第八章--第八节-直线与圆锥曲线(理)概要PPT课件

答案：C来自百度文库
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3．直线y＝kx－k＋1与椭圆
＝1的位置关系为 ( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)在
椭圆内，故直线与椭圆必相交．
答案：A
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4．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、
Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
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1.理解数形结合思想. 2.了解圆锥曲线的简单应用.
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1．直线与圆锥曲线的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由
得ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则 ①Δ>0，直线l与圆锥曲线 相交． ②Δ＝0，直线l与圆锥曲线 相切． ③Δ<0，直线l与圆锥曲线 相离．
消去y得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0，
所以Δ＝(6k)2－20(4＋k2)>0，即k2>5，
则x1＋x2＝
，x1·x2＝
，
因为|AB|＝
的解，
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所以 解得－ <k2<8， 所以5<k2<8. ∴ <k<2 或－2 < k<－ .
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解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种： 几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特 征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何 法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则 可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代 数法．
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∴当k＝± 或k＝ 或k不存在时，l与C只有一个交点； 同理，由Δ>0，Δ<0可得当 <k< 或－ <k< 或k<－ 时，l与C有两个交点；当k> 时，l与C没有交点．
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(2)假设以P为中点的弦AB存在，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2是(1)中方程的两根，由根与系数的关系得
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则点A的坐标为
或
，
所以直线l的方程为6 x－7y＋21＝0或6 x＋7y－21＝0.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋3或x＝0，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，当AB的方程为x＝0时， |AB|＝4> ，与题意不符．
当AB的方程为y＝kx＋3时，
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由题设可得A、B的坐标是方程组
求得．
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已知椭圆C：x2＋ ＝1，过点M(0,3)的直线l与椭 圆C相交于不同的两点A、B. (1)若l与x轴相交于点N，且M、N两点关于A对称，求直线l 的方程； (2)若|AB|<3，则直线l的斜率存在与否？若存在求出其范 围．
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[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)∵M、N两点关于点A对称， ∴A是MN的中点． 设A(x1，y1)，又M(0,3)，N点纵坐标为0， 所以y1＝ . 又因为点A(x1，y1)在椭圆C上， 所以 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1，解得x1＝± ，
＝1，故k＝1.而当k＝1时，l与C有两个交点． ∴这样的弦存在，方程为y＝x＋1.
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本例条件中将“点P(1,2)”改为“点Q(1,1)”，问以点Q为 中点的弦是否存在？
解：假设弦AB以Q为中点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以2
＝2,2
＝2，
两式相减得2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)， ∴2(x1－x2)＝(y1－y2)，∴kAB＝2. 经检验当AB的斜率为2时，直线AB与C无交点，
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(2)若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．若 曲线为双曲线，则直线与双曲线的 渐近线 平行；若曲线 为抛物线，则直线与抛物线的 对称轴 平行．
2．圆锥曲线的弦长问题
设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，
y2)，则弦长|AB|＝
|x1－x2| .
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1．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ ＝4所表示的曲线不
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[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)当直线l的斜率不存在时，有一个交点． 设直线l方程为y－2＝k(x－1)， 代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0. 当2－k2＝0，即k＝± 时，方程只有一解， 故l与C只有一个交点； 当2－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝ .
则
，两式相减，得
(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
∵
≠0，∴
，∴
，即y0＝2x0.
答案：y＝2x
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1.直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解
题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧．
2．运用“点差法”解决弦的中点问题
涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系
可能是
()
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
解析：∵ θ ∈R，∴sin θ ∈[－1,1]， ∴方程x2＋y2sin θ ＝4不可能是抛物线．
答案：C
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2．圆心在抛物线x2＝－8y上的动圆经过点(0，－2)，且恒
与定直线l相切，则直线l的方程是
()
A．y＝4
B．x＝4
C．y＝2
D．x＝2
解析：由题意知，圆心到点(0，－2)与到直线y＝2的距 离相等，故直线l的方程为y＝2.
加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题．若知道
中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜
率．比较两种方法，用“点差法”计算量较小，此法在解
决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式Δ加以检验．
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已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)． (1)求过P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有 一个交点，两个交点，没有交点； (2)是否存在过P点的弦AB，使AB的中点为P?
等于________．
解析：取特殊情况：直线y＝ ，得p＝q＝ .
∴
＝4a.
答案：4a
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5．已知双曲线x2－y2＝1和斜率为 的直线l交于A、B两点， 当l变化时，线段AB的中点M的坐标(x，y)满足的方程是 ______________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点坐标(x0，y0)，
所以假设不正确，即使Q为中点的弦不存在.
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求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是：将直线方程代
入圆锥曲线方程，消去y(或x)后，得到关于x(或y)的一元
二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)，再由弦长公式
|AB|＝
|x1－x2|＝
|y1－y2|，求出其弦
长．在求|x1－x2|时，可直接利用公式|x1－x2|＝