8-1多元函数的概念
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, zsinxy 图形如右图.
例如, x2y2z2a2
z
左图球面.
D {x (,y)x2y2a2}.
o
y
单值分支: z a2x2y2
x
za2x2y2.
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是 其 聚 点 ， 如 果 对 于 任 意 给 定 的
8-1多元函数的概念
对于点集E 如果存在正K数，使一切点 PE 与 某 一 定 点 A间 的 距 离AP不 超 过K ，
即 AP K
对一切PE 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集例． 如，
y
{x ( ,y )|1 x 2 y 2 4 }
有界闭区域；
o
x {x ,(y )|x y 0 }
空间两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U ( P 0 ,) P |P 0 | , P P R n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义
设D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P(x,y)D，变量z按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为 zf(x,y)（或记为zf(P)）.
（2）找两种不同趋近方式，使limf(x,y)存在， xx0 yy0 但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点 P0(x0,y0)处极限不存在．
利用点函数的形式有n 元 函 数 的 极 限
定 义 2 设n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 | f ( P ) A | 成立，则称 A 为n 元函数 f ( P )
无界开区域．
（3）聚点
设 E 是 平 面 上 的 一 个 点 集 ， P 是 平 面 上 的 一 个 点 ， 如 果 点 P的 任 何 一 个 邻 域 内 总 有 无 限 多 个 点 属 于 点 集 E ， 则 称 P为 E 的 聚 点 . 说明：
内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；
例 {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0)既是边界点也是聚点．
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {x (,y)|x2y21 }
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间
设 n为 取 定 的 一 个 自 然 数 ， 我 们 称 n元 数 组 (x1,x2, ,xn)的 全 体 为 n维 空 间 ， 而 每 个 n元 数 组 (x1,x2, ,xn)称 为 n维 空 间 中 的 一 个 点 ， 数 xi称 为 该 点 的 第 i个 坐 标 .
证 (x2y2)sinx2 1y20 x2y2sinx2 1y2 x2 y2
0, ,
当 0(x 0 )2 (y 0 )2时，
(x2y2)six n2 1y20 原结论成立．
例3
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lx im 0sixn2xy(2y) x2x2yy2, y0
正 数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函数
z f ( x, y)当 x x0， y y0 时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
sin( x2 y)
其中 lim x0
x2 y
y0
u x2y lim sin u 1,
u0 u
x2y x2 y2
1x 2
x 00, lxim0sxi2n(x2yy2) 0. y0
例4
证明
lim
x0
x3 y x6 y2
不存在．
y0
证 取 y kx3,
lim
x0
x3y x6 y2
lim
x0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
（6） 二元函数 zf(x,y)的图形
设函数z f (x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P(x, y)D，对应的函数值为 z f (x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x, y,z)， 当x取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {(x, y,z)| z f (x, y),(x, y)D}，这个点集称
x3 kx3 x6 k2x6
k 1 k2 ,
y 0
ykx3
其值随k的不同而变化，
Leabharlann Baidu
故极限不存在．
观察
z
x3 y x6 y2
图形,
x3 y
lim
x0
x6
y 2 不存在.
y0
播放
确定极限不存在的方法：
（ 1 ） 令 P (x ,y ) 沿 y k 趋 向 x 于 P 0 (x 0 ,y 0 )， 若 极 限 值 与 k 有 关 ， 则 可 断 言 极 限 不 存 在 ；
说明：
n维空间的记号为 R n ;
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P (x 1 ,x 2 , ,x n ),Q (y 1 ,y 2 , ,y n ),
| P | ( y 1 Q x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地当 n1,2,3时，便为数轴、平面、
类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2 时 ， n 元 函 数 统 称 为 多 元 函 数 .
多 元 函 数 中 同 样 有 定 义 域 、 值 域 、 自 变 量 、 因 变 量 等 概 念 .
例1 求 f(x,y)arc3sixn2(y2)的定义域． xy2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2 求证lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, zsinxy 图形如右图.
例如, x2y2z2a2
z
左图球面.
D {x (,y)x2y2a2}.
o
y
单值分支: z a2x2y2
x
za2x2y2.
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是 其 聚 点 ， 如 果 对 于 任 意 给 定 的
8-1多元函数的概念
对于点集E 如果存在正K数，使一切点 PE 与 某 一 定 点 A间 的 距 离AP不 超 过K ，
即 AP K
对一切PE 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集例． 如，
y
{x ( ,y )|1 x 2 y 2 4 }
有界闭区域；
o
x {x ,(y )|x y 0 }
空间两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U ( P 0 ,) P |P 0 | , P P R n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义
设D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P(x,y)D，变量z按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为 zf(x,y)（或记为zf(P)）.
（2）找两种不同趋近方式，使limf(x,y)存在， xx0 yy0 但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点 P0(x0,y0)处极限不存在．
利用点函数的形式有n 元 函 数 的 极 限
定 义 2 设n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 | f ( P ) A | 成立，则称 A 为n 元函数 f ( P )
无界开区域．
（3）聚点
设 E 是 平 面 上 的 一 个 点 集 ， P 是 平 面 上 的 一 个 点 ， 如 果 点 P的 任 何 一 个 邻 域 内 总 有 无 限 多 个 点 属 于 点 集 E ， 则 称 P为 E 的 聚 点 . 说明：
内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；
例 {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0)既是边界点也是聚点．
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {x (,y)|x2y21 }
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间
设 n为 取 定 的 一 个 自 然 数 ， 我 们 称 n元 数 组 (x1,x2, ,xn)的 全 体 为 n维 空 间 ， 而 每 个 n元 数 组 (x1,x2, ,xn)称 为 n维 空 间 中 的 一 个 点 ， 数 xi称 为 该 点 的 第 i个 坐 标 .
证 (x2y2)sinx2 1y20 x2y2sinx2 1y2 x2 y2
0, ,
当 0(x 0 )2 (y 0 )2时，
(x2y2)six n2 1y20 原结论成立．
例3
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lx im 0sixn2xy(2y) x2x2yy2, y0
正 数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函数
z f ( x, y)当 x x0， y y0 时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
sin( x2 y)
其中 lim x0
x2 y
y0
u x2y lim sin u 1,
u0 u
x2y x2 y2
1x 2
x 00, lxim0sxi2n(x2yy2) 0. y0
例4
证明
lim
x0
x3 y x6 y2
不存在．
y0
证 取 y kx3,
lim
x0
x3y x6 y2
lim
x0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
（6） 二元函数 zf(x,y)的图形
设函数z f (x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P(x, y)D，对应的函数值为 z f (x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x, y,z)， 当x取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {(x, y,z)| z f (x, y),(x, y)D}，这个点集称
x3 kx3 x6 k2x6
k 1 k2 ,
y 0
ykx3
其值随k的不同而变化，
Leabharlann Baidu
故极限不存在．
观察
z
x3 y x6 y2
图形,
x3 y
lim
x0
x6
y 2 不存在.
y0
播放
确定极限不存在的方法：
（ 1 ） 令 P (x ,y ) 沿 y k 趋 向 x 于 P 0 (x 0 ,y 0 )， 若 极 限 值 与 k 有 关 ， 则 可 断 言 极 限 不 存 在 ；
说明：
n维空间的记号为 R n ;
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P (x 1 ,x 2 , ,x n ),Q (y 1 ,y 2 , ,y n ),
| P | ( y 1 Q x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地当 n1,2,3时，便为数轴、平面、
类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2 时 ， n 元 函 数 统 称 为 多 元 函 数 .
多 元 函 数 中 同 样 有 定 义 域 、 值 域 、 自 变 量 、 因 变 量 等 概 念 .
例1 求 f(x,y)arc3sixn2(y2)的定义域． xy2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2 求证lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0