green）函数
1 Green函数的引入
对狄利克莱问题
u 0, u f
(x, y, z)
由调和函数的积分表达式，其解可以表示成 M0
M0 为中心，a 为半径且完全落在 内的球面, 则
u
M0

1
4 a2

Ka
udS
证：利用u

M0



1
4



u

M

n

1 rM0 M


1 rM0 M
u M
n


dS
取 Ka ,
n

1 r


r

在第二格林公式

( u 2v

v 2 u)dV



(u
v n

v
u )dS n
中,
取 u 为调和函数,
而令 v 1 , r
并以 K
代替第二格林公式中的 . 则，我们有
K

u
2
1 r

1 r

2
u
dV


[u


1 r
n


1 r
u ]dS . n
在 K 内,
2u 0, 2 1 0, r
在球面 上,


1 r

n




1 r

r

1 r2

1
2
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
因此
u


1 r

dS

1
udS 1 u 4 2 4 u
y

r
sin

sin
z r cos
在球面坐标下, 拉普拉斯方程为:
1 r2
r

r
2
u r


r2
1
sin



sin

u



1
r2 sin2
2u
2

0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
球对称解 u=u(x,y,z)在以原点为中心的同一球面的值 为常数。u 仅为半径 r 的函数:u=u(r)。
所以诺伊内问题有解的必要条件为 fdS 0.
注：这也是纽曼内问题有解的充分条件（证明略）。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
2)拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u1, u2是定解问题的两个解，则它们的差
v u1 u2
必是原问题满足零边界条件的解。
即: 对于狄利克雷问题或纽曼问题，
除点M0 外处处满足拉普拉斯方程,它称为三维拉普
拉斯方程的基本解。
以 M0为中心, 以充分小的正数 为

半径做球面 , 在 内挖去以
为球面的球 K
在区域 K 可任意求导。
得到区域 K . 内直到边界上，v

1 r
K
M0

数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
高斯(Gauss)公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z),
Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续,在 内
有一阶连续偏导数，即 P,Q, R C C1
则： P Q R


x

y

z
dV
2v 0,
或
v | 0
2v 0,
v
(*)
n | 0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
在第一格林公式
u2vdV

v


u
n
dS


grad u grad v
dV
中取 u v u1 u2 , 由 v 是调和函数, 得
1
1
1 u
u(M0 ) 4
[u ( )
]dS
n rMM0 rMM0 n

M

n
1 rM 0 M

1 rM 0 M
u M
n


dS
rM 0M 表示距离 x x0 2 y y0 2 z z0 2 .
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
2u F, u 对于Possion问题
与之相对应的还有外问题。例如，当确定某物
体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域 外
找一个调和函数, 它在边界上的值已知。
注意：外问题需附加条件
lim u(x, y, z) 0,
r
以保证解的唯一性。
(r x2 y2 z2 ).
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
§4.2 格林公式


u
x 2

y2

z 2
dV
Q u v y
R u v z
grad u grad v dV u2v dV .


数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
其中梯度向量
grad
u


u x
,
u y
,
u z
u | f
按照上面的过程，也可得到
uM0
1
4


u

M

n

1 rM 0 M

1 rM 0 M
u M
n


dS

1
4

F(M) dV
rMM0
课本P109
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4) 平均值公式
设 u(M) 是 内的调和函数, M0 , Ka表示以
v
0



v
n
dS


gradv gradv
dV
考虑到 (*), 有
v


v
n
dS

0.
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
2
从而 gradv dV 0.

必有 gradv 0.
即
v v v 0. x y z
所以 v C. 其中 C 为常数。特别的，对于狄利 克雷问题, 由于 v | 0, 得 C=0, 从而 v=0.
总之：在 C1() C 2 ()上，狄利克雷问题的解
是唯一的, 纽曼问题的解相差一个常数。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
3）调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及
其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。
设 M0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在
其中 C1, C2 是任意常数。
特别地，取 C1 1, C2 0,即 u(r)
称为二维拉普拉斯方程的基本解。

ln
1 r
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
§4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 u u x, y, z 满足三维拉普拉斯方程
2u 2u 2u x2 y2 z2 0
它描述了稳恒状态下的物理现象。
拉普拉斯方程 2u 0的连续解，也叫调和
函数（具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程
的连续函数）。
数学物理方程与特殊函数
两种边值问题: 第一边值问题
第4章格林函数法
2u

x
2

2u y 2

2u z 2
=0，
( x,
y, z)

u | f .
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 4.2 格林公式 4.3 格林函数 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
三维拉普拉斯方程的球对称解
x r sin cos
球面坐标：

u x
v x

u
2v x 2
dV


u y
v y

u
2v y2
dV
u v 2v


z
z

u
z 2
dV
P u v x
u v u v u v



x
x

y
y

z
z
dV
2v 2v 2v
dV
数学物理方程与特殊函数
推论(2)
第4章格林函数法
在第一格林公式中交换 u, v 的位置：
v2udV

u


v
n
dS


grad v grad u
dV
两式相减, 得
第二格林公式
(u2v
v2u)dV



(
u
v n
v
u )dS n

,
由高斯公式, 上式等于
v
v
v



u

x
cos
n, x
cos y
n, y
cos z
n, z
dS
v



u
n
dS
.
u2vdV
第一格林公式



u
v n
dS


grad u grad v

P cos n, x Qcos n, y Rcos n, z dS

其中 n为 的外法向量。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
推论(1)
设 u(x,y,z), v(x,y,z) 满足 u,v C1 C 2 ,
令
P x, y, z u v
x
Q x, y, z u v
y
R x, y, z u v
z
则 P,Q,RC C1 ,
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
P Q R


x

y

z
dV


x r cos

y

r
sin
在极坐标下, 拉普拉斯方程为:
1 r
r

r
u r


1 r2
2u
2

0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
圆对称解 u=u(r) 满足
1 r
r

r
u r


0
解方程得： u(r) C1 ln r C2